汤璪真"扩大几何"五条"原则"的初等证明

汤璪真先生(1898.2～1951.10)是我国著名的前辈数学家,早在20世纪30年代,就产生了"自然几何"的思想,作为自然几何的一部分,创建了"扩大几何学"[1],其中的"五条原则"为五条精巧绝伦的猜想.对此,汤先生在<中等算学月刊>1936,4(5)上,发表的"第五原则及其应用"一文(仍见[1])中说:"所有以上的五个原则,我都没有把证明写出来,然而我有一定的把握,知道都是对的.武汉大学的高材生李森林君,愿在最近的将来,受本刊编辑刘乙阁兄的指导,把这五个原则用初等几何方法,详细证明一下,这是我非常赞成而感谢的,盼望他们早日成功."     

"以退为进"数学思想探幽

著名数学家华罗庚指出:"善于'退',足够地'退','退'到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍."又说:"先足够地退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去."这就是以退为进的思想.这种思想也是我们解证数学问题的唯物辩证思想的一种体现.……     

新老分马问题中的数学思考

古典分马问题有一位老人,他有三个儿子和17匹马,他在临终前对他的儿子们说:"我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分."老人去世后,三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着:"我把17匹马全都留给我的三个儿子长子得一半次子得三分之一幼     

一道立几题妙解的启示

在高三要学总复习时，我遇见了这样一山立体几何题：尼日如日1，tkrtM＆命P--ABC的庆历过长为a，例校长为Zrt，E、F分别是PB、BC上的点．求西AEF的用长的最小住．初看此题，觉得题B很简单，不就是把三公唯展成平面图形'在西＊AA'中解出一条边的问大嘛2但是解题过程中却遇到了一个麻饬的问题，'那就是要用三倍角公式进行计算。难通非要有警长的运算吗？不甘。（手是想到了年面几何，便有了下面的妙解办把Z校依展开，如用2所6．凸PABgy凸PBC丝面PCA'，'由时称性可MAA－'／／M。'／AA"M且aB-ca。一。。人力j一A。F＝。"：HAB…     

桥梁里的"小心思"

你知道吗,在最新的"世界十大最高桥梁榜"中,中国的桥梁占了九座,几乎霸榜.我们的祖国越来越强大了! 但是这些上榜的桥大多为悬索桥、斜拉桥,那我们平时常见的拱桥都去哪儿了?而且老师教过我们,三角形是最稳定的结构,可是为什么没有三角形的桥呢?那样建出来的桥不是更稳固吗?别着急,今天就由我来带大家了解一下桥梁里的"小心思"吧...     

讲好“中国算盘”的故事——纪念周恩来总理“不要把算盘丢掉”讲话46周年

正当《"平"语近人》在央视热播、好评如潮的今天,我们迎来了周恩来总理"不要把算盘丢掉"讲话46周年;"平"语近人,就想起习近平总书记"讲好中国故事"的箴言,就觉得"讲好'中国算盘'"的故事"重任在肩;于是,请让我以一个资深畴人故事讲述者的名义,把这则动人的"中国算盘"的故事再讲述一遍:那是一九七二年十月十四日的傍晚,北京人民大会堂的西大厅里灯光璀璨,     

梯形的"近亲"

星期天一大早,妈妈就把我喊了起来,笑着对我说:"诗楠,给你出道题,如果能完成,我今天带你去郊外野炊,怎么样?"一听有这等好事,我从床上一跃而起,高兴地叫着:"放马过来吧!我才不怕呢!"于是妈妈把题一亮:下列几个图形的面积是否相等? 为什么?     

"个"税分段有学问

中午的时候,我听见爸爸妈妈在讨论个人所得税的问题,好奇的我便凑过去听了听.爸爸告诉妈妈:"我这个月的个人所得税扣得可多了!"妈妈连忙问:"为什么呀?""因为这个月公司把奖金和工资一起发了."爸爸回答.     

与高一新生讲"映射"

"映射"并不玄,与我常相伴, 　　顾名可思义,对镜解疑难! 　　上四句,是高一新生小何在新课本"映射"概念旁边写的一段感悟.……     

切大葱的学问

小明的爸爸是一位数学老师.一天,爸爸把小明叫到厨房,拿了一棵圆柱形的大葱对小明说:"这里有两个数学问题,你来思考一下."小明的心中充满疑惑,爸爸用刀把大葱斜切成两段,拿起一段(图1)问小明:"这个截面的轮廓是什么曲线?"小明马上回答:"太简单了,是椭圆,我们数学课本里有证明过程."爸爸接着用刀轻轻地沿葱轴中心线方向把最外层葱皮划开(图2)、剥下,在菜板上把圆柱状的葱皮展开铺平(图3),"刚才的椭圆展平后变成了什么曲线?这个问题课本里没有,你自己研究一下."     

从"一题多解"到"多题一解"

文[1]说:"一题多解应该关注考纲和考试说明、关注学生的'学情'、关注解法的选择."这一点笔者在高三教学感触颇深.     

让"冰冷美丽"绽放出"火热思考"

荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说:"从来没有一种数学的思想会像当初被发现时那样付诸文字,一旦问题解决了,思考的程序便颠倒过来,把火热的思考变成冰冷的美丽".纵观2009年上海春季高考数学试题,我们从中可以体会到强烈的新课程理念,既让人感到试题的"美丽和谐",又富有新颖与创新.……     

教学生给教材的空白处"补白"

<全日制普通高级中学教科书(试验修订本)·数学>在每页约三分之一的地方除编者注的少量说明和图形外,都有空白,编者的意图是很明显的,即让学生插上想象的翅膀,留一些注记,便于更好的学习.对于这些空白,刚开始的时候我也没有注意到什么.有一次,我发现一个同学在书上的空白处打草稿,我为之一惊.但我不动声色,趁学生做练习之时,检查了所有同学的书本,发现有的用于打草稿,有些用于画漫画,当然更多的是一个字都没有写.这引起了我的深思,如何充分利用这些空白使之有助于学习呢?     

我和土豆"零距离"

今天外婆买了几个土豆,说要给我炒醋溜土豆丝儿,这下可把我给乐坏了.要知道这可是外婆的拿手好菜啊,我又可以"大饱口福"了.也不知道为什么,我对土豆总是有着浓厚的兴趣,我决定今天和土豆来个"零距离"接触.我来到厨房,拿起一个土豆,放在手掌上,仔细端详起来:坑坑洼洼的表面,粘着泥巴粒的外皮,摸上去毛毛的,闻闻也没啥味道,但是做起菜来却很美味.看着貌不惊人的土豆,我心里突然冒出了一个问题,这个土豆的体积有多大呢?     

超乎想象的"幂"结果

有这样一个问题:有一种细菌每20分钟分裂1次,9个小时后,它能分裂出多少个?初次看到这个题目的我不假思索地想道:"能有多少个呢!"虽然此时心里还没有具体的计算过程,但我想它的结果应该不会很大.可事实并非如此,且看下面的分析过程和计算结果.     

这个游戏真有趣

正1.今天的数学活动课上,徐老师笑着问:"我们来做个数学游戏好不好?""好!"同学们齐声回答。2."请你们每人准备两张小纸条。"徐老师清了清嗓子说。同学们虽然不知道徐老师要做什么游戏,但一个个兴奋得眼睛发亮,很快都把小纸条准备好了。3.徐老师环视了一下全班同学,说:"请你们在两张小纸条上分别写下一个奇数和一个偶数,写好后,两只手各握一张。不要给我也不要给你身边的同学看。"     

有趣的"表针对调"

有一次著名物理学家爱因斯坦病了 ,他的朋友出了一个数学问题给他作消遣 :“设想表针的位置在 1 2点钟 ,在这位置如果把时针和分针对调一下 ,它们所指的位置还是合理的 ,但是在别的时候 ,例如在 6点钟 ,两针对调就成了笑话 ,这种位置是不可能的 :当时针指 1 2的时候 ,分针决不会指 6.因此引起这个问题 :表针在什么位置的时候两针可以对调 ,使得新位置仍能指示实际上可能的时刻 ?”爱因斯坦笑着回答 :“是的 ,这对病在床上的人的确是个很好的问题 ,够有趣味而又不太容易 .只是恐怕消磨不了多少时间 ,我已经快要解出来了 .”这个问题他到底是…     

新老分马问题中的数学思考

古典分马问题有一位老人,他有三个儿子和17匹马,他在临终前对他的儿子们说：＂我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分.＂老人去世后,三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：＂我把17匹马全都留给我的三个儿子,长子得一半,次子得三分之一,     

雾中人(上)

正汤米和塔彭丝正坐在艾德林顿大酒店里喝着鸡尾酒。汤米刚把酒杯举到唇边,杯中的酒突然溅了出来。一只手使劲在他肩头上拍了一下。"我的老朋友汤米!哪阵风把你给吹来了?""啊呀!原来是巴尔杰!"汤米惊奇     

新理念下的一种新尝试--"沙龙"式教学

"沙龙"指旧时文人、雅士清谈的场所,后又指文化、艺术界小型的聚会.笔者在文[1]中说:"将课堂变成师生间、学生间相互‘挑战、竞争'的场所!…将数学课变为‘沙龙'式,而又不同于·沙龙式'的漫谈、探讨、研究、争论、质疑、答辩课.