处理角平分线条件的三种方法

在一个命题的题设或结论中,含有角的平分线时,一般可根据如下三个基本图形得到相应的辅助线作法(如图1)。当然,不论哪种作法,都是构造以角平分线为对称轴的轴对称图形。     

用翻折法找辅助线位置

在解平面几何问题时,经常要作辅助线,有些问题的辅助线添加在什么位置,往往很难确定.学过了轴对称以后,根据轴对称原理,把图形绕某直线翻折,翻折图形中的某点(或线段)的座落位置,就是添加辅助线的位置,再恰当作出辅助线就容易解题了. (一)用角平分线所在直线为轴翻折找辅助线位置 角是关于它的平分线所在直线为轴的轴对称图形,图中若有角平分线或可证明是角平分线,就可以用角平分线所在直线为轴翻折,从而作出辅助线. 例1 已知如图1,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于     

利用角平分线的对称性解题

<正>角平分线是初中平面几何的重要概念之一,是初中几何题目中的"常客",如何挖掘角平分线的内在性质,往往成为解题的关键.本文就如何利用角平分线的对称性转移条件解题,谈谈自己的一点认识.原理角是一个轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线.操作角的角平分线一侧的图形元素(点、线段、三角形等),在角平分线的另一侧必有与之对应重合的部分.在图中找出,或在图中补出,实现题目条件的转移和转化,从而解     

借助角平分线添加辅助线的方法

<正>角平分线具有两条性质:a.对称性;b.角平分线上的点到角两边的距离相等.对于有角平分线时的辅助线的作法,一般有两种.(1)从角平分线上一点向两边作垂线;(2)利用角平分线,构造对称图形(作法是在一侧的长边上截取短边).通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法,要结合题目图形     

欧几里得为何舍近求远?

<正>等腰三角形是一种轴对称图形,它具有许多重要的性质,其中“等腰三角形的两底角相等”这条性质的证明方法十分丰富．教材中给出了3种证法．已知,如图1,在△ABC中,AB=AC,求证∠B=∠C．证法1作顶角的平分线,用“SAS”证明．证明如图2,作顶角的平分线AD,所以∠1=∠2,     

巧用轴对称性质求最值

轴对称图形具有的一个性质是:图形上对应点的连线被轴垂直平分.也就是说如果两个点关于一条直线对称,那么这条直线就是以这两个点为端点的线段的垂直平分线,所以垂直平分线上的任意一点到这两个点的距离都相等.因而,当考虑某一点与轴上一点的距离时,这个点可以用它的对称点来"代换".     

巧用正方形的轴对称性解竞赛题

正方形是轴对称图形,对角线所在的直线及每组对边的垂直平分线都是它的对称轴,运用正方形的这种轴对称性,可简捷明了地解答一类数学竞赛题．     

构造轴对称图形解题

<正>大自然中,轴对称是最重要、最基本的对称形式.在解图形问题时,将不对称图形的某部分沿某条直线翻折,可以得到局部轴对称图形,再利用轴对称图形的特性与已知结论,实现条件的相对集中,使问题易于解决.这种构造轴对称图形的方法称为翻折法,或者称为轴对称变换法.下面整理出几种构造轴对称图形解题的类型.     

直角三角形中的角平分线、中线与高的长

三角形的角平分线、中线和高在中学数学中演绎出许许多多有趣的结论．直角三角形是三角形中一类特别的图形．直角三角形易与勾股定理、面积、平面直角坐标系及圆中的线段等产生联系,构造出不少综合问题,所以直角三角形也具有举足轻重的地位．本文谈一谈直角三角形中的角平分线、中线及高的计算方法．     

由角平分线想到的

<正>角平分线定理及其逆定理在几何证明中应用十分广泛,有非常重要的地位,尤其为证明线段或角相等开辟了新的思路.当题设中出现角平分线时,如能联想到轴对称、全等三角形以及等腰三角形,往往可以很快沟通思路,提高解题效率.在此,我们把与角平分线有关的题型及作辅助线的方法分类归纳如下,与大家一起分享.     

图形翻折问题的求解

<正>在几何问题的求解过程中,经常会碰到图形翻折的问题,由于这类问题具有动态性,因此,会让解题者束手无策.其实,翻折是一种对称变换,它属于轴对称,翻折前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.翻折后的图形的压痕与原图形的翻折部分关于折痕成轴对称.只要明确这些,再充分运用好图形中的各种关系,这类问题便易于求解.     

几何结构凸显 解题思路立现——例谈一个典型几何结构在中考与竞赛中的应用

<正>在平面几何中,经常会遇到这样一个图形:如图1,已知AP为∠MAN的角平分线,点B是射线AN上异于A的一点,过B作AM的平行线,交AP于点C.易知这个图形所蕴含的结论是AB=BC,也就是说△ABC是等腰三角形.由于这个图形的条件是平面几何中的两个非常常见且重要的概念:角平分线与平行线,而结论又是重要的特殊三角形——等腰三角形,更为关键的是这个图形常常活跃于各种复杂的几何图形中,     

当角平分线这个条件出现时

三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证明中,起着桥梁的作用,几何问题中,若出现角平分线这一条件,可联想角平分线的特性,利用如下求解策略.     

简析以正方形为基的中考题的做法

<正>正方形形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质,而且具有轴对称性和中心对称性的美,还体现了角平分线、线段垂直平分线等性质,以正方形为基的考题历来是中考数学命题的热点和焦点之一.这些题的结构特点是:利用正方形的一些性质,结合其它知识点构成中考题,题目形式多样,精彩纷呈,很好地考查了图形类的主要知识点,以及学生分析问题和解决问题的能力.解题的切入点就是很好的利用正方形的性质,再综合其它知识通盘考虑去解答.一、利用正方形的角是直角图1例1(2013年长春)如图1,MN是⊙O的弦,正方形OABC的顶点B、C在MN上,且点B是CM的中点.若正方形OABC的边长为7,则MN的长为.     

回归平面几何视角，妙用角平分线定理

作为平面几何中的一个重要定理,三角形的角平分线定理在判断图形结构特征与构建线段比例关系等方面具有重要的作用.结合高中数学中解三角形、平面向量、平面解析几何等模块中的问题,借助三角形角平分线定理的应用,总结解题研究与技巧方法,全面培养学生数学核心素养.     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

从直径人手解题

<正>圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,直径所在直线是它的对称轴,直径的中点是对称中心.与弦垂直的直径,平分弦及弦所对的弧;直径对的圆周角是直角.可见直径是圆中最活跃的因素,它是沟通弦、角、弧关系的桥梁.解题中,若能从直径入手,可突破难点,化难为易.(1)在题设或结论中涉及弧的中点、弦的中点,解题时往往考虑构造"垂径".(2)在题设、结论中涉及直径或直角,解题时要关注直径对的圆周角.     

小题不小 解法多彩 ——对一道中考填空题的解法探析

2015年无锡市中考试卷中的一道填空题,看似简单,却简约而不简单,它可从不同角度思考,添加不同的辅助线,使解法多姿多彩. 一、试题呈现 已知:如图1,AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线,AD上BE,AD=BE=6,则AC的长等于_. 此题以三角形为背景,中线、角平分线为依托,综合考查了中线性质、角平分线性质、等腰三角形等重要知识点,以及构造相似三角形、全等三角形、特殊四边形等解决问题的能力,综合性较强. 二、解法探析 本题属于一道中档填空题,具有一定的难度,思维含量较高.根据题意,解答时可从中点的角度人手,联想到中线倍长法、构造中位线等,由垂直可构造平行线或特殊四边形等,从不同的角度思考、分析,可以探索出多种解题的思路,现列举如下.     

构造特殊线在几何证明中的妙用

<正>在几何图形中,有一些常见的具有独立性质的线,如平行线,角的平分线,三角形的中线和中位线,圆的切线等等,它们在图形中有着重要地位,也常常是证明几何题的重要条件.如果在已知图形中没有这些特殊线,但解题时又需要借助于特殊线的性质,那么就构造适当的特殊线,从而摆脱困境.1构造平行线平行线的性质主要有:两条平行线被第三条直线所截,则内错角相等,同位角相等,同旁     

如何利用角平分线性质解题——一道试题的解析

<正>三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证明中,起着"桥梁"的作用,我们知道,几何问题中,若出现角平分线这一条件,可联想角平分线的特性,利用这些特性添加适当的辅助线,使问题得到解决.本文以一道试题为例,谈谈如何利用角平分线的性质,合理添加辅助线,解决问题,供同学们参考.