对一道例题解法的商榷

笔者发现在文[1]中有这么一个例题： 题目：对于任意的实数x，y，不等式x^4＋2x^2y^2＋y^4＋2x^2＋3ay^2＋b〉0总成立，试确定a，b应满足的条件．     

问题172 这道关于函数的题是病题吗？

若函数f（x）=x^2＋2（a-1）x＋2在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是     

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

综合题新编选登

题130 设定义在R上的函数 f（x）=a0x^4＋a1x^3＋a2x^2＋a3x＋a4（a0,a1,a2,a3,a4∈R）， 当x=-1时,f（x）取极大值2/3，且函数y=f（x＋1）的图象关于点（-1,0）对称。     

k次幂平均函数的单调性

设a1，a2，…，an为正实数，分别称a1＋a2＋…＋an/n，n√a1a2…an和n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an 为n个正实数a1，a2，…，an的算术平均值、几何平均值和调和平均值，并分别简记为An，Gn和Hn．关于这三个平均值，有我们十分熟悉的平均不等式：     

一道希望杯培训题的错因探究

题目呈现 已知实数x，y适合2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（z＋y）＋3√3zy，则z的取值范围是（ ）     

柯西不等式一个推论的应用

1 实数a1，a2，…，an满足a1＋a2＋…＋an。=O，求证：     

一道竞赛培训题的正解

第十九届“希望杯”高一培训题第29题为： 已知实数x，y适合：2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（x＋y）＋3√3xy，则z的取值范围是（ ）     

映射个数问题探究

2002年全国高中数学联赛题第5题是：已知两个实数集合A={a1，a2…，n，a100）与B={b1，b2，…，b50），若从A到／3的映射f使得B中每个元素都有原像，     

IMO 49—2的拓展

第49届国际数学奥林匹克数学竞赛题第2题是： （a）设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,求证：x^2/（1-x）^2＋y^2/（1-y）^2＋z^2/（1-z）^2≥1.     

争鸣

问题问题98 a,b∈R,不等试acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,求b的取值范围.解因为不等式acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,所以令x=0得a b≤1;x=π得a b≥-1-1≤a b≤1(1)又当x=3π时,有2a-b≤1-2a b≥-1;x=23π时,-2a b≤1,故-1≤-2a b≤1-2≤-a 2b≤2(2)由(1) (2)得-3≤3b≤3,所以-1≤b≤1即为所求.1)以上解法是否正确?请给出判断结果及理由.2)若解法正确,其中x分别选取等于0,π,3π,2π3的依据是什么?若解法不正确,其正确解法又如何?3)若改为求a的取值范围,又当如何解决?佟成军提供(江苏省海州高级中学222023)评析问题84该问题共收稿…     

一个不等式的再推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题： 设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn都是非负实数，证明：     

推广中的不足

设x,y是实数,且满足x^2＋xy＋y^2=3,则x^2-xy＋y^2=3的最大值和最小值分别为____． 这是2006年安徽省高中数学竞赛初赛的一道题目．文[1]中发现题中的x^2,xy,y^2可看作以y/x为公比的等比数列,从而得到上述竞赛山题的变式及推广．     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1(2000年俄罗斯数学奥林匹克)求证:存在10个不同的实数a1,a2,…,a10,使得方程(x-a1)(x-a2)…(x-a10)=(x a1)(x a2)…(x a10)(1)恰有5个不同的实根.证取a1,a2,a3,a4,a5为正数,a6=0,并且a7 a8=0,a9 a10=0.下证这样的10个实数满足题设.事实上,对于k∈{6,7,8,9,10},(1)式两边都有因     

132一类恒成立的函数问题--数学研究性学习又一种组织方式

第一课时　初步提供一类问题资料 ,要求学生归纳整理 .向全班同学提供如下的一类问题的初步材料 (打印好发给他们 ) :( 1 )已知不等式x2 log24 ( a 1 )a - 2 xlog22 aa 1 log2 ( a 12 a ) 2 >0对所有实数 x恒成立 ,求实数 a的取值范围 .( 2 )设 f( x) =lg[1 x 2 x 3x … ( n- 1 ) x nxa],n∈ N,且 n≥ 2 ,当 x≤ 1时恒有意义 ,求实数 a的取值范围 .( 3)已知 a∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 ( 3- a) x 2 a 1的取值恒为正数 ,求 x的取值范围 .( 4 )已知二次函数 y =f ( x)的定义域为R,f ( 1 ) =2 ,且函数在 x =t处取得…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1（2000年俄罗斯数学奥林匹克）求证：存在10个不同的实数a1，a2，…，a10使得方程（x-a1）（x-a2）…（x-a10）=（x＋a1）（x＋n2）…（x＋a10）（1）     

一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答

试题 一、选择题（满分40分,每小题8分） 1．二次三项式x^2＋ax＋b的根是实数,其中a、b是自然数,且ab=2^2011,则这样的二次三项式共有____个。     

向量线性组合的行列式表示

学习过线性代数，就会知道：如果以实数为元素的矩阵的第一列的代数余因式顺次为A1，A2，…，Ak，那么，对于任意实数组a1，a2，…，ak成立等式：现在略加扩展，设a1、a2、…、ak表示向量组，而把（1）式作为这个向量组线性组合的行列式表示法的定义。例如从下面的命题中，可以看出定义（1）的作用。命题1设a1、a2、…、ak与b2，…，bk都是向量，令证令x一alal＋aZaZ＋…＋a。a。则x·bZ一人（。1·b。）十八（a·bZ）＋…＋A＊（。。·bZ）一同样X·句—…S·由一0命题2设a；，a。，…，a。是线性独立实向县组。。。（。）。。。。。…     

一个不等式的证明与推广

题目　设a1 、a2 、m1 、m2 均为正实数 ,且m1 +m2 =1.求证 :m1 a1 +m2 a2 ≥m1 a1 +m2 a2 .证明　∵a1 、a2 、m1 、m2 均为正实数 ,且m1 +m2 =1.要证 :　　m1 a1 +m2 a2 ≥m1 a1 +m2 a2 m1 a1 +m2 a2 ≥m21 a1 +2m1 m2a1 a2 +m22 a2 m1 ( 1-m1 )a1 +m2 ( 1-m2 )a2≥ 2m1 m2 a1 a2 m1 m2 a1 +m2 m1 a2 ≥ 2m1 m2 a1 a2 m1 m2 (a1 -2a1 a2 +a2 )≥ 0 m1 m2 (a1 -a2 ) 2 ≥ 0 .上式显然成立 .∴m1 a1 +m2 a2 ≥m1 a1 +m2 a2 .思考设a1 、a2 、a3、m1 、m2 、m3均为正实数 ,且m1 +m2 +m3=1.则m1 a1 +m2 a2 +m3a3≥m1 a1 +m2 a2 +m3a3是否…