An iterative method of evaluation of elastic-plastic deflections of hyperstatic framed structures

Summary The concept of substitutive concentrated elastic-plastic rotations, replacing actual elasticplastic zones is used, together with an iterative method of determination of the bending moment distribution to simplify the evaluation of elastic-plastic deflections of hyperstatic beams and frames.

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Eine iterative Methode der Auswertung von elastisch-plastischen Verschiebungen für statisch unbestimmte Rahmen

Übersicht Die Idee von fiktiven Ersatzrotationen, welche die tatsächlichen elastisch-plastischen Zonen modelliert, wird mit einer iterativen Methode kombiniert, um eine relativ einfache Bestimmung von Biegemomentenfeldern in statisch unbestimmten Balken und Rahmen zu ermöglichen. Die resultierenden Verschiebungen, ergeben sich mit ausreichender Genauigkeit.

     

Numerical method for elastic-plastic waves in cracked solids,Part 1: anti-plane shear problem

Summary The paper deals with a numerical method combining a characteristic-based scheme and Zwas' method in order to solve the hyperbolic PDE's of elastic and elastic-plastic anti-plane shear waves in two space dimensions. First, the need of new physically reasonable numerical methods for stress waves in solids is demonstrated by numerical applications to problems with impulsive loading, where defects of some standard methods are shown. Then, the new secon-dorder accurate method is derived. A suitable procedure to model the elastic-plastic behaviour of materials by simple waves is included. The capability of the methods is demonstrated by application to several examples. Additionally, for comparison with numerical results, a similarity solution for the semi-infinite crack undergoing an elastic-plastic shock loading is derived in the appendix.

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Numerisches Verfahren für elastisch-plastische Wellen in gerissenen Festkörpern, Teil 1: Das dynamische Querschubproblem

Übersicht In der Arbeit wird eine numerische Methode vorgestellt, in der das Charakteristiken erfahren mit der Methode von Zwas kombiniert wurde, um die hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen der elastisch-plastischen Wellenausbreitung für das dynamische Querschubproblem zu lösen. Um die Notwendigkeit neuer, physikalisch brauchbarer Methoden für Spannungswellenprobleme zu begründen, werden zunächst an Beispielen typische Schwächen einiger Standardmethoden gezeigt. Danach wird die neue Methode dargestellt. Dabei wird auch ein geeigneter Weg im Spannungsraum angegeben, um elastisch-plastische Wellen durch sog. einfache Wellen zu beschreiben. Die Fähigkeiten der Methode werden an einigen Beispielen überprüft. Ferner wird im Anhang, um mit numerischen Ergebnissen zu vergleichen, eine Ähnlichkeitslösung hergeleitet, die für den halbunendlichen Riß bei stoßartig aufgebrachter Belastung und Beanspruchung bis in den elastisch-plastischen Bereich gilt.

     

On the axially symmetric vibration of thick circular plates

Summary The method of initial functions is developed in cylindrical coordinates for axially symmetric elastodynamic deformation of the circular plate. The governing equations are derived from the three dimensional elastodynamic equations. Using a suitable transformation the difficulty in the application of the method of initial functions is removed. The method is used to obtain the free vibration frequencies of thick circular plates. Numerical results are given for the circular plate with clamped edges and compared with those of the known solutions.

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Übersicht Die Methode der Anfangsfunktionen wird in Zylinderkoordinaten für axial symmetrische und elastodynamische Deformationen der Kreisplatte entwickelt. Die Gleichungen der Aufgabe werden aus den Gleichungen der dreidimensionalen dynamischen Elastizitätstheorie hergeleitet. Die Anwendung der Methode der Anfangsfunktionen folgt durch Gebrauch einer geeigneten Transformation. Die Methode wird zur Ermittlung der Eigenfrequenzen der dicken Kreisplatte angewendet. Die numerischen Ergebnisse für die eingespannte Kreisplatte werden mit den bekannten Näherungslösungen verglichen.

     

On the accuracy of the harmonic balance method concerning vibrations of beams with nonlinear supports

Summary A homogeneous beam supported by a nonlinear cubic rotational spring and excited by a prescribed harmonic translational motion was analysed by the harmonic balance method. Harmonic and sub-harmonic solutions were determined as functions of frequency, excitation amplitude and material damping. The results were verified against numerical time integrations of the governing nonlinear differential equations. The numerical method was based on a component mode synthesis technique, using free normal modes and inertia relief attachment modes. It was found that the predictions by the harmonic balance method were in excellent agreement with the numerical solution in a frequency interval covering the three first cantilevered eigenfrequencies of the beam. The only exceptions were two narrow frequency intervals in which the numerical solution showed quasiperiodic oscillations.

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Uber die Genauigkeit der Methode der harmonischen Balance für Schwingungen von Balken mit nichtlinearen Einspannungen

Übersicht Ein homogener Balken, der mit einer kubischen Drehsteifigkeit eingespannt und von einer harmonischen vorgegebenen Bewegung angeregt ist, wurde mit der Methode der harmonischen Balance untersucht. Harmonische und subharmonische Lösungen wurden als Funktion der Frequenz, der anregenden Amplitude und der Werkstoffdämpfung berechnet. Die Ergebnisse wurden mit numerischen Zeitintegrationen der nichtlinearen Differentialgleichungen verglichen. Die numerische Methode war auf einer Methode der dynamischen Substrukturtechnik aufgebaut, wobei freie Schwingungsformen mit statischer Kondensation verwendet wurden. Es zeigte sich, daß in einem Frequenzband, welches die drei ersten Eigenfrequenzen eines einseitig eingespannten Balkens überdeckte, die Vorhersagen der harmonischen Balance in sehr guter Übereinstimmung mit der numerischen Lösung waren. Die einzigen Ausnahmen waren zwei kleine Frequenzbänder, in denen die numerische Lösung quasiperiodische Schwingungen zeigte.

     

Turbulente Grenzschichten mit Druckabfall

Übersicht Die Arbeit enthält ein neues Konzept für die Berechnung inkompressibler turbulenter Grenzschichten, das sich auf eine Hypothese über den turbulenten Austausch und die Anwendung einer neuartigen mathematischen Methode gründet. Die formal einfache Hypothese wird im Rahmen einer dimensionsanalytischen Betrachtung auf phänomenologischer Basis unter approximativer Berücksichtigung der Intermittenz formuliert. Die mathematische Methode macht entscheidenden Gebrauch von der phänomenologischen Feststellung, daß — hier bei Grenzschichten mit Druckabfall — bereits das logarithmische Wandgesetz eine Approximation der Geschwindigkeitsprofile liefert. Bei Anwendung auf Äquilibrium-Grenzschichten erhält man einfache explizite Formeln, die mit Messungen sehr befriedigend übereinstimmen.

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Summary A new concept for the calculation of incompressible two-dimensional turbulent boundary layers is presented, based on a hypothesis for the turbulent eddy viscosity and a new mathematical method. The formally simple hypothesis is phenomenological in the context of dimensional analysis under an approximate consideration of the influence of intermittency. The mathematical method utilizes the phenomenological observation that in boundary layers with favourable pressure gradient the velocity profiles are approximated by the logarithmic law. Application to equilibrium layers yields simple explicit formulae which are in a very satisfactory agreement with experimental results.

     

Elastisch-plastische Formänderungen biegesteifer Tragwerke nach der Spannungstheorie II. Ordnung

Übersicht Im vorliegenden Beitrag wird ein Berechnungsverfahren für die elastisch-plastischen Verformungen von Stabwerken behandelt, welches sich aus dem Minimalprinzip der Restspannungen ableiten läßt. Hierbei wird eine finite Elementapproximation angewendet, die zu einer quadratischen Optimierungsaufgabe führt.Der Vergleich mit Versuchsergebnissen und eine Vergleichsberechnung nach den Stabilitätsvorschriften des Stahlbaues (DIN 4114) zeigen, daß die Methode zu zuverlässigen und praktisch anwendbaren Ergebnissen führt. Da jedoch aufwendige numerische Berechnungen unvermeidbar sind, sollte sie nur zur Kontrolle praktikabler Näherungsverfahren angewendet werden. Die vereinfachende Annahme der isotropen Verfestigung verkürzt die numerischen Berechnungen. Die Methode kann jedoch auch dann angewendet werden, wenn kompliziertere Stoffgesetze aus Versuchen, bekannt sind.

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Summary This paper presents a method for the calculation of elastic-plastic deformations of frameworks by means of the well-known Principle of Residual Stress. A finite element technique which transforms this minimum principle into a quadric programming problem is employed. It is shown by comparison with test results and by an analysis of the German stability code for steel structures (DIN 4114), that the method gives reliable and practical results. However, the calculations are rather lengthy, so that it should be used primarily as a yardstick for practicable approximations. A simple isotropic hardening function has been used as it leads to a straightforward numerical treatment, but the method can also be applied if more complicated functions are available from experimental data.

     

Application of the Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn method of integral relations to the solution of steady laminar boundary layers

Summary The Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn N-parameter method of integral relations belongs in the same general category as those of Ritz and Galerkin. The method is employed to solve the steady, incompressible, two-dimensional flow of a laminar boundary layer. General Nth-order solutions are obtained for regions of accelerated flow and, with a modification to account for a possible separation point, for regions of retarded flow. The convergence and accuracy of the method are evaluated by comparing the solutions with a large number of similar and nonsimilar flow problems. The method permits a separation point to be approached as closely as desired without encountering numerical difficulties or requiring special continuation techniques.

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Übersicht Die N-Parameter-Methode der Integralbeziehungen von Galerkin, Kantorovich und Dorodnitsyn gehört zur gleichen Klasse wie die Verfahren von Ritz und Galerkin. Diese Methode wird benützt, um Lösungen für die stationäre, inkompressible, zwei-dimensionale Strömung einer laminaren Grenzschicht zu finden. Allgemeine Lösungen N. Ordnung werden für Gebiete mit beschleunigter Strömung erhalten und, mit gewissen Abänderungen zur Berücksichtigung eines möglichen Ablösepunktes, auch für Gebiete einer verzögerten Strömung. Die Konvergenz und die Genauigkeit der Methode werden durch Vergleich der Lösungen mit zahlreichen ähnlichen und nicht-ähnlichen Strömungsproblemen untersucht. Die Methode erlaubt eine beliebig weitgehende Annäherung an den Ablösepunkt, ohne daß numerische Schwierigkeiten auftreten oder besondere Grenzwertbetrachtungen erforderlich wären.

     

Modalsynthese — Viskoelastische Kopplung von nichtproportional gedämpften Substrukturen

Übersicht Es wird eine Methode für die viskoelastische Kopplung von Substrukturen mit nichtproportionaler Dämpfung vorgestellt, bei der die Modalparameter der Substrukturen im Zustandsraum berechnet und das Kopplungsverfahren direkt im Zustandsraum durchgeführt wird. Das Verfahren beinhaltet im wesentlichen zwei Transformationen. Durch die erste werden mit einer reellen Modalmatrix die Bewegungsgleichungen in Modalkoordinaten in reeller Form transformiert. Durch die zweite Transformation mit einer komplexen Modalmatrix werden die Gleichungen des gekoppelten Systems vollständig entkoppelt. Die Modalparameter des Gesamtsystems sind dann komplex, können aber so direkt für die Berechnung der Übertragungsfunktion und von erzwungenen Schwingungen verwendet werden. Anhand eines Beispieles wird die relativ hohe Genauigkeit der vorgestellten Methode gezeigt.

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Modal synthesis — Viscoelastic coupling procedure for non-proportionally damped substructures

Summary A method for the viscoelastic coupling of non-proportionally damped substructures is introduced in which the modal parameters of the substructures are determined in the state space and the coupling process is directly made in the state space. The approach consists of two transformations. The first is made with a real modal matrix and transform the equations into modal coordinates in a real form. The second is with a complex modal matrix and discouples the equations of coupled systems. Then the modal parameters are complex, but they can be directly used for the calculation of the frequency response function and forced response function. An example demonstrates that this method give a relativ good approximation.

     

Slow flow of a viscoelastic fluid through a contraction

Summary The creeping flow of a viscoelastic fluid through a tapered contraction is analysed by using a perturbation method. Finite element method has been applied to solve the vorticity transport and stream function equations.For a contraction ratio of 2:1 results for the stream function, the velocity distribution and the stress components along the tube axis are presented and discussed. The results indicate that for a viscoelastic fluid there is a tendency of circular motion in the contraction zone.

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Zusammenfassung Mit Hilfe einer Störungsrechnung wird die schleichende Strömung einer viskoelastischen Flüssigkeit durch eine Rohrverengung berechnet. Die dabei auftretenden Randwertaufgaben werden mit der Methode der finiten Elemente gelöst.Für ein Kontraktionsverhältnis von 2:1 werden Ergebnisse für die Stromfunktion, die Geschwindigkeitsverteilung und den Verlauf der Reibungsspannungen entlang der Rohrachse angegeben und diskutiert. Die Ergebnisse für das Geschwindigkeitsfeld zeigen, daß in der Kontraktionszone eine Sekundärströmung erzeugt wird, die aus zwei entgegengesetzt drehenden Ringwirbeln besteht. Da diese der Primärströmung zu überlagern ist, besteht bei einer viskoelastischen Flüssigkeit im Unterschied zu einer newtonschen in der Kontraktionszone die Tendenz zu einer Zirkulationsströmung.

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With 9 figures     

Kritische Drehzahlen gewisser Rotorformen unter Berücksichtigung der Kreiselwirkung

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit erfolgt die Berechnung der kritischen Drehzahlen von kontinuierlich besetzten Wellen konstanter Biegesteifigkeit mit einer Verallgemeinerung der von R. Grammel entwickelten Methode vermöge zweier miteinander äquivalenter Iterationsvorschriften: die eine bedient sich der Integrodifferentialgleichung, die zweite der Differentialgleichung samt Rand- und Übergangsbedingungen. Bei beiden Vorschriften wird die Wellenauslenkung ermittelt, die zu der mit einer linearen Kombination zulässiger Funktionen gebildeten Belastung gehört. Mit diesen Vorschriften und einer weiteren für die auftretenden Variationen geht man in die aus dem Hamiltonschen Prinzip folgende Variationsgleichung ein. Sinngemäße Übertragung der Grammelschen Methode führt zu einem linearen homogenen Gleichungssystem für die Unbekannten des Näherungsansatzes, dessen verschwindende Koeffizientendeterminante eine algebraische Gleichung für die Eigenwerte darstellt.Die charakteristische Eigenschaft der Methode von R. Grammel, obere Schranken — und zwar genauere als der Ritzsche Verfahren — zu liefern, tritt auch bei Berücksichtigung der Kreiselwirkung im Falle synchroner Präzession im Gegenlauf stets auf. Im Falle synchroner Präzession im Gleichlauf dagegen können die Näherungslösungen bei dem verallgemeinerten Grammelschen Verfahren z. T. oberhalb, z. T. unterhalb der entsprechenden strengen Lösungen liegen.Unter Beachtung des physikalisch-technischen Sachverhaltes lassen sich die hier abgeleiteten Näherungsgleichungen sowohl auf mehrfach gelagerte Wellen mit konstanter Biegesteifigkeit und kontinuierlicher Scheibenverteilung als auch auf Wellen (zweiund mehrfach gelagert) mit veränderlicher Biegesteifigkeit und Einzelscheiben übertragen. Das sich im zuletzt genannten Fall einstellende Endergebnis unterscheidet sich nur unwesentlich von demjenigen der Methode von A. Traenkle 4.Eine Fortsetzung dieser Arbeit bringt die Durchrechnung eines Zahlenbeispiels.Auszug aus der Frankfurter Dissertation. 1. Referent Prof. Dr.-Ing. K. Karas, 2. Referent Prof. Dr. R. Moufang.     

Influence of branching on melt viscosity of polydisperse polymers

Summary The relation of melt viscosity to weight-average molecular weight and branching index has been derived for polydisperse polymers, with the most probable distribution of primary chains, having randomly distributed tri- or tetrafunctional branch points. The results are obtained by an extension of theKilb treatment for the intrinsic viscosity calculations. Numerical values of the viscosity functions are given for selected branching indices.

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Zusammenfassung Die Beziehung zwischen der Schmelzviskosität, dem mittleren Molekulargewicht und dem Verzweigungsindex wurde für polydisperse Polymere mit der wahrscheinlichsten Verteilung von primären Ketten, die ihrerseits statistisch verteilte tri- oder tetrafunktionale Verzweigungspunkte besitzen, abgeleitet. Die Ergebnisse wurden aus einer Erweiterung der vonKilb für die Berechnung der Grenzviskosität angewandten Methode erhalten. Für ausgewählte Verzweigungsindizes werden numerische Werte der Viskositätsfunktionen angegeben.

     

On the deflection of a thick plate under a sinusoidal load

Summary The equations of deflection of a thick plate presented in a previous paper are solved for an infinite plate under sinusoidally distributed pressure acting at its upper surface.The deflection and stress of the plate are calculated from the solutions of the approximate equations. The results are compared with those calculated from the exact solution and also with those obtained from other approximate methods.

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Über die Durchbiegung einer dicken Platte unter einer sinusförmigen Last

Übersicht Die in einer früheren Arbeit gegebenen Gleichungen für die Durchbiegung einer dicken Platte werden für den Fall einer unendlichen Platte gelöst, deren Deckfläche durch einen sinusförmigen verteilten Druck belastet wird.Aus den Lösungen der Näherungsgleichungen werden die Durchbiegung und die Spannung einer dicken Platte berechnet. Die Ergebnisse werden mit dem aus der exakten Lösung erlangten Resultat sowie mit den aus anderen Näherungsverfahren erhaltenen Ergebnissen verglichen.

     

Nonlinear analysis of doubly curved symmetrically laminated shallow shells with rectangular planform

Summary A multi-mode solution to the dynamic Marguerre-type nonlinear equations is presented for the nonlinear free vibration of doubly curved, symmetrically laminated, imperfect shallow shells of rectangular planform on a Winkler-Pasternak elastic foundation. The shell edges are assumed to be transversely supported and the variation of rotational stiffness is identical along opposite edges. Generalized double Fourier series with time-dependent coefficients and the method of harmonic balance are used in the solution. The boundary condition for the varying rotational stiffness is fulfilled by replacement of bending moments along the four edges by an equivalent lateral pressure. Based on a single-mode approximation numerical results for the amplitude-frequency response of doubly curved isotropic, orthotropic, cross-ply and angle-ply shallow shells with square planform are presented for various boundary conditions, material properties, curvature ratios, initial imperfections, edge tensions, and moduli of the elastic foundation. Graphical results for postbuckling behavior of an imperfect angle-ply cylindrical panel are also presented as a special case.

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Nichtlineares Verhalten zweifach gekrümmter, symmetrisch geschichteter dünner Schalen mit rechteckigem Grundriß

Übersicht Vorgestellt wird eine Mehrfachwellenform-Lösung der dynamischen Gleichungen vom Marguerre-Typ für die nichtlinearen Eigenschwingungen zweifach gekrümmter dünner Schalen aus symmetrischen Schichtungen, die geometrisch imperfekt sind und über einen rechteckigen Grundriß auf einer elastischen Winkler-Pasternak-Bettung lagern. Angenommen wird eine gelenkige Lagerung der Plattenränder mit einer veränderlichen Drehbehinderung, die auf gegenüberliegenden Rändern gleich ist. Zur Lösung werden verallgemeinerte zweifache Fourier-Reihen mit zeitabhängigen Koeffizienten und die Methode der harmonischen Balance benutzt. Die Randbedingung für die veränderliche Drehbehinderung wird dadurch erfüllt, daß die Randmomente durch einen äquivalenten Vertikaldruck ersetzt werden. Mit der Näherung nur einer Wellenform werden numerische Ergebnisse für die Beziehung zwischen Amplitude und Frequenz angegeben; variiert werden dabei die Randbedingungen, die anfänglichen Imperf ektionen, die Krümmungsverhältnisse, die Bettungszahlen und die Materialkonstanten, wobei die Platte entweder isotrop oder bei recht- und schiefwinkliger Schichtung orthotrop ist. Als Sonderfall wird auch das Nachbeulverhalten einer imperfekten, schiefwinklig geschichteten Zylinderschale graphisch dargestellt.

     

Unsymmetrische Biegung der Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit wird integriert. Die Lösung der homogenen Gleichung sind unendliche Reihen, die Produkte von hypergeometrischen und trigonometrischen Funktionen enthalten. Die Methode der Variation der Konstanten läßt sich hier nicht so einfach durchführen wie bei der Platte, deren Dicke im Plattenmittelpunkt gleich Null ist, aber das partikuläre Integral der inhomogenen Gleichung kann im allgemeinen durch Probieren gefunden werden. Als Beispiel wird die gleichmäßig belastete Platte ohne Bohrung bei gelenkiger Auflagerung des Außenrandes gerechnet und mit der Platte von konstanter Dicke verglichen. Bei axialsymmetrischer Durchbiegung wird die vollständige Lösung für die Platte mit Bohrung angegeben.     

Characteristic roots of cylindrical shells based on an improved theory

Summary This paper is concerned with the roots of the characteristic equation in the theory of circular cylindrical shells which contains the effect of shear deformation. An analytical method for finding the characteristic roots is first presented for the Mirsky-Herrmann type theory with five variables. A simplified improved theory with three variables similar to the classical theory is then derived by introducing approximations in the constitutive equations of the Mirsky-Herrmann theory. It is easily understood that the neglect of shear effect in the simplified theory leads to the well known classical Flügge theory. The roots of characteristic equations for the simplified and Flügge theory are compared with those of the Mirsky-Herrmann theory for the eigenfunctions in the longitudinal and circumferential directions.

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Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von Kreiszylinderschalen bei Berücksichtigung von Schubsteifigkeit

Übersicht Eine analytische Methode, mit der die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Kreiszylinderschale unter Berücksichtigung des Einflusses von Schubverformung berechnet werden können, wird vorgeschlagen. Die Theorie von Mirsky-Herrmann mit fünf Unbekannten wird zuerst dargestellt, und ein System in einer reduzierten Form von Gleichungen mit drei Unbekannten, das die Schubverformung enthält und das der klassischen Flüggeschen Gleichung durch Vernachlässigung dieses Einflusses entspricht, wird dann eingeführt. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichungen der reduzierten und der klassischen Flüggeschen Theorien werden mit den Ergebnissen der Mirsky-Herrmannsehen Gleichung für die Eigenfunktionen in Längsrichtung und Umfangsrichtung verglichen.

     

Selbsterregte Schwingungen eines pneumatischen Stellmotors

Übersicht Ein pneumatischer Stellmotor, der aus einem 4-Wege-Steuerschieber, einem doppeltwirkenden Arbeitskolben mit hin- und hergehender Bewegung und einer starren Hebelrückführung besteht, kann bei festgehaltenem Eingang und bei geeigneter Wahl der Parameter selbsterregte Schwingungen ausführen. Die Bewegungen können angenähert durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das auf einem elektronischen Analogrechner nachgebildet wird. Weiterhin wird für das Differentialgleichungssystem ein lineares Ersatzsystem nach dem Verfahren der harmonischen Balance aufgestellt. Die daraus abgeleiteten Bedingungen für das Auftreten von stationären Schwingungen werden mit den Ergebnissen einer linearen Näherung nach der Methode der kleinen Schwingungen verglichen. Außerdem werden Versuche beschrieben.

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Summary A pneumatic servomotor, consisting of a four-way valve, a double-acting ram with linear motion and a linear feedback linkage, may perform steady-state self-excited oscillations for fixed input and a suitable choice of parameters. The system is approximately described by non-linear differential equations which were solved employing an analog computer. Also, by means of the describing function method, one may obtain a replacing linear system yielding conditions for steady-state oscillations. These results are compared to a perturbation solution of the original equations and experimental investigations are reported.

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Auszug aus einer an der Technischen Hochschule Stuttgart eingereichten Dissertation. Die Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in dankenswerter Weise unterstützt.     

Rotor-Blatt-Kopplung

Übersicht In modernen Turbosätzen mit ihren langen Blättern im Niederdruckteil treten Fällen gekoppelter Strang-Torsionsschwingungen und Blatt-Biegeschwingungen auf mit Eigenfrequenzen in der Nähe der doppeltumlauffrequenten Erregung. Die Bestimmung der gekoppelten Rotor-Blatt-Schwingungen benötigt eine Berechnung des Gesamtsystems anstelle der traditionell getrennten Berechnung von Rotor und Blättern. Seit den 80er Jahren wurden eine Reihe von Vorschlägen gemacht, wie man die Berechnung des Gesamtsystems mit seiner enormen Anzahl von Freiheitsgraden vermeiden könne.In diesem Aufsatz wird eine systematische Methode vorgestellt, wie man-ausgehend von demFE-Gesamtsystem-zu Substrukturen für den Torsionsstrang (Rotor) und das Blatt gelangt und mit Hilfe ihrer Berechnung zu einer sehr starken Reduktion der Zahl der Freiheitsgrade für die notwendigen Untersuchungen des gekoppelten Systems. Nur wenige Transformationen und einfache Regeln für die Beschreibung der Kopplung führen zu einer Reduktion um mehr als 99 Prozent mit nahezu keinem Verlust an Ergebnisgenauigkeit.

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Rotor-blade-coupling

Summary In large-capacity turbine generators with lognLP-blades torsional vibrations of the shaft or drive train and blade bending vibrations lead to coupled frequencies of the shaft-blade system often less or near the frequency twice the line frequency. The analysis of the haft-blade coupled vibrations needs a calculation for the whole system instead of the traditionally separated calculation of shaft and blade.Since the early 1980s several proposals were made to avoid the calculation of the whole system with its huge number of degress of freedom.Within this paper a systematical method will be presented how to derive substructures from the completeFE-model of the shaft-blade-system and how to achive a very strong reduction of the numbers of degrees of freedom for the equations of motion of the coupled system. Only a few transformations and simple rules for the coupling lead to more than 99 percent reduction in the number of dregrees of freedom with nearly no loss in acuracy.

     

Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.

     

Mehrphasige Finite Elemente in der Verformungs- und Versagensanalyse grob mehrphasiger Werkstoffe

Übersicht Zur Simulation des elastoplastischen Verformungsverhaltens und von Versagensprozessen in grob mehrphasigen Materialien verwenden wir die Methode der Mehrphasigen Finiten Elemente. Der Verzicht auf die ausschließliche Verwendung einphasiger Finiter Elemente gestattet die spannungs-/Dehnungsanalyse an komplizierten Realgefügen. Die vorgestellten Beispiele für Verformungs- und Versagensanalysen stellen die Leistungsfähigkeit der Methode der Mehrphasigen Finiten Elemente hinsichtlich Modellieraufwand, Konvergenz und Zuverlässigkeit der Resultate unter Beweis.

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The stick-slip problem for a round jet

Summary The stick-slip problem for a round jet is solved in two ways: by a Wiener-Hopf method and by a direct method in which eigenfunction solutions in the pipe and jet are matched on their common boundary. The same solution is obtained by the two methods, but the eigenfunction method is more direct and converges more rapidly. Reliable graphs are presented for the distributions of the velocity components, stresses and pressures at different axial positions in the pipe and jet. The shape of the free surface for the low speed jet is computed by a perturbation method.

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Zusammenfassung Das Haft-Gleit-Problem wird für einen runden Strahl auf zwei verschiedene Weisen gelöst: durch die Wiener-Hopf-Methode und durch eine direkte Methode, bei der die Eigenfunktionslösungen für Rohr und Freistrahl an der gemeinsamen Grenze aneinander angeschlossen werden. Mit beiden Methoden erhält man die gleiche Lösung, aber die Eigenfunktionsmethode ist direkter und konvergiert schneller. Glaubwürdige graphische Darstellungen des Verlaufs der Geschwindigkeitskomponenten, der Spannungen und der Drücke für verschiedene axiale Lagen in Rohr und Freistrahl werden mitgeteilt. Die Gestalt der freien Oberfläche für einen mit langsamer Geschwindigkeit austretenden Strahl wird mit Hilfe einer Störungsmethode berechnet.

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With 12 figures and 3 tables