分式方程的增根的利用

解分式方程的基本思想是 :把分式方程“转化”为整式方程 ,然后解整式方程 ,再进行验根 .如果求得的整式方程的根使分式方程的分母或最简公分母为 0 ,这些根叫增根 .分式方程的增根实质上是由分式方程化成的整式方程的根 ,使整式方程成立 ,却使分式方程无意义或不成立 .近年来课外书籍中出现了一些利用分式方程的增根解决问题的题型 ,由于一些学生认为分式方程的增根没有用处 ,是不要的 ,须舍去的 ,所以他们一旦遇上这样的问题就感到束手无策、无能为力 .这样的题型综合起来可以分为以下三类 :一、已知分式方程有增根x =a ,求该方程另一字母…     

增根想说爱你不容易

<正>分式方程增根的产生我们在解分式方程时需要去分母,即方程两边同时乘以最简公分母.如果这个最简公分母的值是0,就产生了增根.这可归结为方程的不等价变形.分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,因此可能产生增根,解分式方程时要"验根".     

分式方程无解与增根之间的奥秘

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.因此增根具有两个特征:其一,它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解;其二,它使最简公分母等于0.而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:其一,原方程化去分母后的整式方程无解;其二,原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而使原方程无解.现举例说明如下.     

HPM视角下可化为一元二次方程的分式方程教学

1 引言 在沪教版的教科书中,“可化为一元二次方程的分式方程”是八年级下册“代数方程”一章中的内容.教材首先从复习分式方程出发,接着给出可化为一元二次方程的分式方程的定义,最后介绍去分母法解分式方程.教材与教师一般都会强调增根产生的原因以及验根的重要性.笔者不禁产生疑问:历史上分式方程的增根是怎样被发现的?除了去分母法,还有其他方法吗?有没有可以避免产生增根的解法?有没有几何解法?教材并未涉及这些问题.在课堂中,教师多局限于分式方程的求解,而忽略分式方程背后的数学文化元素.     

别把“增根”不当根

解分式方程去分母时,方程两边同乘最简公分母,得到整式方程.如果所乘的最简公分母不为0,所得到的整式方程与分式方程同解;如果所乘的最简公分母为0,所得到的整式方程的解就不一定是原来分式方程的解,其中使最简公分母为0的解,就不是原方程的解,称为原方程的"增根".分式方程的"增根"有两个特征:一是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根,因此在解决分式方程有关问题时千万别把"增根"不当根;二是"增根"必使原方程中的最简公分     

增根与无解 大家知多少?

<正>对于初学者来说,分式方程的增根、无解是两个极易混淆的概念,也是近几年中考的热点和难点.同学们在做题中往往将其等同看待,事实上这两个概念既有区别也有联系.1分式方程的增根与无解的概念及联系分式方程有增根,是指在解分式方程的过程中,原方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式,即分式方程转化到整式方程可能不是恒等变形,导致未知数的取值范围被人为的扩大,而解出的整式方程的根恰好打破了原方程分母不能为零的限制,     

分式方程中的增根与无解辨析

<正>增根与无解是分式方程中的典型问题,许多同学都把增根与无解等同起来,混为一谈.其实不然,增根与无解有区别,也有联系,有时相同,有时不同,要注意根据不同情况,区别对待.例1若关于x的方程2/(x-2)+(x+m)/(2-x)=2有增根,则m的值是______.解析解决增根问题,要注意2个要点:(1)增根使分式方程的最简公分母为0(使分     

分式方程的增根与无解

解分式方程时,方程的变形可能产生不适合原方程的根．这种根叫原方程的增根．增根产生的原因是去分母时,方程两边同乘的最简公分母为零,对于整式方程来说求出的根成立,对于原分式方程来说,分式无意义．     

数学中的捣蛋鬼——增根

<正>万圣节是西方的传统节日.为庆祝万圣节的来临,西方的小朋友会装扮成各种可爱的鬼怪,挨家挨户地敲门讨糖吃,谁家不给,他们就开始捣蛋.在数学的学习中也有一个"捣蛋鬼"——增根,在分式方程中到处"惹是生非",不检验就"捣蛋".本文我们就来搞定增根这个"捣蛋鬼".解分式方程的关键是去分母,将分式方程转化成整式方程.在去分母时,运用等式的性质,会两边同时乘以公分母,而这个公分母是含未知数的整式,并不能确保其不为零,从而导致未知数的取值范围增大,增根也就"诞生"了.     

分式方程无解问题的探究

<正>分式方程是初中学习中非常重要的一个内容,是历年中考必考知识点之一.而分式方程无解的问题,是这一部分的难点.分式方程无解是指无论未知数取任何值,都不能使分式方程两边的值相等.分式方程无解主要有两种情况:第一种情况是把分式方程化为整式方程后,整式方程无解;第二种情况是在分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但是这个解却使原来的分式方程的分母的值为0,这个解叫做分式方程的增根,这个分式方程无解.涉及分式方程无解的问题常有以下两大类,举例说明如下:     

利用分式方程“增根”的意义解题

关于分式方程“增根”的意义,人教版初中《代数》第二册第103页是这样描述的:“在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.”但往往我们在理解“增根”的意义时,容易忽略一个前提:“在方程变形时,…产生…的根.”看下面的例子:     

解分式方程无解问题中的失误分析

分式方程是初中数学的一个重要内容,而分式方程的增根与无解是学习这一内容的一个难点.有些同学由于没有掌握好这部分知识,往往会在解题中出现这样或那样的失误.本文将就经常出现的两种失误进行举例分析     

分式方程的解法及其相关问题

<正>解分式方程是同学们比较容易错的题目,特别是不少同学容易忘记验根,还有部分同学虽然会解,但对分式方程为什么会出现无解的情况,为什么会产生增根,以及如何验根,为什么这样验根等问题始终无法透彻理解.下面,我们就一起来理清这些问题:例解下列方式方程:     

课堂生成性资源的利用

教学片段1（七年级第一学期）“可化为一元一次方程的的分式方程”一节教学课中,对于解分式方程有时会产生增根的原因的探究是教学难点．在教案设计中笔者是这样安排的：     

解分式方程没有增根

长期以来,中学数学教材对于解分式方程都有一个特别规定:必须验根!这几乎成为一个不争的事实.因此,各种考试(包括中考高考)甚至把它作为考点,尤其是教辅资料大做文章,如增根之类的题型屡见不鲜,应接不暇.当真有这个必要吗? 其实,我们一直在作茧自缚,还自以为是,让学生满头雾水:为什么一定要“去分母”化为整式方程?得出一个不确定的根?何谓增根?有增根方程就无解了吗?去分母时那些没有分母的项怎么“去”啊?一定要写验根?等等.     

分式方程的另类解法

例1(2011年辽宁·大连卷)解方程5x-2+1=x-12-x.一般解法方程两边同乘(x-2),得5+(x-2)=-(x-1).解得x=-1.检验x=-1时,x-2=-3≠0,x=-1是原分式方程的解.另类解法原方程可变为5x-2+1-x-12-x=0.即5x-2+x-2x-2+x-1x-2=0.即2x+2x-2=0.则有2x+2=0,且x-2≠0,故x=-1.点评第一种办法在去分母后变成整式方程,而整式方程与原分式方程可能不"同解"(即"整式方程的根"对于原分式方程可能是"增根(此时的根会让分母为0)"),因此必须"验根";     

分式方程及其应用

<正>分式方程在初中数学中有着很重要的地位和作用.分式方程与整式方程在解法上有着密不可分的联系.与整式方程相比,分式方程的是指分母中含有未知数的方程.在求解过程中除正常解变形后的整式方程外,要特别注意代回原方程验根.一、分式方程的概念分母里含有未知数     

备受青睐的增根问题

分式方程和无理方程的增根问题是近几年中考以及竞赛命题的热点和难点.由于这类问题并不是把所有的条件都直接明白地告诉考生,而是把某些条件隐含在问题的结论或数学式子当中,解答时,别说是考生,就是数学教育工作者也难以防范.现举例说明,供借鉴.     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

浅谈分式方程的增根与无解

增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们常常会对这两个概念混淆不清,现举例说明它们之间的区别和联系.例1解方程6/x-1-x+5/x(x-1)+3x=0.解方程两边都乘以x(x-1),得6x-(x+5)+3(x-1)=0.解这个方程,得x=1.经检验,当x=1时,原方程无意义,所以x=1是原方程的增根.∴原方程无解.