增根与无解 大家知多少?

<正>对于初学者来说,分式方程的增根、无解是两个极易混淆的概念,也是近几年中考的热点和难点.同学们在做题中往往将其等同看待,事实上这两个概念既有区别也有联系.1分式方程的增根与无解的概念及联系分式方程有增根,是指在解分式方程的过程中,原方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式,即分式方程转化到整式方程可能不是恒等变形,导致未知数的取值范围被人为的扩大,而解出的整式方程的根恰好打破了原方程分母不能为零的限制,     

分式方程无解问题的探究

<正>分式方程是初中学习中非常重要的一个内容,是历年中考必考知识点之一.而分式方程无解的问题,是这一部分的难点.分式方程无解是指无论未知数取任何值,都不能使分式方程两边的值相等.分式方程无解主要有两种情况:第一种情况是把分式方程化为整式方程后,整式方程无解;第二种情况是在分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但是这个解却使原来的分式方程的分母的值为0,这个解叫做分式方程的增根,这个分式方程无解.涉及分式方程无解的问题常有以下两大类,举例说明如下:     

别把“增根”不当根

解分式方程去分母时,方程两边同乘最简公分母,得到整式方程.如果所乘的最简公分母不为0,所得到的整式方程与分式方程同解;如果所乘的最简公分母为0,所得到的整式方程的解就不一定是原来分式方程的解,其中使最简公分母为0的解,就不是原方程的解,称为原方程的"增根".分式方程的"增根"有两个特征:一是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根,因此在解决分式方程有关问题时千万别把"增根"不当根;二是"增根"必使原方程中的最简公分     

增根想说爱你不容易

<正>分式方程增根的产生我们在解分式方程时需要去分母,即方程两边同时乘以最简公分母.如果这个最简公分母的值是0,就产生了增根.这可归结为方程的不等价变形.分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,因此可能产生增根,解分式方程时要"验根".     

分式方程及其应用

<正>分式方程在初中数学中有着很重要的地位和作用.分式方程与整式方程在解法上有着密不可分的联系.与整式方程相比,分式方程的是指分母中含有未知数的方程.在求解过程中除正常解变形后的整式方程外,要特别注意代回原方程验根.一、分式方程的概念分母里含有未知数     

分式方程的增根与无解

解分式方程时,方程的变形可能产生不适合原方程的根．这种根叫原方程的增根．增根产生的原因是去分母时,方程两边同乘的最简公分母为零,对于整式方程来说求出的根成立,对于原分式方程来说,分式无意义．     

分式方程的另类解法

例1(2011年辽宁·大连卷)解方程5x-2+1=x-12-x.一般解法方程两边同乘(x-2),得5+(x-2)=-(x-1).解得x=-1.检验x=-1时,x-2=-3≠0,x=-1是原分式方程的解.另类解法原方程可变为5x-2+1-x-12-x=0.即5x-2+x-2x-2+x-1x-2=0.即2x+2x-2=0.则有2x+2=0,且x-2≠0,故x=-1.点评第一种办法在去分母后变成整式方程,而整式方程与原分式方程可能不"同解"(即"整式方程的根"对于原分式方程可能是"增根(此时的根会让分母为0)"),因此必须"验根";     

数学中的捣蛋鬼——增根

<正>万圣节是西方的传统节日.为庆祝万圣节的来临,西方的小朋友会装扮成各种可爱的鬼怪,挨家挨户地敲门讨糖吃,谁家不给,他们就开始捣蛋.在数学的学习中也有一个"捣蛋鬼"——增根,在分式方程中到处"惹是生非",不检验就"捣蛋".本文我们就来搞定增根这个"捣蛋鬼".解分式方程的关键是去分母,将分式方程转化成整式方程.在去分母时,运用等式的性质,会两边同时乘以公分母,而这个公分母是含未知数的整式,并不能确保其不为零,从而导致未知数的取值范围增大,增根也就"诞生"了.     

利用分式方程的增根解题

我们知道,在解分式方程时常会产生增根.分式方程的增根,既是变形后所得整式方程的根,又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值.下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用.     

分式方程的增根的利用

解分式方程的基本思想是 :把分式方程“转化”为整式方程 ,然后解整式方程 ,再进行验根 .如果求得的整式方程的根使分式方程的分母或最简公分母为 0 ,这些根叫增根 .分式方程的增根实质上是由分式方程化成的整式方程的根 ,使整式方程成立 ,却使分式方程无意义或不成立 .近年来课外书籍中出现了一些利用分式方程的增根解决问题的题型 ,由于一些学生认为分式方程的增根没有用处 ,是不要的 ,须舍去的 ,所以他们一旦遇上这样的问题就感到束手无策、无能为力 .这样的题型综合起来可以分为以下三类 :一、已知分式方程有增根x =a ,求该方程另一字母…     

解分式方程没有增根

长期以来,中学数学教材对于解分式方程都有一个特别规定:必须验根!这几乎成为一个不争的事实.因此,各种考试(包括中考高考)甚至把它作为考点,尤其是教辅资料大做文章,如增根之类的题型屡见不鲜,应接不暇.当真有这个必要吗? 其实,我们一直在作茧自缚,还自以为是,让学生满头雾水:为什么一定要“去分母”化为整式方程?得出一个不确定的根?何谓增根?有增根方程就无解了吗?去分母时那些没有分母的项怎么“去”啊?一定要写验根?等等.     

学好分式方程的几个要点

<正>分式方程是初中数学的一个重要内容,也是中考命题的热点之一,怎样才能学好分式方程这一内容呢?同学们一定要注意以下几点:一、理解分式方程概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要理解它的两大特征:首先是方程,其次是分母中含有未知数,这是分式方程的本质特征,掌握了这一点,就不会将含有分母形式的整式     

浅谈分式方程的增根与无解

增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们常常会对这两个概念混淆不清,现举例说明它们之间的区别和联系.例1解方程6/x-1-x+5/x(x-1)+3x=0.解方程两边都乘以x(x-1),得6x-(x+5)+3(x-1)=0.解这个方程,得x=1.经检验,当x=1时,原方程无意义,所以x=1是原方程的增根.∴原方程无解.     

利用规律巧解分式方程

解可化为一元一次方程的分式方程,除了依据课本中介绍的"在方程的两边同乘以各分式的最简公分母,约去分母,化成整式方程"外,还应因题制宜,灵活运用一些数学规律,使     

增元法在解方程中的应用

对于一些看起来较复杂的整式方程、分式方程和无理方程,我们可应用增元法(即:增设一个未知数)将原方程转化为方程组,实现问题的顺利求解,现举例说明如下.一、解可化为一元二次方程的高次方程     

解分式方程的方法和技巧

解分式方程的基本思想是通过去分母 ,把分式方程化成整式方程 .但盲目、笼统地去分母有时会使项数增加 ,次数升高 .即使是合并同类项 ,会由于“繁”而费时多、速度慢 .我们应设法化简 ,其解法的选择要视题目的具体情况而定 .现将其常用的解法归纳如下 :一、直接去分母法例 1　解方程 1x+2 +4xx2 -4+22 -x=1 .(初中《代数》第三册P45例 1 )解 :原方程可化为 :1x+2 +4x(x+2 ) (x-2 ) -2x-2 =1 .去分母得 :x -2 +4x -2 (x +2 ) =(x+2 ) (x-2 ) .整理得 :x2 -3x+2 =0 .解得 :x1=1 ,x2 =2 .经检验 ,x1=1是原方程的根 ,x2 =2是增根 .二、换元法 .…     

解分式方程(组)的十二种技巧解法

初中《代数》课本中,概括出解分式方程(组)的一般方法有两种:一是将方程的两边都乘以各分式的最简公分母,把分式方程(组)化为整式方程(组)再求解,二是用换元法,引进了辅助未知数,把分式方程(组)化为整式方程(组)再求解。但对于一些特殊的分式方程,若用一般的方法解是比较繁琐的。因此有必要根据分式自身的特点和已学过的知识,灵活掌握分     

用合分比來解分式方程

解分式方程时,一般的方法是用方程中各項分母的最低公倍式乘方程的各項,变换成一个整式方程,解此整式方程,再把解得的根进行驗算,但有时应用合分比来解比較簡便。例如:解     

不应忽视解的存在性

<正>初中阶段,同学们会学习多种类型的方程,包含整式方程中的一元一次方程、二元一次方程(组)、一元二次方程,分式方程,简单的无理方程.其中,整式方程对于所有的实数都是有意义的;分式方程会出现使分母为0的解,因此有明确的检验要求;无理方程在初中阶段出现的比较少,解无理方程时,需要考虑方程的解是否使方程有意义.但在部分以无理方程为条件的数学问题中,     

分式方程中的增根与无解辨析

<正>增根与无解是分式方程中的典型问题,许多同学都把增根与无解等同起来,混为一谈.其实不然,增根与无解有区别,也有联系,有时相同,有时不同,要注意根据不同情况,区别对待.例1若关于x的方程2/(x-2)+(x+m)/(2-x)=2有增根,则m的值是______.解析解决增根问题,要注意2个要点:(1)增根使分式方程的最简公分母为0(使分