一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

一个几何不等式的加强

一个几何不等式的加强周才凯（湖南省炎陵县一中４１２５００）文［１］给出了如下不等式：设△ＡＢＣ的三条边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，的平分线长分别为ｔａ，ｔｂ，ｔｃ．若其外接圆半径和内切圆半径分别为Ｒ，ｒ，则在△ＡＢＣ中，如我们用ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别表示边Ｂ...     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

shc32的解决

ｓｈｃ３２的解决吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）设△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ；ｗａ，ｗｂ，ｗｃ分别是∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的内角平分线；ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别是相应边上的中线；Ｒ和ｒ分别是△ＡＢＣ的外接圆和内切圆半径．刘健在文［１］中...     

对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...     

三角形一个重要公式及其应用

在三角形中，我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线．下面给出分角线长的一种公式．定理　如图１，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上一点，设ＡＢ、ＡＣ分别为ｃ、ｂ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＡＤ＝β，图１则　　　　ＡＤ＝ｂｃｓｉｎ（α＋β）ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ．（１）当ＡＤ是∠Ａ的平分线时，　　　ＡＤ＝２ｂｃｃｏｓＡ２ｂ＋ｃ；（２）当ＡＤ是中线时，　　ＡＤ＝ｂｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎα＝ｃｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎβ；（３）当ＡＤ是高线时，　　　ＡＤ＝ｃｃｏｓα＝ｂｃｏｓβ＝ｂｃｓｉｎＡａ．（４）证明　在…     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

正弦和余弦

一、启发提问１．如图６－１,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝３０°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ｃ＝２ａ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．图６－１　　　　　　　图６－２　　２．如图６－２,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝４５°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ａ＝ｂ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．３．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中：∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°．（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′,那么：ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′成立吗？（２）如果ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′,那么：∠Ａ＝∠Ａ′吗？从上面的问题中我们不…     

解直角三角形教与学研究

第一课　正弦和余弦（一）一、启发提问１．如图６－１,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝３０°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ｃ＝２ａ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．图６－１　　　　　　　图６－２　　２．如图６－２,在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°．（１）如果∠Ａ＝４５°,则ａｃ＝,ｂｃ＝．（２）如果ａ＝ｂ,则∠Ａ＝,∠Ｂ＝．３．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中：∠Ｃ＝∠Ｃ′＝９０°．（１）如果∠Ａ＝∠Ａ′,那么：ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′成立吗？（２）如果ＢＣＡＢ＝Ｂ′Ｃ′Ａ′Ｂ′,那么：∠Ａ＝∠Ａ′…     

一个角平分线不等式的加强

一个角平分线不等式的加强３５００１５福州二十四中杨学枝笔者在文［１］中曾给出以下定理设面△ＡＢＣ的三边长分别为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应的角平分线长分别为ｔａ、ｔａ、ｔｃ，则当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时，（１）式取等号．本文仍采用文［１］中...     

一个几何不等式的证明

问题设ａ，ｂ，ｃ表示△ＡＢＣ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边，形内任意两点Ｐ１，Ｐ２到Ａ，Ｂ，Ｃ三个顶点的距离分别为ａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２，ｃ１，ｃ２求证：ａａ１ａ２＋ｂｂ１ｂ２＋ｃ１ｃ２ａｂｃ．这是Ｈａｙａｓｈｉ不等式的一个拓广，笔者经研究探索，得到如...     

内切圆半径为整数的海伦三角形

内切圆半径为整数的海伦三角形曾丕刚（陕西镇安县中７１１５００）笔者对文［１］进行改进与推广得到一些结论．设ＡＢＣ的三边为ａ，ｂ，ｃ；半周长、面积、内切圆半径分别为ｐ，ｓ，ｒ；ｔ＝ｐ－ａ，ｕ＝ｐ－ｂ，ｖ＝ｐ－ｃ．则ｔ，Ｖ，Ｖ的几何意义为各顶点到内切圆的...     

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法四川师大翁凯庆一、基础知识１、三角形面积公式设△ＡＢＣ的三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，其上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，半周长为ｐ，面积为Ｓ△ＡＢＣ，则（１）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｈａ＝１２ｂｈｂ＝１２ｃｈｃ；（２）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ...     

一、关于一个角平分线不等式的逆向讨论

一、关于一个角平分线不等式的逆向讨论马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）董文莉（甘肃省地矿局二中７３４０２４）本文研究不等式的逆向不等式．给出了（１）式左端的一个与Ｒ，ｒ有关的上界．定理设△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，∠Ａ，∠Ｂ，...     

解直角三角形

一、读书自学　Ｐ３３～Ｐ３５二、知识回顾１．解直三角形根据直角三角形中已知两个元素（除去直角）,其中至少有一已知元素是边,求出其余的过程．２．解直角三角形的根据．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ａ、ｂ、ｃ分别为∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边,六元素的主要关系如下：（１）三边关系：ａ２＋ｂ２＝,（２）两锐角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝,（３）边与角的关系（以∠Ａ为例）ｓｉｎＡ＝,ｃｏｓＡ＝,ｔｇＡ＝,ｃｔｇＡ＝．（４）面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａ·＝１２ｃ·ｈｃ（其ｈｃ为ｃ边上的高）三、典型范例例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

不等式研究成果集锦(1)

［编者按］　本刊从现在起,每逢双月将陆续刊出在《不等式研究通讯》（中国不等式研究小组主办,内部交流）上刊出的部分有关不等式研究方面的新方法、新成果,仅刊出其结论,详证请查阅原出处（以下行文作者后面的数字即该文在《不等式研究通讯》的刊期数）．文中“∑”、“∏”分别表示循环和、循环积．１．设△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边、面积、外接圆半径、内切圆半径分别为ａ、ｂ、ｃ与ａ′、ｂ′、ｃ′,△与△′,Ｒ与Ｒ′,ｒ与ｒ′．并记　Ｈ＝ａ′２（－ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋ｂ′２（ａ２－ｂ２＋ｃ２）＋ｃ′２（ａ２＋ｂ２…     

由三角形中线“生成”的正三角形

由三角形中线“生成”的正三角形２１４１０２江苏省无锡县仓下中学邹黎明笔者在研究三角形中线性质时，发现了一条美妙的性质．介绍如下．在ΔＡＢＣ中，记ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，三条中线ＡＤ＝ｍａ，ＢＥ＝ｍｂ，ＣＦ＝ｍｃ．∠ＢＧＣ＝θ１，∠ＡＧＣ＝θ２∠...     

关于∑ctgA≥∑tgA／2的研究

关于∑ｃｔｇＡ≥∑ｔｇＡ／２的研究２１４４３１江苏江阴市工商学校李尧亮，夏锦秀１背景在研究三角形不等式的过程中，人们发现诞生了．注本文中约定ａ、ｂ、ｃ，Ａ、Ｂ、Ｃ，△分别表示△ＡＢＣ的三边、三角和面积，记∑ｃｔｇＡ＝ｃｔｇＡ＋ｃｔｇＢ＋ｃｔｇＣ等，所...     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定；它们之间一定存在着某种必然的内在联系；事实上，我们有如下的定理；图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角，∠ＡＯＢ＝φ，∠ＡＯＣ＝θ１，∠ＢＯＣ＝θ２，二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α，则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα；略证：如图１，ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ，则∠ＡＣＢ＝α；令ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ；在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ＝ａｓｉｎθ１，ＯＣ＝ａｃｏｓθ１；同理，Ｂ…