边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

余弦定理的逆定理及其应用

先给出以下定理. 定理1给定六个元素:三个正数a,b,c和三个小于180°的正角A,B,C,若｛a2 =b2 +c2-2bccosA① b2=c2+a2-2ca cosB ②c2=a2+b2-2abcosC ③则这六个已知元素能唯一确定△ABC.这里△ABC的三个内角分别为A,B,C,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.     

课外练习

1.解方程5{x}-2[x]=11.(其中[x]表示不超过x的最大整数,{x)表示x的正小数部分).(广西南丹车河中学(547204)莫克伦)2.若△ABC的三边长是a,b,c且满足a4=b4+c4-b2c2,b4=a4+c4-a2c2,c4=a4+b4-a2b2,试判定△ABC的形状.     

一个角平分线不等式

引理1 若a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,则 1/wa+1/wb+1/wc=2/√3(1/a+1/b+1/c) △ABC为正三角形时取到等号.     

上期课外练习参考解答

初一年级1.∵　a +b =1a+ 1b=a +bab ≠ 0 ,∴　ab =1,　∴　 (ab) 2 0 0 3=1.2 .(1) 1△ 9=1× 9+ 1+ 9=19,(1△ 9)△ 9=19△ 9=199,[(1△ 9)△ 9]△ 9=199△ 9=1999.(2 )猜想 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9n个 9)=199… 9n个 9.3 .观察可知 ,图①中有 5个三角形 ;图②将图①出现了三次 ,又多出 2个三角形 ,故而②中有三角形个数为 5× 3 + 2 =17(个 ) ;图③包含三个图②又多 2个三角形 ,故而图③中三角形个数为 17× 3 + 2 =5 3 (个 ) ;依此类推图④中三角形个数为5 3× 3 + 2 =161(个 ) .初二年级1.由　a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b)　 =-3…     

一道自招试题的三种解法

题目在△ABC中,tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,求AC/AB.解法1不妨设A、B、C所对应的三边分别为a、b、c,a则 tanA=sinA/cos A=a/2R/b2+c2-a2/2bc=abc/R(b2+c2-a2),     

两个关于三角形边角关系的结论

定理 1　设a、b、c为△ABC的三边 ,当an,bn,cn(n∈N+,n <5 )组成等差数列时∠B≤ 60°.证明　当n=1时 ,2b=a+c由cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 14(a+c) 22ac =34× a2 +c22ac - 14≥12 　即B ≤ 60°当n =2时 ,2b2 =a2 +c2cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 12 (a2 +c2 )2ac =12 ·a2 +c22ac ≥ 12 　即B≤ 60°当n =3时 ,12 (a3+c3)≥ ( a+c2 ) 3 (a3+c3) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a+c) 3(a2 +c2 -ac) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 2 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 23 a2 +c2 -ac≥b2 B ≤ 60°当n =4时 ,(a-c) 4 …     

不等式研究成果集锦(11)

131在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,当max( A,B,C)≤ (π - crccosk)时 ,有　 ∑ a2b2 c2 ≤ 2 k2 5k 52 k 3,( 12 ≤ k <1 )当△ ABC为顶角为 (π - arccosk)的等腰三角形时取等号 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 32　在△ ABC中 ,三边长为 a、b、c,则i) ∑ a3b3 c3<389;ii) ∑ a4b4 c4<1 381 7.猜想 ,当 n≥ 2时 ,有∑ anbn cn <2 n-1 22 n 1 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 33　设△ ABC三边长为 a,b,c,则∑( - a b ca ) λ ≥ 3,其中λ≥ p =log2 3- 1 =0 .584 96 2 5… ,且 p是使不等式成立的最小正数 .猜想　设 0≤ xi <1 (…     

一类三角形面积不等式的改进与推广

文[1]建立了一类三角形面积不等式,本文改进并推广其结果.引理　设△AiBiCi的三边及面积分别为ai、bi、ci及△i,且λi∈R (i=1,2,…,n),记a0=∑ni=1λiai,b0=∑ni=1λibi,c0=∑ni=1λici,则以a0、b0、c0为三边可作三角形,且其面积　　　△0≥(∑ni=1λi△i)2,(1)仅当△A1B1C1∽△A2B2C2∽…∽△AnBnCn时取等号.证明　由ai bi>ci(i=1,2,…,n)有　a0 b0=∑ni=1λiai ∑ni=1λibi=∑ni=1λi(ai bi)>∑ni=1λici=c0;等等,故以a0、b0、c0为三边可作三角形.记其半周长pi=12(ai bi ci)　(i=0,1,2,…,n),易知p0=∑ni=1λipi及p0-a0=∑ni=1λi(…     

几个平方公式的有机统一

我们所熟悉的勾股定理、完全平方和 (差 )公式以及平方差公式等 ,都是中学数学的基本内容 .如果我们约定 ,三角形的某两条边可以重合 (共线 ) ,那么 ,这些平方公式都可以看作是余弦定理的特例 ,或者说 ,余弦定理可以把这些平方公式有机的统一起来 .所谓余弦定理 ,是指下面三个公式 :a2 =b2 +c2 -2bccosA (1)b2 =a2 +c2 -2accosB (2 )c2 =a2 +b2 -2abcosC (3 )其中A、B、C是△ABC的三个内角 ,a、b、c是这三个角所对应的边长 .特例 1当C =90°时 ,△ABC是一个直角三角形 .此时 ,cosC =cos90° =0 ,(3 )式变为c2 =a2 +b2 .这恰是著名的勾…     

用代数解平面几何题

如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°.延长CA至D使AD=BC,在CD上取ED=CD-AB,在CB上取CF=ED,连接FD交AB边于G,求证:S△CDF>S△ABC.图1证明如图1,记BC=a,CA=b,AB=c,于是有S△ABC=12ab,依题意有S△CDF=12(a+b)(a+b-c).比较S△ABC与S△CDF.S△CDF-S△ABC=12(a+b)(a+b-c)-12ab=12[(a+b)2-(a+b)c-ab]=12[a2+b2+2ab-(a+b)c-ab]     

數学問題及解答欄

216.設已給一正2n边形,其边依次为a_1,a_2…,a_(2n)點P与a_i的距离是d_i,若 d_1d_(n+1)+d_2d_(n+2)+…+d_nd_(2n)=k=常數試求點P的軌跡。 217.求出由拋物線y=x~2与直線y=n~2(n是整數)所圍成的區域內整點的个數,整點就是各个坐标都是整數的點。 218.若1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c),証明a,b,c三數中必有兩个同值而反号。     

三角形内心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,阅读之后受到启发,笔者发现三角形内心也有类似的性质,现行之成文与读者共同探讨.性质1如图1,设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边长分别为a,b,c.已知点I是△ABC的内心,过I作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=m AB,AN=n AC,则bm cn=a b图1 c.证因为点I是△ABC的内心,∴a IA b IB c IC=0[3],∴-a AI b(AB-AI) c(AC-AI)=0,∴(a b c)AI=b AB c AC,即AI=ba b c·AB ca b c·AC.又因为M,I,N三点共线(A不在直线MN上),∴AI=λAM μAN(且λ μ=1),∴AI=λm AB μn AC=ba b c·…     

课外练习

初一年级1.已知a +b =1a+ 1b≠ 0 ,试求出 (ab) 2 0 0 3 的值 .( )2 .设A△B =AB +A +B ,如 2△ 3 =2× 3 + 2+ 3 =11.(1)求 [(1△ 9)△ 9]△ 9;(2 )求 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9)3 .观察下列图形 :根据①、②、③图的规律 ,图④中三角形的个数是多少 ?初二年级1.已知a,b ,c为整数 ,且满足a2 +b2 +c2 =1,a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b) =-3 ,求a+b +c的值2 .如图 ,八个点处各写一个数字 ,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数 ,则代数式a +b +c +d -12 (e + f +g +h)a +b +c +d -13 (e + f +g +h)的值…     

一道高考填空题的解法探究

2013年高考新课标卷I理科第12题为：设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1〉c1,b1＋c1=2a1,an＋1=an,bn＋1=cn＋an/2,cn＋1=bn＋an/2,则（）     

2011年高考数学江西卷第17题(文、理)别解

2011年高考数学江西卷文科第17题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值;(2)若a=1,cosB+cosC=2√3/3,求边c的值.     

问题与解答

一、本期问题 1。设。。是1+2+3+…+:的个位数舒毛N,试证0 .a:a:a:二a。…是有理数. ·山东巨野县职工学校尚瑞山提供 2。设a、b、c为非零实数,且a+b+c“O,证明八戈粉又‘,+乙,+c, 7 忍6+丙6+c sa:+乙:+c::二一.一 证明:如图,连BX、CY交于O,则O应是△月BC的内心.过O作OD上石C于D,则OD=丫. 又连灭Y,则述心洲线XY二,:. 多失!△6刀C的面积=△口犬r的正积犷~一。 湖南邵阳市教研究许第珍 3。已知△月刀C三内角五:刀:C=:9,a、b、‘表相应的三条边的长,c。一a“=c“(西一a)+乙2(c一a). 吉林泊镇蚕劳改总队一中张迎春 4.设”<‘<分,求证,…     

一道课外练习题的另一证法

<正>《中学生数学》2013年7月下初三课外练习题第3题为:设△ABC的三条边长为a,b,c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥4槡3S.另证由12bcsinA=12casinB=12absinC=S,得bc=2S sinA,ca=2S sinB,ab=2S sinC.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca=(1sinC+1sinA+1sinB)2S.显然,可知当a=b=c时,取等号,于是∠A=∠B=∠C=60°.故a2+b2+c2≥(1sin60°+1sin60°+     

Pedoe不等式的向量证明

设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c…     

关于∑√a/b+c的上界

设△ABC的三边长为a、b、c,则有 　　∑√a/b+c》2, 　　其中2是最佳的.本文将讨论∑√a/b+c的最佳上界.……