一个常用定理的推广与应用

不等式中有一个常用定理。已知x、y∈R~+,x+y=S,xy=P。1.如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小; 2.如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。     

一道例题的应用

六年制重点中学高中代数第二册88面例3题目如下:已知x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,求证(1)如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小;(2)如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。利用这个例题求函数的最大、     

对课本一道有关最值例题的推广

高中课本第二册P88的例3是有关最值的一个例题,题目为: “己知x,y∈R~ ,x y=S,x·y=P,求证: ①如果P的定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。(2(p)~(1/2)) ②如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。(S~2/4) 事实上,上述结论包含在恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/4(x,y∈R~ ,x≥y)中,如果我们认真分析恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/(4)x、y ∈R~ ,x≥y,便可得到如下的结论。 (1)当积xy为定值时,和x y的值随差x -y的增大而增大。当且仅当差x-y取得最     

用平均值不等式求极值时正数的匹配

用不等式,x+y≥2(xy)~(1╱2)(x,y都为正数)求极值是《不等式》的教学重点之一。由此不等式得出定理:设x、y是正数,如果和x+y(积xy)是定值,那么当x=y时,积xy(和x+y)有最大(小)值。即若两个正数之和为常量,则当两数相等时,其积有最大值;若两个正数之和为常显,則当两数相等时,其和有最小值。这个定理     

利用均值不等式求函数最值再探

新编高中代数下册第9页例3,给了我们一种求函数最值的方法: 已知:x、y∈R~ ,x y)=s,x·y=p (1)如果p是定值,当且仅当x=y时,s的值最小。 (2)如果s是定值,当且仅当x=y时,p的值最大。 这里的条件太苛刻,(1)如果x、y不可能     

利用不等式求函数最值方法的推广

高中代数课本第二册88页例3,给了我们一种求函数最值的方法。原题如下: 已知:x、y∈R~ ,x y=S,xy=P。(1)如P是定值;当且仅当x=y时S的值最小。(2)如s是定值,当且仅当x=y时P的值最大。对于某些不满足x=y的函数,就无法用这种方法求得最值。如f(x)=(x~4 4x~2 5)/(x~2 2),它可化成f(x)=(x~2 2) 1/(x~2 2),尽管(x~2 2)·1/(x~2 2)=1,但无论x取何实数,(x~2 2)与1/(x~2 2)永不会相等。显然不能用例3的方法求f(x)的最小值。     

一个分式不等式的解题功效

本刊刊出了《构造不等式,巧解最值题》[1],该文介绍了分式不等式: 定理设x1,x2∈R,r1,r2,∈R+, 则x12/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/(y1+y2) (当且仅当x1:y1=x2:y2时,等号成立) 本文将进一步介绍定理的解题功效.     

构造余弦定理模型解题

余弦定理是高中数学解三角形的重要定理.如果我们把余弦定理当做一种解题的思路和工具,就可构造余弦定理模型,跳出三角函数的苑囿,求解其它很多数学问题.1求解最值问题例1已知x,y∈R+,且4x 2+y 2+xy=1,求2x+y的最大值.     

均值不等式的拓广及其应用

本文用初等方法证明均值不等式的拓广,并用它解决一些函数的最值问题. 定理 设x,y∈R+,a,b为正有理数,则 aabb(x+y)a+b≥(a+b)a+bxayb ①当且仅当x/a=y/b时,①式取等号. 证明 (1)当a,b为正整数时,由算术——几何平均值不等式,有 (x+y)a+b     

一个无理型柯西不等式的应用

本文介绍下列一个无理型柯西不等式的应用. 定理设x1,x2,…,xn;y1,y2,…,yn∈R+,则当且仅当x1:y1=x2:y2=…=xn:yn 时,等号成立.     

一个平凡不等式的妙用

这是一个平凡元奇却十分有用的不等式:定理设x1,x∈R,y1,y2∈R+,则当且仅当(x1/y1)=(x2/y2)时,等号成立.证明易得     

关于二次根式的一个不等式及应用

本文给出关于二次根式的不等式①,并举例说明①的广泛应用.定理设p>0,xy≥0,则p x p y≥p p x y,①当且仅当x=0或y=0时,①之等号成立.证因为xy≥0,所以,p x p y=2p x y 2p2 px py xy≥2p x y 2p2 px py(等号成立当且仅当x=0或y=0)=p 2p.p x y p x y=p p x y.推论1设p>0,xy≥0,p     

两个代数不等式及应用

定理 1　对于 x ,y ,a ,b∈R ,则有　 (x -a) 2 + ( y -b) 2≥ (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2 ( 1 )等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 .证　将 ( 1 )左端减去右端得(x -a) 2 + ( y -b) 2 - (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2=- 2 (ax +by) + 2 (x2 + y2 ) (a2 +b2 )≥ 0 (应用Cauchy不等式 ) .等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 ,可见式 ( 1 )成立 .定理 2　对于 xi,yi∈R ,若当n≥ 2时存在x2 + y2 ≥∑ni=1xi2 + yi2 ,则有(x -∑ni=1xi) 2 + ( y -∑ni=1yi) 2　≥ (x2 + y2 -∑ni=1xi2 + yi2 ) 2 ( 2 )等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=… =xnyn=xy 且x…     

运用均值定理解题的错解与技巧剖析

“若a1,a2,…,an∈R+,则a1+a2+n…+an≥na1a2…an,仅当a1=a2=…=an(n≥2,n∈N)时等号成立”是一个应用广泛的平均不等式,许多外形与它截然相异的函数式,常常也能利用它巧妙地求出最值.运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容,因此必须掌握用重要不等式求函数最值的方法.一、重视运用正数、取等、定值1.注意正数例1求函数y=x+4x的值域.错解:∵x+4x≥2x×4x=4(仅当x=2时取等号),所以值域为[4,+∞).这里错误在于使用均值定理a+b≥2ab时忽略了条件:a,b∈R+.正解:当x>0时,x+4x≥2x×4x=4(当x=2时取等号);当x<0时,-x>0而(-x)+-4x≥2(-x)-4x=4…     

一类二元函数最值的求法

文[1]利用不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则x21y1 x22y2≥(x1 x2)2y1 y2(1)(当且仅当x1y1=x2y2时等号成立)给出了一类二元函数最值问题的一种解题策略.受此启发,本文给出另一类二元函数最值的求法.定理设x,y∈R,a,b∈R ,则(1)当a>b时,有x2a-y2b≤(x-y)2a-b(2)(2)当a相似文献   

一道最值问题的发散思维

例求曲线C:槡x+槡y=1上的点到原点的距离的最小值.分析一在使用基本不等式求最值时,凑定值是解题的重要一环.本题中虽然有定值"1",但与曲线上的点P(x,y)到原点的距离x2槡+y2所要求的定值无直接的关系.可以考虑用"中间量"x+y来联系槡x+槡y与x2+y2.解法一设点P(x,y)是曲线C上的任意一点,则1=(槡x+槡y)2=x+y+2槡xy,结合基本     

用均值不等式等号成立条件解题

在高中《代数》下册(必修本)P.8介绍了不等式的定理1及其推论: 定理1 如果a,6∈R,那么a~2 b~2≥2ab,(当且仅当a=6时取“=”号)。 推论 如果a,6∈R~ ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”     

不等约束条件下二元函数最值问题的解法

在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1　利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1　已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解　∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当…     

代换法求最值举例

<正>当待解数学题,如果直接求解有困难时,往往需要引入一个或几个新"元"代换原问题中的"元",使得以新"元"为基础的问题求解比较简单,容易达到解题目的,这种解决问题的方法,称为变量代换法.这种方法应用十分广泛,仅举例说明它在求最值中的应用.例1设x、y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.解将4x2+y2+xy=1左端配方得     

条件"x+y=1"下1/xn+λ/yn的最小值

1　问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y)　　 =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即　 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) ,　 =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有　 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且　 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x…