从函数角度谈“恒成立”问题

在学习函数、方程、不等式过程中,常见到“恒成立”问题.一般来说,“恒成立”问题多数涉及两个变量,其中一个变量恒满足某一条件,对另一个变量进行数学设问.而这两个变量间的关系常以函数、方程、不等式等形式给出.本文重点从函数角度介绍一下“恒成立”问题的解题策略. 一、不等式“恒成立”问题 例1 已知x2 (4a-3)x 3a>0, (1)若不等式对任意实数x∈[-1,3]恒成立,求实数a的取值范围. (2)若不等式对任意实数a∈[-1,3]恒成立,求实数x的取值范围.     

2007年高考“恒成立”问题的分类解析

在2007年的高考中，有许多省市都考到了“恒成立”问题．高考中的“恒成立”问题，把不等式与函数、导数等内容有机地结合起来．本文从以下6个方面阐述“恒成立”的有关方法，以提高学生思维能力和解题能力．     

数学问题驱动的三阶深度学习引导模式教学实践——以“函数与导数”微专题复习为例

不等式恒成立问题形式简单,解法多样,能够有效区分学生的思维层次,是高考数学考查的热点.在高三复习“函数与导数”时,以微专题的形式,采用“问题驱动的三阶深度学习引导模式”,对不等式恒成立问题尝试进行深度学习的教学实践,以期实现对此类问题的有效突破.     

“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手

恒成立问题是高中数学中的一个热点,而不等式更是高考的重点,有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点,这不无道理．但此类问题解法灵活、综合性强,部分考生常感到无从下手,茫然不知所措,那么到底如何解决这类问题呢？实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”,求不等式恒成立问题就会迎刃而解．本文试对这类问题作一些归纳和总结,以飨读者．     

用导数解不等式（等式）成立问题

不等式恒成立问题是高考中一类常见的典型问题,近几年的高考试题中经常出现存在x0使不等式（等式）成立的问题,我们把它称之为“不等式（等式）能成立”的问题．与不等式恒成立问题一样,这类问题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理．     

从一道高考题谈含参数不等式解题策略

含参数不等式恒成立问题和存在性问题是近几年高考的一个热门题型,它以“参数处理”为主要特征,以导数为工具,往往与函数的单调性、极值、最值等有关,在解决这类问题的过程中涉及了“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”“分类讨论”等数学思想.含参数不等式求参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求恒成立问题或存在性问题中的参数范围.解决这类问题,主要是运用等价转化思想,把复杂的,不熟悉不规范的问题转化熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.下面就一道含参数不等式恒成立问题来谈谈如何对它进行横向拓展、纵向引申,达到优化认知结构、掌握思想方法、培养思维能力的目的.     

容易混淆的"恒成立"问题与"存在成立"问题

不等式是中学数学的基础知识和重要部分,一直是各类考试、考查的热点与重点.不等式"恒成立"问题与"存在成立"问题,又是不等式中常见的题型.在各地的自主招生、高考、模拟考试中屡见不鲜.此二类问题对学生掌握基本数学思想与方法提出了较高的要求.学生对此二类问题往往感到容易混淆.     

新高考强化了导数应用——不等式恒成立与有解问题辨析

不等式恒成立与有解问题,经常在函数、导数、不等式等知识点的交汇处出现,一直是中学数学的-个重点 在新课程高考试题中,不等式恒成立与有解的问题,经常与参数的范围联系在一起,成为新高考的一个亮点. 考场实践证明,考生容易把"恒成立与有解问题"弄混,使之成为高考中的一个难点.本文通过对"恒成立与有解问题"的辨析,看看导数在新高考中应用的强化.     

三“恒“问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒“问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.……     

“恒成立”与“恒有解”辨析

不等式“恒成立”与“恒有解”是容易混淆的问题.“f(x)>a在什么条件下在R上恒成立.”是指求对每个实数x,f(x)>a都成立的条件.用函数的观点来看,命题等价于“在什么条件下,函数y=f(x)的图像恒在直线y=a的上方.”     

三“恒“问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒“问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.……     

继承与创新同在,传统与开放并存——2012年浙江省数学高考理科第17题赏析

2012年浙江高考数学理科试卷最后一道填空题,考查的是高中数学中常规、传统的含参数的不等式恒成立问题.2011年浙江高考数学理科试卷最后一道解答题,也是含参数的函数不等式恒成立问题.2011年底全国各种中学数学杂志针对含参数的函数不等式恒成立问题的解     

解决“导数大题中恒成立问题”的几种常用方法

<正>我们在导数这一章节中经常会碰到含参数的不等式恒成立,求参数范围的问题.具体的方法有很多:比如分离变量求函数的最值,或者直接求导并讨论函数的单调性,得到f(x)_(min)>0或是f(x)_(max)<0,或者局部分参之后利用切线,数形结合得到参数范围.这些方法都是解决不等式恒成立问题常用的.     

“任意”与“存在”问题的多种解法

含参不等式恒成立、存在性问题历来是高考考查的热点、难点,它们之间既有联系,又有区别,还可以相互转化．对这类问题该怎样求解呢？这类问题往往涉及数形结合、分类讨论等数学思想,主要采用分离参数法（参数能够分离）、函数最值法等方法．     

"恒成立"问题处理的常用策略

在高中数学里,经常会碰到诸如:曲线恒过定点、方程恒有解、含参不等式恒成立等问题.(我们简称为“恒成立”问题)从教学实践和各种检测可以看出:不少同学对于这一类问题感到很“棘手”,本文结合高考、竞赛试题及各地高考模拟试题对“恒成立”问题的处理策略加以梳理、总结如下:1     

聚焦高考导数应用的一个热点——不等式恒成立与有解问题

不等式恒成立与有解问题是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,在近几年各地的高考试题中,大量存在着涉及不等式恒成立与有解问题,特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题,这类问题用初等方法难以处理,而利用导数工具来解,思路明确,过程简捷,淡化繁难的技巧,它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法,而且还考查极限、导数等工具的掌握和灵活运用.     

例谈含参数的绝对值不等式问题及其解法

<正>含参数的绝对值不等式问题,通常出现以下三种题型:已知恒成立或存在性条件求参数的值或范围,已知两个函数图像围成的区域大小或形状求参数的值或范围,含参数的绝对值不等式证明.下面结合例子给出了这三种题型的解法,为学生的系统复习做些准备.1已知恒成立或存在性条件求参数的值或范围例1 (2017年高考全国卷Ⅰ·文理23)     

“恒”字类问题的破解策略

"恒"字类问题是指"恒成立"、"恒不成立"、"不恒成立"问题,这类问题既是高考的热点,又是高考的难点之一.本文结合实例讨论"恒"字类问题的几种常用解题思路,望对同学们能有所帮助.一、恒成立问题1.用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n],有:f(x)＞0恒成立(→){f(m)＞0,f(n)＞0.f(x)＜0恒成立(→){f(m)＜0,f(n)＜0.例1 若不等式2x-1 ＞m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的范围.     

不等式恒成立问题中的求参策略

不等式恒成立问题是高考中经常遇到的一类问题,此类问题的应用也相当广泛.但是面对此类问题,同学们往往束手无策,难以顺利解决.现结合实例谈谈不等式恒成立问题中的求参策略.     

高考数学中不等式恒成立问题的解题“三招”

近几年来,不等式恒成立问题成为了高三复习迎考训练与高考的一个热点与难点,它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线的性质及图像,渗透着分类讨论、化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想与方法,能充分考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,因此备受命题者青睐．常用的“三招”解题方法为解决等式恒成立问题提供了有效的手段．