On the deflection of a thick plate under a sinusoidal load

Summary The equations of deflection of a thick plate presented in a previous paper are solved for an infinite plate under sinusoidally distributed pressure acting at its upper surface.The deflection and stress of the plate are calculated from the solutions of the approximate equations. The results are compared with those calculated from the exact solution and also with those obtained from other approximate methods.

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Über die Durchbiegung einer dicken Platte unter einer sinusförmigen Last

Übersicht Die in einer früheren Arbeit gegebenen Gleichungen für die Durchbiegung einer dicken Platte werden für den Fall einer unendlichen Platte gelöst, deren Deckfläche durch einen sinusförmigen verteilten Druck belastet wird.Aus den Lösungen der Näherungsgleichungen werden die Durchbiegung und die Spannung einer dicken Platte berechnet. Die Ergebnisse werden mit dem aus der exakten Lösung erlangten Resultat sowie mit den aus anderen Näherungsverfahren erhaltenen Ergebnissen verglichen.

     

On the flexural vibration of an elastic plate carrying a concentrated mass

Summary The dynamic response of an elastic plate carrying a concentrated mass is analysed. Despite the presence of a singular mass distribution function, a rigorous analysis leading to a closed-form solution in the form of an infinite series has been made. By developing Green's function for the associated partial differential equation, any form of dynamic excitation is easily considered.

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Ein beitrag zu den biegeschwingungen einer elastischen platte mit einer punktförmigen zusatzmasse

Übersicht Untersucht wird das dynamische Verhalten einer elastischen Platte mit punktförmiger Zusatzmasse. Ungeachtet der Masseverteilung mit Singularität wird eine mathematisch strenge Behandlung, die zu einer geschlossenen Lösung in der Form unendlicher Reihen führt, unternommen. Durch Entwicklung der Greenschen Funktion für die assoziierte partielle Differentialgleichung lassen sich beliebige dynamische Erregungen behandeln.

     

On the analysis of thick rectangular plates

Summary Thick rectangular plates are investigated using the method of initial functions proposed by Vlasov. The governing equations are derived from the three-dimensional elasticity equations using a MacLaurin series approach. As the governing equations can be obtained in the form of series, approximate theories of any desired order can be constructed easily by proper truncation. An exact solution is obtained for an allround simply supported thick plate using a Navier type solution. A Levy type solution for higher order theories is illustrated for the case of a thick plate with two opposite edges simply supported and other two edges clamped. Numerical results obtained are compared with those of classical, Reissner and Srinivas et al. solutions.

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Übersicht Mit Hilfe der Methode der Initial-Funktionen von Vlasov werden rechteckige Platten untersucht. Die zugehörigen Gleichungen werden aus den Gleichungen für das dreidimensionale Problem durch eine Entwicklung in MacLaurin-Reihen gewonnen. Durch Abbrechen dieser Reihen können Näherungen beliebiger Ordnung erhalten werden. Für den Fall einer allseitig einfach gelagerten dicken Platte wird eine exakte Lösung erhalten, bei der eine Lösung vom Navier-Typ verwendet wird. Eine Lösung vom Levy-Typ höherer Ordnung wird am Beispiel einer dicken Platte abgeleitet, von der zwei gegenüberliegende Ecken einfach gelagert, die anderen fest eingespannt sind. Die numerischen Ergebnisse werden mit den klassischen, von Reissner, Srinivas u. a. erhaltenen Resultaten verglichen.

     

Bending of a partially clamped rectangular plate

Summary The present study deals with the bending of a rectangular plate with two opposite simply-supported edges and other two free edges having any portion, clamped in such a way that the slope is zero. The solution is obtained by means of a superposition proposed by Kurata and Hatano [3]. The case of a square plate under a uniform load or a point load has been studied in detail.

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Übersicht Es wird die Biegung einer rechteckigen Platte untersucht, von der zwei Ränder einfach unterstützt sind, während die anderen Ränder zum Teil frei sind, zum Teil so eingespannt, daß die Neigung verschwindet. Die Lösung wird mit Hilfe einer Superposition erhalten, die von Kurata und Hatano [3] vorgeschlagen wurde. Für den Fall einer quadratischen Platte unter einer gleichförmigen Last oder einer Einzellast werden die Berechnungen weiter ausgeführt.

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This paper is a part of author's Ph. D. thesis submitted to the Indian Institute of Technology, Kharagpur in 1965.     

Dynamic analysis of constrained elastic systems

Summary The dynamic behaviour of a vertical cantilever carrying a concentrated mass at the top, and elastically constrained atsome point is examined. Green's function of the associated unconstrained problem is developed, using which the differential equation of the constrained problem is transformedinto an integral equation. The latter has been shown to be a contractive mapping ensuring both existence and uniqueness of solution.

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Analyse der Dynamik einer elastischen Säule mit Feder-Fesselung

Übersicht Untersucht wird das dynamische Verhalten einer vertikalen Säule, die an der Spitze eine Einzelmasse trägt und in einer gewissen Höhe an eine Feder gefesselt ist. Die Greensche Funktion des assoziierten Problems ohne Fesselung wird entwickelt und mit ihr die Differentialgleichung des Systems mit Fesselung in eine Integralgleichung überführt. Für letztere wird gezeigt, daß sie eine kontrahierende Abbildung ist und daher die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet ist.

     

Internal circular crack under normal antisymmetric loading

Summary A complete solution is given for the first time to the title problem. Explicit expressions are derived for the field of stresses and displacements in a transversely isotropic space weakened by a penny-shaped crack and subjected to two antisymmetrically applied normal concentrated forces. The method is based on the new results in potential theory obtained by the author earlier. The presented results may be used as Green's functions for a general case of antisymmetric loading so that the complete solution can be presented in quadratures. Several specific applications to fracture mechanics are considered.

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Antisymmetrische Lasten senkrecht zum kreisförmigen Innenriß

Übersicht Für das Titelproblem wird hier erstmals eine vollständige Lösung mit expliziten Ausdrücken für die Spannungen und Verschiebungen im transversal-isotropen Raum mit zwei Einzellasten senkrecht zu einem Kreisriß angegeben. Die Herleitung beruht auf neueren Ergebnissen des Autors in der Potentialtheorie. Die Ergebnisse können als Greensche Funktionen für den allgemeinen Fall antisymmetrischer Relastung benutzt werden, so daß dessen vollständige Lösung durch Quadraturen darstellbar ist. Schließlich werden verschiedene Anwendungen in der Bruchmechanik betrachtet.

     

Dynamic response of elastic plates on viscoelastic foundations to moving loads

Summary The steady-state response of an inifinite plate strip on a foundation of Kelvin material to a moving harmonic line load is presented. The line of application of the load is perpendicular to the infinite edges of the plate, and the load moves parallel to the edges at constant speed. The equations of motion for the plate are those of Mindlin, and they are solved by the integral transform technique. The uniqueness and existence of the physically reasonable solution for any speed of the moving load are discussed. The transient response of the same plate, but with semi-infinite length, is formulated as a mixed initial-boundary value problem. A numerical solution by the method of characteristics is proposed. The propagation of stress discontinuities along wave fronts is also investigated.

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Übersicht Es wird das Verhalten eines unendlich langen Plattenstreifens auf einem Fundament aus Kelvin-Material unter einer sich bewegenden, harmonisch über die Breite verteilten Linienlast nach Erreichung des Beharrungszustandes beschrieben. Die Angriffslinie der Last steht senkrecht auf den unendlich langen Kanten der Platte; die Last bewegt sich parallel zu den Kanten mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Die Bewegungsgleichungen für die Platte sind dieselben wie die von Mindlin; sie werden durch eine Integral-Transformation gelöst. Die Eindeutigkeit und Existenz der physikalisch sinnvollen Lösung für beliebige Geschwindigkeiten der wandernden Last werden diskutiert. Der Einschwingvorgang derselben, von Null bis ins Unendliche erstreckten Platte wird als gemischtes Anfangs-Grenzwert-Problem behandelt. Eine numerische Lösung mit Hilfe des Charakteristiken-Verfahrens wird vorgeschlagen. Das Fortschreiten von Spannungssprüngen längs Wellenfronten wird ebenfalls untersucht.

     

Ein Beitrag zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen ebener Flächentragwerke nach der Differenzenmethode

Übersicht Im vorliegenden Beitrag wird die biharmonische Differentialgleichung mit vorgegebenen Randbedingungen au zwei gegenüberliegenden Rändern unter Anwendung von Differenzenausdrücken durch fünfgliedrige Matrizengleichungen dargestellt. Die vollständige Lösung dieser speziellen Klasse von Matrizengleichungen setzt sich aus einem inhomogenen Lösungsanteil und einem homogenen Lösungsanteil zusammen, der aus einer Summe von Produktion aus Eigenwerten, Eigenvektoren und freien Konstanten gebildet wird. Aus den Randbedingungen der beiden anderen gegenüberliegenden Rändern ergeben sich Bestimmungsgleichuugen für die in der homogenen Lösung enthaltenen freien Konstanten. Für den eingespannten Plattenstreifen werden die Eigenwerte und Eigenvektoren angegeben.

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Summary The biharmonic differential equation with prescribed boundary conditions on two opposite edges is established using difference expression obtained from five-term matrix equations. A complete solution to this special category of matrix equations consists of an inhomogeneous and homogeneous part, which are obtained as a sum of products of eigenvalues, eigenvectors and free constants. Equations to determine the free constants in the homogeneous solution result from the boundary conditions of the two other opposite edges. Eigenvalues and eigenvectors for a clamped strip are given.

     

Mixed convection similarity solutions of a non-Newtonian fluid on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer flow on a horizontal stationary or moving plate to a power-law non-Newtonian fluid is analyzed. An exact similarity solution is given for the case of a wall temperature that is inversely proportional to the power-law of the distance from the leading edge of the plate. It is shown that such a solution does not exist if the boundary parameter is smaller than a certain critical value. The effects of the flow index, buoyancy parameter and modified Prandtl number on the velocity and temperature profiles as well as on the global heat transfer and displacement thickness are discussed.

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Ähnlichkeitslösungen für die Mischkonvektion von einem Nicht-Newton'schen Fluid auf einer horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Hier ist die Mischkonvektion von Grenzschichtströmungen auf einer horizontal stillstehenden oder beweglichen Platte für einen Potenzansatz der Nicht-Newton'schen Fluide analysiert worden. Eine genaue Änlichkeitslösung ist für den Fall, daß die Wandtemperatur entgegengesetzt proportional zum Potenzansatz des Abstandes von der Vorderkante der Platte ist, gegeben worden. Es ist gezeigt worden, daß eine solche Lösung nicht existiert, wenn der Grenzparameter kleiner als ein bestimmter kritischer Wert ist. Die Einwirkungen des Strömungsindex, Auftriebsparameter und modifizierter Prantlzahl auf die Geschwindigkeitsund Temperaturprofile sind genauso intensiv besprochen worden, wie die globale Wärmeübertragung und die Verdrängungsdickte.

     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

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Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

Zur Dynamik einer unendlichen Platte auf dem Halbraum-Fundamentnachgiebigkeit und Wellenfeld bei harmonischer Punktlast

Übersicht Es wird das System einer unendlich ausgedehnten Platte auf einem homogenen Halbraum bei Anregung durch eine vertikale harmonische Punktlast untersucht. Die lösung für die vertikalen Verschiebungen der Platte und der Halbraumoberfläche läßt sich explizit als Fourierintegral über die Wellenzahl angeben. Die Polstellen des Integranden geben Auskunft über die Wellengeschwindigkeiten und Dämpfungen der freien Wellen des Systems. Für die Verschiebungen des Lastangriffspunktes läßt sich das Integral zum Teil geschlossen lösen, und man erhält die statische Nachgiebigkeit, sowie eine mittelfrequente und eine hochfrequente Asymptote. Für die allgemeine Lösung am Lastangriffspunkt und für das Wellenfeld wird das Integral numerisch ausgewertet.Es zeigt sich, daß das System Platte auf Halbraum sich bei tiefen Frequenzen dem Halbraum und bei hohen Frequenzen der Platte annähert. Dies gilt für die Wellengeschwindigkeiten und für das Wellenfeld. Die Nachgiebigkeit am Lastangriffspunkt ist hingegen schon bei der statischen Lösung von der Plattensteifigkeit mit beeinflußt. Der mittelfrequente Bereich ist stark von der Wechselwirkung zwischen Platte und Halbraum geprägt. Durch die Abstrahlung von Wellen ins Innere der Halbraumes ergibt sich eine starke Dämpfung der Oberflächenwellen mit einer entsprechend starken Amplitudenabnahme über die Entfernung. Am Lastangriffspunkt ergibt sich eine charakteristische Asymptote für die Nachgiebigkeit vonu/p (i )^1/2. Diese mittelfrequenten Wechselwirkungsphänomene sind besonders bei «leichten» Platten stark ausgeprägt. Als maßgeblicher Frequenzparameter erweist sich eine auf die Scherwellenlänge des Halbraumes bezogene elastische Länge 1.

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Dynamic interaction of an inifinite plate and a half-space due to a harmonic point load

Summary An infinite plate resting on a homogeneous half-space is considered under a vertical harmonic point-load. The solution of the vertical displacements of the plate are given as a Fourier integral in wavenumber domain. The wave speed and the damping of free waves, the complicance function at the loading point and the wave field at certain frequencies are presented. The results show that there are three different ranges of frequencies: at low frequencies the plate on half-space is dominated by the half-space, at high frequencies the system behaves like a plate without half-space. The intermdiate range of frequencies is strongly influenced by the interaction of the plate and the halfspace. The surface waves of the half-space are scattered into the half-space by the flexural stiffness of the plate. Therefore there is a strong damping of free waves, a corresponding strong decay of the amplitudes with distance, and a characteristic compliance at the loading point ofu/p (i )^–1/2.

     

Dynamic responses of orthotropic plates under moving masses

Summary The problem considered is that of heavy masses moving on lightweight rectangular plates of orthotropic materials, slated for use in space structures. The dynamic equation of motion for orthotropic plates which contains singularities in both space and time variables is first presented. The response is expressed as a summation of double series of eigenfunctions. The equation of motion is transformed into an integro-differential equation for modal amplitudes using the Green's function. The Green's function is chosen to satisfy the initial conditions, the boundary conditions, and the transient conditions due to the moving masses. The solution series exhibits a good convergence. The effect of orthotropicity on natural frequencies and dynamic responses is demonstrated.

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Dynamische Antwort orthotroper Platten auf bewegte Massenpunkte

übersicht Behandelt wird die Bewegung von Massenpunkten auf rechteckigen Leichtbau-Platten aus orthotropem Werkstoff, die für Raumfahrtkonstruktionen vorgesehen sind. ZunÄchst wird die Bewegungsgleichung orthotroper Platten mit singulÄren Ausdrücken in den Raum- und Zeitkoordinaten angegeben. Die Antwort wird als Doppelsumme einer zweifachen Reihenentwicklung dargestellt und die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Greenschen Funktion in eine Integro-Differentialgleichung für die Modalamplituden transformiert. Die Greensche Funktion ist so gewÄhlt, da\ sie die Anfangs- und Randbedingungen sowie die übergangsbedingungen unter der bewegten Masse erfüllt. Die Lösung durch Reihenentwicklung zeigt gute Konvergenz. Der Einflu\ der Orthotropie auf die Eigenfrequenzen und die dynamischen Antworten wird veranschaulicht.

     

Eine neue,allgemeine Näherungslösung für den Wärme- und Stoffaustausch in laminaren Mehrstoffgrenzschichten an der längs angeströmten,ebenen Platte

Zusammenfassung Für den Wärme- und Stoffaustausch in laminaren Mehrstoffgrenzschichten über einer längs angeströmten, ebenen Platte stehen als Näherungslösungen für beliebige wandnormale Massenströme nur die exakte Filmtheorie von Krishna und die Näherungslösung der reibungsfreien Strömung zur Verfügung. Es wird in einem Vergleich mit Ergebnissen des beschreibenden Differentialgleichungssystems gezeigt, daß beide Näherungen die Austauschvorgänge nicht befriedigend beschreiben können. Unter der Annahme eines linear ansteigenden Strömungsprofils wird eine neue NäherungslÖsung mit eigenen Korrelationen für den Geschwindigkeitsgradienten aufgestellt. Für Mehrstoffsysteme mit beliebigen wandnormalen Massenströmen gibt diese neue Näherungslösung die Ergebnisse des Differentialgleichungssystems bei konstanten Stoffwerten im System vorzüglich wieder. Der Einfluß konzentrations-und temperaturabhängiger Stoffwerte kann durch Einsetzen geeigneter Referenzwerte in die neue Näherunglösung ebenfalls befriedigend erfaßt werden. Für die Referenzwertbestimmung werden Methoden mitgeteilt.

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A new general approximate solution for the heat and mass transfer in laminar multicomponent boundary layers of the flate plate

The heat and mass transfer between a laminar multicomponent boundary layer and a flat plate with arbitrary injection and suction through the plate surface can be approximately described by the exact film theory of Krishna and by a theory based on a frictionless current only. A comparison shows that the results of these approximate solutions can differ significantly from numerical results calculated from the full set of differential equations for this problem. A new approximate solution based on a linear increasing velocity profile is introduced with its own correlation for the velocity gradient. This new approximate solution reproduces the results of the differential equations for constant fluid properties extremly well. The variation of the properties with respect to temperature and concentration can be accounted by the use of suitable reference properties. For the estimation of these reference properties methods are presented.

     

Eine Scheibentheorie unter Berücksichtigung der Dickenänderung und der Querschnittsverwölbung

Übersicht Die Erweiterung der klassischen Scheibentheorie durch die Berücksichtigung der Dickenänderung und der Querschnittsverwölbung sowie der dazugehörigen Kraftgrößen führt auf ein Randwertproblem 10. Ordnung. Der Aufbau der zusätzlichen Gleichungen zeigt eine formale Übereinstimmung mit den Gleichungen der Reissnerschen Plattentheorie: Die Dickenänderung entspricht der Plattendurchbiegung, die Querschnittsverwölbung der Verdrehung des Plattenquerschnitts. Für die gelochte unendliche Scheibe unter einachsigem Zug existiert eine analytische Lösung der erweiterten Scheibengleichungen in Form abbrechender Fourierreihen. Die Abhängigkeit dieser Lösung von Lochradius, Scheibendicke und Querkontraktionszahl wird diskutiert.

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Summary Taking into account the transverse deformation, the warping of the cross-section and the corresponding stress quantities a two dimensional theory of the plate in extension is established which leads to a tenth order boundary value problem. The equations in the additional quantities are formally the same as those known from Reissner's theory of the plate in bending: The transverse deformation corresponds to the transverse displacement of the plate in bending, the warping corresponds to the rotation of the cross section. For an infinite plate with a circular cut-out under uniaxial tension an analytical solution exists in form of Fourier-sums. The dependance of this solution on the cut-out radius, the plate thickness and Poisson's ratio is discussed.

     

Zum Randwertproblem der schwingenden schubelastischen Platte

Übersicht Über das Prinzip von Hamilton werden mittels verschiedener Ritzansätze für die Verschiebungen bzw. Spannungen Bewegungsgleichungen für die schwingende Platte hergeleitet. Abhängig von der Phasengeschwindigkeit ebener Biegewellen wird ein Schubbeiwert definiert, der im Vergleich mit der exakten Lösung der unendlichen Platte als Gütekriterium dient.

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On the boundary value problem of vibrating plates

Summary Following Hamilton's principle the equations of motion of a vibrating plate are derived by means of an expansion of the displacements respectively stresses using Ritz method. Depending upon the wave velocity of straight-crested flexural waves a shear coefficient is defined to check the above solutions with the known exact solution for the infinite plate.

     

The postcritical behavior of compressed plates that creep

Summary The deformations of a simply supported rectangular plate are calculated when a uniaxial inplane compressive load is applied to it by means of a rigid platen of a testing machine. This kind of loading enforces a uniform in-plane displacement of the loaded edge and has the consequence that the distribution of the load along the edge becomes increasingly nonuniform as the buckling of the plate becomes more pronounced. The equilibrium, constitutive and compatibility equations are written for a material that deforms elastically and in consequence of steady-state creep but the numerical solution is given for a material that can deform only because of creep. The solution shows that the critical time of the simpler theory in which the load is distributed uniformly does not exist in the case treated here. Nevertheless the critical time is a good indicator of danger because the deformations of the plate increase much more rapidly after the critical time than before.

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Übersicht Es werden die Deformationen einer einfach gelagerten rechteckigen Platte berechnet, die über den starren Balken einer Prüfmaschine auf einachsigen Druck in der Plattenebene belastet wird. Der belastete Rand erleidet dabei eine gleichmäßige Verschiebung, jedoch wird die Lastverteilung längs dieses Randes um so ungleichförmiger, je mehr die Platte ausbeult. Zustandsgleichungen und die Bedingungen für Gleichgewicht und Verträglichkeit werden für elastisch verformbares und stationär kriechendes Material aufgestellt, wobei die numerische Lösung nur für den letztgenannten Fall angegeben wird. Die Ergebnisse zeigen, daß im vorliegenden Fall die kritische Zeit der einfachen Theorie, bei der eine gleichförmige Lastverteilung angenommen wird, nicht existiert. Dennoch ist die kritische Zeit ein gutes Gefahren-Kriterium, weil die Deformationen der Platte nach der kritischen Zeit erheblich rascher anwachsen als davor.

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Dedicated to Professor Dr. H. Görtier on the occasion of his 60th birthday.

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The work reported here was carried out under Contract AF 33 (615) 5115 awarded to Stanford University by the Air Force Flight Dynamics Laboratory at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio.     

Torsion of a sectorially composite hollow circular cylindrical beam

Summary In the first part solution of torsion problem of a sectorially composite hollow circular cylindrical beam has been obtained by a potential method involving use of a Green's identity and Green's function. At first a composition of two isotropic media is considered, then it is shown that the procedure can be successfully applied to the case of a composition of any finite number of isotropic media. A special feature of this St.- Venant-type problem is the multiplicity of the cross-sectional region. In later part the problem of torsion of a sectorially cut out beam is dealt with and solved.

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Übersicht Im ersten Teil wird eine Lösung für die Torsion eines aus Sektoren zusammengesetzten kreiszylindrischen Balkens angegeben. Dabei wird eine Potentialmethode verwendet, zu der von der Greenschen Identität und der Greenschen Funktion Gebrauch gemacht wird. Zunächst wird ein Balken untersucht, der aus zwei isotropen Materialien zusammengesetzt ist; danach wird gezeigt, daß das Verfahren auch auf den Fall einer endlichen Zahl isotroper Materialien angewendet werden kann. Als Besonderheit dieses Problems vom Saint-Venant-Type ist ein Multiplikationsgesetz für die Spannungen in den Querschnittsbereichen zu erwähnen. Im letzten Teil wird das Problem der Torsion eines sektionsweise ausgeschnittenen Balkens behandelt und gelöst.

     

Stability and secondary bifurcation for von Kármán plates

Summary The Movchan-Liapunov theorem is used to establish a sufficiency criterion for stability of equilibrium configurations of the von Kármán plate under edge loads and displacements. This criterion is used to characterize the possible occurrence of secondary bifurcation from the first buckled state of the perfect plate. A Koiter-Fitch post-bifurcation analysis of the secondary solution leads to a tentative explanation of the mode-jumping phenomenon that is observed experimentally. A numerical study of the rectangular plate for various aspect ratios is given. For this example, the base solution is represented as a perturbation power series in an appropriate load parameter.

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Zusammenfassung Der Movchan-Liapunov Lehrsatz wird benutzt, um ein Zulänglichkeitskriterion für die Stabilität von Gleichgewichtskonfigurationen der von Kármán Platte bei Randbelastungen und Verschiebungen herzustellen. Dieses Kriterion wird benutzt, um den möglichen Eintritt sekundärer Gabelung vom ersten verbogenen Zustand der perfekten Platte zu charakterisieren. Eine Koiter-Fitch Nachgabelungsanalyse der Sekundärlösung führt zu einer tentativen Erklärung des sprunghaften Konfigurationswechsels, den man experimentell beobachtet. Eine numerische Untersuchung der rechteckigen Platte für verschiedene Längenverhältnisse ist gegeben. Für diese Beispiele wird die Primärlösung als Störungspotenzreihe im angemessenen Belastungsparameter gegeben.

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This paper is based in part upon the thesis submitted by the first author to the University of Minnesota in partial fulfillment of the requirements for the Ph. D. degree. Support given by a NASA traineeship is gratefully acknowledged.     

Stresses in a transversely isotropic,short hollow cylinder subjected to an outer band load

Summary An axi-symmetric stress analysis of a transversely isotropic, short hollow cylinder subjected to an outer band load is presented in a series form. The generalized Elliott's solution is used for the analysis. The solution consists of five independent potential functions which yield two kinds of elasticity solution. The boundary conditions for the shearing stress on the four surfaces are exactly satisfied. Other boundary conditions are numerically satisfied with the aid of a Fourier series expansion or a Fourier-Bessel series expansion. Numerical results for stresses in magnesium and cadmium crystals, as examples of transversely isotropic materials, and in an isotropic material are illustrated. The effect of anisotropy on the stresses is investigated by comparison with the stresses in the isotropic material.

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Spannungen in einem transversal-isotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast

Übersicht Vorgestellt wird eine axialsymmetrische Spannungsanalyse mittels Reihen für einen transversalisotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast. Für die Analyse wird die verallgemeinerte Elliottsche Lösung benutzt. Die Lösung besteht aus fünf unabhängigen Potentialen, welche zwei Arten der Elastizitätslösung abgeben. Die Randbedingungen der Schubspannung auf den vier Flächen werden genau erfüllt. Die anderen Randbedingungen werden durch eine Fouriersche Reihenentwicklung oder eine Fourier-Besselsche Reihenentwicklung numerisch erfüllt. Die numerischen Resultate der Spannungen in einem Magnesiumkristall und einem Kadmiumkristall als Beispiele transversal-isotroper Materialien und in einem isotropen Material werden illustriert. Der Einfluß der Anisotropie auf die Spannungen wird durch Vergleich mit den Spannungen im isotropen Material untersucht.

     

On forced response of polygonal plates

Summary An approximate solution is presented for the linear isothermal response of viscously damped thin homogeneous polygonal plates subjected to uniform dynamic loading. Normal modes of vibration are determined with the aid of a boundary collocation technique and forced solutions are calculated by employing a numerical integration procedure. The solution is applicable to elastically built-in plates having edge conditions ranging from the simply supported to the clamped case. Numerical solutions are given for the normal modes of vibration of some simply supported and clamped plates and theoretical and experimental transverse displacements and stress couples are compared for a plate subjected to blast loading.

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Übersicht Es wird eine Näherungslösung für die Bewegung von homogenen, polygonalen Platten unter gleichförmiger dynamischer Belastung angegeben. Dabei wird Linearität, viskose Dämpfung und isothermes Verhalten vorausgesetzt. Die Eigenschwingungsformen werden mit einer Kollokationsmethode berechnet, während die erzwungenen Schwingungen durch numerische Integration bestimmt werden. Die Lösungen können für elastisch eingespannte Platten verwendet werden, deren Randbedingungen von der einfachen Auflage bis zur festen Einspannung reichen. Für einige aufgelagerte und eingespannte Platten werden numerische Lösungen für die Eigenschwingungsformen angegeben. Für eine Platte mit Stoßbelastung werden theoretische und experimentelle Werte für Verschiebungen und Momente verglichen.

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This work was carried out at the Defence Research Establishment Suffield, Alberta as well as at the University of Alberta, Edmonton, Alberta and permission to publish the results is gratefully acknowledged.