三角教学联系生产实际一例

我們在生产劳动中碰到这样一个問题:在利用板車时究竟推省力呢?还是拉省力?我們感到这虽是物理题,但完全可以用初等函数来解决。所以我們建議把它作为高二三角教学的一个綜合題。 題目:使用板車时有推拉两种方法,試問在什么情况下,拉比推省力,又在什么情况下,推比拉省力? 設板車重量为P=mg,推力为F_1,F_1与地面成α角,摩擦力为f_1,摩擦系数为η;又拉力为F_2,F_2与地面成β角,摩擦力为f_2,摩擦系数也为η,則(物体勻速前进)。若物体加速度前进,設加速度为α,     

談談“求一個數的幾分之幾”的講法

記得去年曾聽到同志們談論“求一個數的幾分之幾”的問題,都認為“不好講”或“同學不容易接受”,今年又聽到和去年相同的論調,因此,就決定把它當作目前存在的問題提出來,以便引起同志們的研究、討論,更好地改進我們的教學。當我們講授初中算術第二分冊§150時,同學們或多或少地曾提出一些問題來,如“這不是和乘法一樣嗎,”“太麻煩,我們用乘法作行不行?”“……?”這是一個必然的過程,從提問當中我們可發覺同學們是進步了;因為他們已經懂得如何應用已學的知識解決實際問題,同時還知道應用簡便的方法比麻煩的方法好,這對於數學這門課程來說是難能而可貴的。是不是說就等於答應同學們的要求了呢?我     

希尔伯特第五問題

1900年在巴黎举行的国际数学会議上,希尔伯特(D.Hilbert)作了以数学問題为題的讲演,向数学界提出了23个問題。这篇讲演具有十分重大的意义,这不仅是因为希尔伯特恰恰在两个世紀轉折的时候提出了这些問題,更重要的是,如在他讲演的一开始所說的,“揭起包着未来的面紗,一瞥我們今后科学的进展,探索未来世紀如何发展的秘密,以及有否不可解者,追求引导这些一般化的数学思想的特殊目的是什么,在未来的世紀里,在广闊而且丰富的数学思想的各个領域里,将能发現什么新的方法和新的事实”。这篇讲演中的各个問題之間的联系不太大,問題的大小和难易也各不相同,但是可以說几乎是包含了本世紀数学界所有致力研究的課題。本文所要談的第五問題已經肯定地被解决,它已成为数学界閑談的資料。問題是这样叙述的:“試不用可微性来定义Lie羣”。首先,让我們来說明它的意义。     

周期羣的伯恩賽德問题

1902年英国数学家W.伯恩賽德提出了关于周期羣理論的一个問題。随后,这个問題在代数学家們中間获得了广泛的声名,因为羣論的許多問題看来都是与这个問題有关的(参閱[1],[2])。尽管有过許多尝試,这个問題只对几种特殊情况才获得了正面的解答。只是到1959年由諾維柯夫院士发展了早先他在解决一系列羣論算法問題(恆等問題,共軛問題和同构問題)中所采用的方法,才获得了这个問題的反面解答(参閱[3])。为了論述这个問题和所得到的結果,我們来复习有关羣論的若干定义。所謂羣是指由任意性貭的元素所組成的一个非空集合G,其中定义了一种运算,叫做“乘法”,它滿足以下的要求:     

大家談

本刊在最近連續發表了几篇介紹高等数学基本概念的文章,以后还將繼續登載这样的文章,編委会在四月号上写了一封“致讀者”的信,来說明我們所以这样做的原因,三个月来,我們接到了一些讀者的来信,提出了一些意見,其中有一个共同的問題:在讀者的进修中,本刊应該起什么样的作用? 同时,在“向科学进軍”的号召下,有更多的讀者写信来,要求帮助解决:拟訂进修計划、进行进修和克服自修中所遇到的困难等問題。     

对“幾何示教的幾點體會”一文的補充意見

在數學通報1954年10月號內登載了潘關崇同志的“幾何示教的幾點體會”一篇文章。我們讀了以後,覺得潘關崇同志對於對稱法的講法有很多優點,如從實際出發,並與物理相聯系,注意教材的系統性等等。因而給我們的教學很大啟發,但是我們也感覺到有一點似乎有補充的必要,就是能修水塔的問題時,怎麼就會想到要作點M的對稱點?若不事先作好準備工作,恐怕學生便要發生疑問;因此我們認為可以先提一個問題作為準備。即“在AB河的一側有一村M,而在另一側有一村N,今要在河邊上建築一個自來水塔,使與MN二村為自用水管直接相通,問水塔應築在何處,而所用的直通水管最省?”若以純理論題的形式出現,便可寫成“已知二點M,N在一定直線AB的異側;於AB上求一點P,使MP+PN為最小。”我們認為若先解决了這個問題,不但原來的問題不會使學生發生疑問,同時還把有關異側點的問題也教給學生了。     

Hurwitz-Radon問题——等价和約化是处理数学問題的一种基本方法

讀者在处理数学問題可能已經有过这样的經驗:試图直接解决一个数学問題正在一筹莫展的时候,往往是把它化成另一个等价的問題而得到解决;直接解决原問題之所以感到棘手,一方面固然可能由于原問題的确难以直接处理,另一方面也可能是由于对問題的这种表現形式以及解决它所需的知識和工具掌握得不够充分。把一个問題化为另一个等价的問題,就增大了我們已經掌握的工具和知識的利用率;問題采用不同的表現形式,就会因使用的方法不同而增大了解决它的可能性。列举出問題的一切表現形式,以便从中选出一种合适的来处理,从方法論的观点說来,这是十分重要的。本文的目的,一方面固然是介紹Hurwitz-     

数理邏辑的簡单介紹

我国的讀者近来已越來越多地对数理邏輯发生兴趣了,这是一个很好的現象。它表明了我国大众已經开始重視这門重要的科学;从而将使这門科学在我們祖国的土地上开出光輝灿烂的花朵来。但是一般讀者每每詢問下列一連串問題:数理邏輯是怎样的一門科学?它研究什么?有什么主要內容?学习它时需要什么预备知識?有什么主要参考书?……这些問題如果得不到很好的回答,对数理邏輯的学习将受到不良的影响。本文的目的想介紹数理邏輯的主要內容,部分地回答上述各問題。由于数理邏輯內容的丰富,任何人想在一篇短文內加以介紹,势必掛一漏万。再由于作者水平不够,本文必然会詳略失宜甚至含有严重的錯誤。因此讀者必須用批判的眼光来閱读它,这样才可以不因本文可能出現的錯誤而受到影响。否則本文原来的目的不但沒有达到反而带來了流弊了。数理邏輯簡史数理邏輯的內容是非常丰富的,要介紹它真是不知从何說起。現在我們先从它的发展过程来說起吧。因为一件东西,无論多么复杂,如果能够从它的发展史来看,每每极易得出它的基本特性的。     

关于分圓问题

一.問题的提出和轉化1.問題的提出。用圓規和直尺来等分一个圓周(或者作一个正多边形)在初等几何学里是一个很平常的問題;可是为了完全地解决这个問題,却不是單憑初等几何学的知識所能做到的,这需要有比較高深的工具。我們在这篇文章里是想尽量地利用比較初等的工具来解     

如何上好一堂数学概念課的点滴体会——怎样講正比例

过去我們在讲完正比例这一課以后,普遍感到有一个問題很难解决,卽在讲了新的正比例定义之后,不論教員怎样强調,学員回答两个变量为什么成正比例的問題吋,还是应用算术中的正比例定义:“甲量扩大(或縮小)若     

关于如何讲清数学基本概念的一些粗浅体会

如何讲清数学基本概念是数学教学中长期存在的带有普遍性的問題,正是由于这一問題沒有得到解决,直接影响了教学貭量的进一步提高。因此在党提出大力提高教学貭量的今天,突破这一带有关鍵性的問題是具有显著的重要意义。为了更好地解决这个問題,并分析造成問題的原因,我們來看学生对于基本概念不清的某些表現。 (1) 知其然不知其所以然、人云亦云甚至于人云倘不能全云,不是丢掉整个句子就是丟掉其中的某些詞、字,甚至由于一字之差导致全局皆非。     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯(續)

§7 許多实际間題和理論問題的解决都需要知道三角形的內角和等于多少。 1.問学生:直觉能告訴我們三角形內角和是多少嗎?总是很快就得到回答說:“不,直覺沉默了。”应該采取什么措施呢?首先用实驗方法試試看。让学生“在练习本上画三个不在一条直綫上的点,用綫段把它們联結起来,量一量所得三角形的每一个角,并且算出所得三个数的和”。用实驗方法求三角形內角和通常得到:180°,179°.5,179°,181°.5,181°,…等不同的数值。因为测量不可能完全精确,所以得到的只是三角形內角和的近似值,它提供了一个想法,三角形的內角和精确地或近似地等于180°。实驗提供了一个近似答案。 2.运用涉及任意三角形內角和的这个性貭的判断,可以得到关于一切三角形內角和等于多少的問題     

整函数的一个插补問題

<正> 1.本文中,我們研究一类整函数的插补問題,其形式,一方面与考虑过的插补問題相似,另一方面又与所謂Abel-插补問題相似.我們将它表述如下: 設{λ_n}为平面上元素互异的序列,并以模不減的次序排好,|λ_n|↑∞,滿足     

整標函数(数列)极限的教法

前言:我們(筆者)關於“極限”的學習,雖然是在不同的时期,但是在学习过程中,曾發生些共同的問題,我們願意將問題及發生的原因寫出来,然后將现在對於它的看法及教法提出来,供教師及同學們參考,我們歡迎批評,希望直接或间接的對於教学和教法上有些貢献.     

混合型微分方程

<正> 自從F. Tricomi在1923年發表了一篇關於混合型微分方程的論文以後,各國數學家繼續在這方面工作的,不乏其入;尤其是蘇聯數學家,近年來在這方面有極其光輝的貢獻。過去所考慮的問題,都是兩個域的問題,現在我們要考慮的,是多個域的混合型問題。我們考慮下面兩個方程的定解問題:     

談談“哥德巴赫”問題

§1.前言在这簡短文里,我們向讀者介绍一个著名的数論問題,郎所謂“哥德巴赫”問題,为了避免引用較高深的数学工具,我們除了談談这一問題的发展历史及其成果外,只是十分簡单地談一下各种处理方法。其实本文所写的东西在有关的数論书籍中都有記載,作者只是加以整理与归納,以便于讀者更容易地了解这一問題。至于欲詳細了解这方面工作的讀者,請参看华罗庚     

变换,标准型与計算方法

我們从一个簡单的例子开始:計算一元一次方程3(x 2)-4=5的根。我們通常都是这样作:經过一系列变換(脫括号、合併同类項、移項等)得出与原方程等价的方程x=1,而这个方程的解則是一望而知了。这个簡单的求解方法提供了解决計算問題的一个一般想法:給出一个計算問題后,我們先弄清,     

使用“对比法”教学等差、等比数列的尝試

等差数列和等比数列,是两种重要的数列。通常总是按照先等差数列而后等比数列的順序进行教学的。作为試驗,在教学中我們使用了另外一种教法一“对比法”。所謂“对此法”,就是把等差数列和等此数列的相应內容,同时提出,平行地加以研究。下面让我們說說这种教法。为了引出等差数列和等比数列,我們給出了这样一个問題:某铜鉄厂1957年产鋼量是5千吨,以后每年此前一年多产2千吨,写出1957年至1961年的产量;如果以后每年的产量是前一年的1.5倍呢?     

二項展开式中的最大系数

关于二項展开式的特点,課本里是分做八个性質来叙述的,其中第六个性質就牽涉到二項展开式中的最大系数問題(代数第三册,22頁)。通过第五个性質的講解,我們已作出二項展开式系数对称性的結論:和兩端等距項的兩項的系数都相等。又由于展开式的系数与组合数相关联,我們已經看出了系数絕对值起始漸增,后来漸減;因而确信最大系数必定在展开式的正中。在这样初步認識的基础上,接着提出下面二个問題:1)在什么样的情况下层开式中存在着一个最大系数?在什么样的情况下存在着兩个最大系数?2)最大系数究竟是展开式中第几項的系数?怎样迅速而合理地把它計算出来?这样,就順利地过渡到新的課題——最大系数上面来了。     

从一次測驗中看学生存在的問题及如何进一步提高数学教学貭量

在常用对数的单元教学即将結束前(仅剩§106应用对数进行計算的例4尚未讲授)举行过一次預先不通知的整节测驗課。評閱試卷后发現一些普遍性的問題,这些問題对研究如何进一步提高数学教学貭量給我們提出了一些新的启示。現将試題及对存在問題的分析介紹如下,并提出进一步提高数学教学貭量的一些想法,仅供同志們参考指正。一、試题 (一)回答下列問題(占30％):