Skin friction and heat transfer on a circular cylinder moving in a fluid at rest

Summary The incompressible laminar stationary flow along a circular cylinder drawn through an orifice with constant velocity is studied. The surrounding fluid is at rest. (Manufacture of fibers.) For skin friction and heat transfer, a solution for high values of Reynolds number is given in the form of an asymptotic expansion. The special second-order effects, entrainment and curvature, are studied. It is shown that the entrainment effect becomes important for skin friction when the distance from the orifice is small, whereas the influence on heat transfer is small. The curvature effect on skin friction and heat transfer is given as a function of Reynolds number and distance from the orifice.

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Zusammenfassung Es wird die inkompressible, laminare und stationäre Strömung entlang eines mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Kreiszylinders untersucht, der aus einer Öffnung hervortritt (Spinnprozeß). Das umgebende Fluid in großer Entfernung vom Zylinder befinde sich dabei in Ruhe. Für die Schubspannung und den Wärmeübergang bei großen Reynoldszahlen wird eine Lösung in Form einer asymptotischen Entwicklung angegeben. Insbesondere werden die Effekte 2. Ordnung, Verdrängung und Krümmung, untersucht. Es wird gezeigt, daß der Verdrängungseffekt für kleine Abstände von der Zylinderaustrittsöffnung für die Schubspannung von Bedeutung wird, wohingegen der Wärmeübergang dadurch nur wenig beeinflußt wird. Der Einfluß der Krümmung auf die Wandschubspannung und den Wärmeübergang wird als Funktion der Reynoldszahl und des Abstandes von der Zylinderaustrittsöffnung angegeben.

     

The effects of streamline curvature and spanwise rotation on near-surface,turbulent boundary layers

A second moment closure model is used to study the mean fields and turbulence structure of spanwise rotating flows and flows with streamline curvature. The effects of flow stabilization and destabilization by rotation and/or curvature and their interpretation in terms of a Rayleigh instability mechanism are discussed in the context of the present model. When applied to the constant flux layer adjacent to a bounding surface, the model provides a similarity theory for flows with spanwise rotation and streamline curvature like that of Monin-Obukhov in the case of density stratified flows. In particular, it is shown that Bradshaw's empirical length scale correction can be derived in terms of the basic constants of the model determined in the absence of rotation and curvature. Also, direct comparisons with experimental data confirm the model predictions. The definitions of strong and mild curvature are discussed and a distinguishing criterion derived.

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Zusammenfassung Gemittelte Strömungsfelder und Turbulenzcharakteristiken werden bestimmt mittels eines numerischen Modelles mit Momenten zweiter Ordnung als Ciosure für lateral rotierende Strömungen und mit gekrümmten Stromlinien. Stabilisierungs- und Destabilisierungseffekte infolge Rotation und/oder Krümmung werden als Raleigh-Instabilitäten im Zusammenhang mit dem Modell diskutiert. Wenn angewandt auf die Konstant-Scherspannungszone in Grenzschichten, liefert das Modell eine Ähnlichkeitstheorie für Strömungen mit lateraler Rotation und Stromlinienkrümmung, vergleichbar dem Falle des Monin-Obukhov Modelles für geschichtete Strömungen. Es wird insbesondere gezeigt, dass Bradshaws empirische Längenkorrektur sich aus den Grundkonstanten des Modelles ergibt für den Grenzfall ohne Rotation und Krümmung. Direkter Vergleich mit experimentellen Daten bestätigt die Rechnungen. Die Definitionen von starker und schwacher Krümmung werden diskutiert und ein Unterscheidungskriterium eingeführt.

     

Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

Self-excited vibrations of turbomachine blading

Zusammenfassung Unter Verwendung einer vereinfachten Betrachtungsweise für die nicht-stationären aerodynamischen Kräfte wird ein Kriterium für das Zustandekommen von selbst-erregten Schwingungen bei Axialturbinen- bzw. Axialkompressoren-Schaufeln angegeben, die entlang ihrer Höhe sowohl aerodynamisch wie auch geometrisch veränderliche Eigenschaften aufweisen. Es werden dynamische Gleichungen in verallgemeinerter Form hergeleitet und auf ihre Lösung mit Hilfe der Phasenebene hingewiesen. Ferner wird die Möglichkeit von Relaxationsschwingungen, die durch endliche Unstetigkeit in der Auftriebscharakteristik hervorgerufen werden können, untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung hat gezeigt, dass diese Möglichkeit bei den in der Praxis vorkommenden Steifigkeiten und Dämpfungseigenschaften der Schaufeln kaum besteht.     

Boundary layer stability at longitudinally curved walls

Summary A theory of the stability of laminar boundary layer flow along a concave wall is derived without making use of the neglections and simplifications which characterize the former theory. The investigated boundary layer flow contains the curvature influence in second order approximation. It refers to walls with leading edge curved like the involute of a circle. Here there exists a self similar boundary layer flow and its asymptotic part does not vary longitudinally. A straight forward solution is given which contains an analytic asymptotic part. The neutral curves are determined for different wall curvature parameters.

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Zusammenfassung Es wird eine Theorie der Stabilität der laminaren Grenzschichtströmung an längsgekrümmten konkaven Wänden vorgelegt, die die Vereinfachungen und Vernachlässigungen der früheren Theorie nicht benutzt. Die untersuchte Grenzschichtströmung enthält den Krümmungseinfluss in zweiter Ordnung genau. Sie bezieht sich auf Wände mit scharfer Eintritts-Kante, die wie die Evolvente eines Kreises gekrümmt sind. Hier besteht eine ähnliche Grenzschichtströmung, und ihr asymptotischer Teil ändert sich nicht in longitudinaler Richtung. Es wird eine direkte Lösung gegeben mit einem analytischen asymtotischen Teil. Die neutralen Kurven werden für verschiedene Wandkrümmungsparameter bestimmt.

     

On the equations of the theory of shells of slowly varying curvatures

Zusammenfassung Es werden für die Schalen mit langsam veränderlichen Krümmungen die Gleichungen angegeben. Die Lösung wird in Form von zwei Gleichungen für die Spannungsfunktion und die Normalverschiebung erhalten.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions

Zusammenfassung Es wird ein Algorithmus zur unvollständigen Zerlegung einer rationalen Funktion in Partialbrüche angegeben, mit dem alle auftretenden Sonderfälle in einheitlicher und ökonomischer Weise behandelt werden können. Der zu einem quadratischen Nennerfaktor einer reellen rationalen Funktion gehörige Partialbruch kann ohne Kenntnis der Nullstellen und ohne Koeffizientenvergleich in reeller Arithmetik berechnet werden.     

Thermoelastic problem for an isotropic sphere with temperature dependent properties

Zusammenfassung Es werden Wärmespannungen infolge polarsymmetrischer stationärer Temperaturfelder in einer isotropen Kugel mit temperaturabhängigen Stoffwerten untersucht. Das Material wird als inkompressibel vorausgesetzt, was einem oberen Grenzwert der viskoelastischen Spannungen in einem Maxwellschen Körper entspricht. Diese Annahme erlaubt, die Lösung in einer geschlossenen Form und für jede Temperaturverteilung und Temperaturabhängigkeit der Materialkonstanten und des Wärmeausdehnungskoeffizienten aufzustellen. Es werden allgemeine Formeln für die Spannungs- und Verschiebungsfelder in einer vollen Kugel und in einer kugelförmigen Schale gegeben und die Einwirkung der variablen Wärmeleitzahl auf das Temperaturfeld untersucht. Ein numerisches Beispiel für lineare Temperaturabhängigkeit des Elastizitätsmoduls und des Wärmeausdehnungskoeffizienten wird berechnet.

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This research was sponsored by the United States Army under Contract No. DA-11-022-ORD-2059     

Dynamic response of an infinite plate subjected to a steadily moving transverse force

Zusammenfassung Es wird das dynamische Verhalten einer dünnen unendlichen Platte studiert unter dem Einfluss einer fortschreitenden transversalen Kraft. Die Untersuchung geschieht mit Hilfe der Theorie der Platten, welche Schubdeformation und Trägheitsmomente berücksichtigt. Es wird angenommen, dass die Kraft sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, die grösser als die beiden wellengeschwindigkeiten in der Platte ist. Indem man die Kraft als Delta-Funktion ansetzt, wird die Green'sche Funktion für das dynamische Verhalten der Platte unter dem Einfluss einer Klasse von fortschreitenden Kräften in der Form von bestimmten Integralen konstruiert. Die Green'sche Funktion ist regulär mit Ausnahme der Ränder der beiden «Mach» Sektoren, wo sie singulär wird. Die Green'sche Funktion ist ausserhalb des äusseren Sektors identisch Null. Die Singularitäten der Green'schen Funktion werden ebenfalls untersucht.

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A preliminary account of the results contained herein was presented at the 5h U.S. National Congress of Applied Mechanics held in Minneapolis, Minnesota, U.S.A., June 1966.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

The nature of heat transfer from an enclosed rotating disk

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Berechnung des Wärmeübergangs an einer eingeschlossenen rotierenden Scheibe angegeben, und zwar für laminare Bewegung eines inkompressiblen Mediums. Die Fälle konstanter Gehäusewandtemperatur und isolierter Gehäusewand werden untersucht. Im letzteren Falle werden die Ergebnisse stark beeinflusst durch den Radius, bei welchem das durchströmende Medium eingeführt wird. Die anderen massgebenden Parameter sind die mit der Spaltweite zwischen Scheibe und Gehäuse gebildete Reynoldszahl sowie die Prandtlschen und Eckertschen Kennzahlen.     

Helical modes of instability in swirling flow between concentric cylinders

Zusammenfassung Die Stabilität einer reibungsfreien und schraubenartigen Strömung zwischen zwei konzentrischen Zylindern wird untersucht. Schranken für die Anfachungsgrösse und Fortpflanzungsgeschwindigkeit von nicht-rotationssymmetrischen Störungen sind abgeleitet und genaue Werte dieser Grössen für die Spezialfälle von Couette-Strömung zwischen einem ruhenden äusseren und einem drehenden inneren Zylinder mit zusätzlicher Axial-Geschwindigkeitskomponente, die lienare oder parabolische Funktionen der Radialrichtung sind, werden erhalten. Es ergibt sich, dass der Zusatz einer linear abhängenden axialen Geschwindigkeit destabilisierend wirkt, weil der Zusatz einer parabolischen Komponente stabilisierend ist. Die Maximalanfachungsgrössen befinden sich bei schraubenförmigen Störungen mit endlicher Steigung.     

A second moment closure model for MHD turbulence

A second moment turbulence closure model of the type used before for flows with density stratification, frame rotation and streamline curvature is augmented to describe MHD flows with small magnetic Reynolds number. It is shown that all three configurations of the constant unidirectional magnetic field (longitudinal, transverse and azimuthal) suppress the components of the Reynolds stress tensor as well as turbulence energy. Criterions are derived for the extinction of 3-D turbulence based on magnetic Richardson numbers. Monin-Obukhov type similarity theory is developed for MHD turbulent flows. The combined effect of longitudinal magnetic field and spanwise rotation is considered. A discussion is presented on the extra strains exerted by the electromagnetic force compared to the effects of buoyancy, frame rotation and streamline curvature.

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Zusammenfassung Ein Turbulenzmodell mit Schlieung zweiter Ordnung, das bisher für Strömungen mit Dichteschichtung, rotierenden Bezugssystem und gekrümmten Stromlinien benutzt wurde, wird hier zur Beschreibung von MHD-Strömungen mit kleiner magnetischer Reynoldszahl erweitert. Es wird gezeigt, da alle drei Anordnungen eines konstanten, in einer Richtung verlaufenden Magnetfeldes (longitudinal, transversal und azimuthal) sowohl die Komponenten des Reynoldsschen Schubspannungstensors als auch die turbulente Energie reduzieren. Es werden Kriterien für die Auslöschung der 3D-Turbulenz abgeleitet, die auf der magnetischen Richardsonzahl beruhen, Für turbulente MHD-Strömungen wird eine Ähnlichkeitstheorie vom Monin-Obukhov Typ entwickelt. Der kombinierte Effekt von longitudinalen Magnetfeld und Rotation senkrecht zur Strömungsrichtung wird betrachtet. Die durch die elektromagnetische Kraft bewirkte zusätzliche Deformation wird im Vergleich zu den Effekten von Auftrieb, Rotation des Bezugssystems und Krümmung der Stromlinien diskutiert.

     

Über nichtlineare Schwingungen sphärisch schwingender Gasblasen in Flüssigkeiten unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Fluides

Zusammenfassung Es werden nichtlineare erzwungene Schwingungen einer Gasblase in einer kompressiblen Flüssigkeit untersucht. Die von Herring hergeleitete Differentialgleichung wird für die erzwungene Schwingung ergänzt und numerisch gelöst. Die Ergebnisse werden mit dem RPNNP-Modell, welches die Flüssigkeit als inkompressibel voraussetzt, verglichen. Es werden für die erzwungene Schwingung Resonanzkurven berechnet. Die Ergebnisse zeigen, daß die Kompressibilität mit berücksichtigt werden muß.

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Summary The nonlinear forced vibrations of a gas-bubble in a compressible liquid are investigated. The differential equation given by Herring for the case of the forced vibrations is completed and solved numerically. The results are compared with the known incompressible RPNNP-model. The resonance curves under forced vibrations are calculated. The results have shown that the fluid compressibility must be taken into consideration.

     

On thermomechanics of elastic stability

Zusammenfassung Es wird die Thermomechanik des Stabilitätsphenomens elastischer Körper unter äusseren Belastungen betrachtet, welche auf beliebige Weise von der Deformation und der Bewegung benachbarter Materialbereiche, an denen sie angreifen, abhängen können; diese Kräfte werden bewegungsabhängige Belastungen genannt. Eine allgemeine Ungleichung, welche für alle Materialien unter bewegungsabhängigen Belastungen gilt, wird mittels der Erhaltungssätze und der Entropiebilanz hergeleitet; diese Ungleichung wird auf elastische Körper, welche jedoch noch Energie auf allgemeine Weise dissipieren können, spezialisiert. Mittels einer Energienorm werden hinreichende Bedingungen für die örtliche Stabilität endlich deformierter Gleichgewichtskonfigurationen solcher Körper und gewisse notwendige Bedingungen hergeleitet. Schliesslich wird das allgemeine (nicht notwendig lokale) Problem der Stabilität eines Gleichgewichtszustandes kurz untersucht und gewisse in diesem Zusammenhang notwendige und hinreichende Bedingungen werden diskutiert.

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Dedicated to Professor Ziegler on his sixtieth birthday

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This research was supported by the National Science Foundation under Grant GK-10161.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

Heat conduction with nonlinear boundary condition

The paper is concerned with determination of the solution of the one-dimensional heat equation in a semi-infinite region subject to a nonlinear boundary condition at the surface. The exact solution is obtained and is expressed in infinite series. It is shown that the series is absolutely and uniformly convergent. Two special cases of Newton's cooling and of Stefan-Boltzmann's radiation at the boundary are discussed.

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Zusammenfassung Diese Arbeit befaßt sich mit der Lösung der Gleichung der eindimensionalen Wärmeleitung in einem Halbraum mit nicht-linearen Randbedingungen an der Oberfläche. Es wird eine genaue Lösung gefunden, die die Form einer unendlichen Reihe besitzt. Es wird gezeigt, daß die Reihe absolut und gleichmäßig konvergiert. Als zwei Spezialfälle werden Newton-Kühlung und Stefan-Boltzmann-Strahlung behandelt.

     

Propagation of simple non-linear waves in gas filled tubes with friction

Summary The propagation of simple nonlinear waves in tubes is investigated. It is seen that both continuous and discontinuous asymptotic waves exist for which the nonlinear distortion and the viscous effect owing to the boundary layer just balance. Both types of solutions can be collapsed into one normalized asymptotic solution. A numerical method is given to compute time-dependent solutions. The evolution of continuous and discontinuous waves is illustrated with two examples.

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Zusammenfassung Untersucht wird die Fortpflanzung einfacher nichtlinearer Wellen in Rohren. Es wird gezeigt, daß asymptotische Wellen mit und ohne Diskontinuität existieren, für welche sich Grenzschichteffekte und nichtlineare Aufsteilung gerade die Waage halten. Die Lösungen beider Arten können auf eine einzige normalisierte asymptotische Lösung zurückgeführt werden. Es wird ein numerisches Verfahren angegeben, mit welchem zeitabhängige Lösungen berechnet werden können. Die Evolution von Wellen mit und ohne Diskontinuität wird mit zwei Beispielen illustriert.

     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.