An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

A note on the stability of generalized Couette flow

Zusammenfassung Die Stabilität der laminaren Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die durch Rotation des inneren Zylinders und Wirkung eines konstanten Druckgradienten in Umfangsrichtung erzeugt wird, wird untersucht mit Hilfe eines Näherungsverfahrens, welches nur die bekannten Stabilitätskriterien für Couette-Strömung zwischen zwei gegenrotierenden Zylindern und Poiseuille-Strömung in einem gekrümmten Kanal benutzt. Es ergibt sich dass solch eine Methode kritische Werte für das Auftreten der Instabilität liefert, die in guter Übereinstimmung mit denen vonDi Prima [2] sind und dass die Methode eine zufriedenstellende Erklärung für die ziemlich unerwartete Abhängigkeit des Taylor-Görtler-Parameters und der kritischen Wellenzahl von der Grösse des azimutalen Druckgradienten gibt.     

On the flow of an unsteady,compressible boundary layer over a semi-infinite flat plate whose temperature is varied with time

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht untersucht, die sich in laminarer, kompressibler Strömung an einer ebenen Platte unter der Annahme einstellt, dass sich diese nach einer Seite ins Unendliche ausdehnt und von der Ruhe aus gleichförmig beschleunigt wird. Die Temperatur der Platte wird in vorgeschriebener Weise mit der Zeit geändert, und der Effekt dieser Änderung kurz nach dem Beginn der Bewegung wird für Punkte berechnet, die weit vom Plattenrand entfernt sind.

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The computer time for this project was supported byNational Aeronautics and Space Administration Grant NsG-398.     

Numerical integration of the Navier-Stokes equations

Zusammenfassung Die Navier-Stokes-Gleichungen werden für den allgemeinsten Fall in Divergenzform vektorwertiger Funktionen angeschrieben. Die Glieder, welche die Einflüsse der Zähighkeit, der Wärmeleitung usw. beschreiben, und diejenigen, welche infolge der Wahl nichtkartesischer Koordinaten auftreten, werden in einem Quellenvektor zusammengefasst. Dieses Differentialgleichungssystem wird im Abschnitt 3 durch ein modifiziertes Lax-Wendroff-Differenzenschema [1, 2] angenähert. Die Genauigkeit des Schemas ist von zweiter Ordnung.Die Stabilitätsgrenzen des Schemas werden für den einfachern Fall eindimensionaler, instationärer Strömung im Abschnitt 4 angenähert berechnet. Numerische Beispiele bestätigen die theoretischen Voraussagen.Im Abschnitt 5 werden die folgenden drei Beispiele diskutiert: 1. Die Reflexion einer geraden Stosswelle an einer kalten Wand (eindimensionales Beispiel). 2. Die stationäre Strömung in der Nähe der Vorderkante einer unendlich dünnen, ebenen Platte in Überschallströmung. 3. Die Diffraktion einer geraden Stosswelle an einer ebenen Platte mit rechtwinkliger Vorderkante.     

The flow of a non-Newtonian liquid due to the symmetric rotation of a body of revolution,using a natural coordinate system

Summary This paper looks at the non-Newtonian flow between symmetric rotating bodies and it establishes the condition for a coordinate surface to coincide with a surface of constant angular velocity in the primary flow. Then using a natural coordinate system based on the primary flow the equation for the stream function, for the secondary flow, is given in a neat and compact form which is suitable for further analysis and also for numerical work.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der nicht-Newtonischen Strömung zwischen symmetrischen sich drehenden Körpern; es wird die Bedingung aufgestellt dafür, dass eine Koordinaten-Oberfläche mit einer Oberfläche konstanter Winkelgeschwindigkeit in der primären Strömung zusammenfallen soll. Wenn ein natürliches, auf der primären Strömung beruhendes Koordinaten-System verwendet wird, dann ergibt sich die Gleichung für die Stromfunktion und für die sekundäre Strömung in einer geschlossenen Form, welche für weitere Analysen und auch für numerische Methoden geeignet ist.

     

The stability of time-dependent laminar flow: Flow with curved streamlines

Zusammenfassung Das Problem der Stabilität laminarer, inkompressibler und stationärer Strömungen mit gekrümmten Stromlinien wird hier ausführlich untersucht. Im Gegensatz zur klassischen Behandlung der Stabilität, wo die untersuchten Strömungen stationär sind und wo Stabilität genau definert ist, bedarf dieses System zur Lösung einer neuen Basis. Interpretation und Formulierung dieser neuen Basis werden vorgenommen, und drei Definitionen werden als die wichtigsten herausgestellt. Bei Anwendung dieser Kennzeichen auf neutrale Stabilität und durch Erweiterung der vonOrr für parallele Strömungen entwickelten Analyse, wird für die kritische Reynolds-Zahl ein Mindestwert als eine Funktion der Zeit errechnet. Für den Fall einer Strömung zwischen konzentrischen Kreiszylindern mit einer stationären und einer Schwingungskomponente in der Zeit werden quantitative Ergebnisse geboten. Das stationäre Problem wird in diesem Zusammenhang als ein spezieller Grenzfall behandelt.     

A note on disturbances in a semi-infinite piezoelectric medium excited by an impulsive,polarized, tangential electric field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und unter dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes werden in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grundgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle mitenthalten.     

The forces on a flat plate in a couette flow

A bounded shear flow proposed by Glauert is re-examined, to determine more precisely the disturbance caused by the boundary layer on the plate. Toomre and Rott's result, that the pressure gradient due to bounding overtakes the Li-Murray value for an unbounded flow within a surprisingly short distance of the leading edge, is thereby confirmed in a more realistic context. But both of these are found to be less important than that due to the induced circulation predicted by Glauert. While bounding produces a larger leading edge drag than the unbounded theory predicts, circulation gives more lift. The discussion of pressure on and ahead of the plate is given for general bounding. In particular, it shows that the present results are typical and that the anomaly found by Toomre and Rott always disappears when the limit of remote bounding is taken correctly.

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Zusammenfassung Eine seitlich begrenzte Scherströmung, wie sie von Glauert vorgeschlagen wurde, wird neu untersucht, um die Störung, welche durch die Grenzschicht an dieser Platte hervorgerufen wird, genauer zu bestimmen. Toomre und Rotts Resultat, welches besagt, daß der Druckgradient infolge der Begrenzung den von Li-Murray gefundenen Wert für unbegrenzte Strömung in bereits überraschend kurzem Abstand von der Vorderkante übersteigt, wird hierbei in einem etwas realistischeren Zusammenhang bestätigt. Hingegen sind beide Druckgradienten von geringerer Bedeutung als der Einfluß einer auf Glauert zurückgehenden induzierten Zirkulation. Während die begrenzte Strömung zu größerem Widerstand an der Vorderkante führt als eine unbegrenzte, wird durch die Zirkulation mehr Auftrieb erzeugt. Für beliebige Begrenzung wird der Druck an und vor der Platte diskutiert. Insbesondere wird gezeigt, daß die vorliegenden Resultate typisch sind und daß die auf Toomre und Rott zurückgehende Anomalie verschwindet, wenn nur der Grenzübergang für eine Begrenzung im Unendlichen Korrekt ausgeführt wird.

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This research was supported partly by the U.S. Army Research Office-Durham and partly by the National Science Foundation under Grants GP-8711 and 28483.     

Symmetric Oseen flow past a semi-infinite plate and two force singularities

Zusammenfassung Für die zweidimensionale, stationäre Oseen-Strömung längs einer halb-unendlichen ebenen Platte und zweier zur Platte spiegelbildlich angeordneten Geraden von konzentrierten Kraft-Singularitäten wird eine analytische Lösung angegeben. Dieses Ergebnis wird zur vereinfachten Untersuchung der Strömung längs einer halb-unendlichen ebenen Platte und eines symmetrischen Hindernisses benützt. Es wird auch gezeigt, dass die bekannten Lösungen von gewissen Oseen-Strömungsproblemen sich als Spezialfälle aus der neuen Lösungsformel ergeben.     

Friction and heat transfer of compressible flow into an infinite lattice of flat plates

Zusammenfassung Es wird eine Analyse vorgelegt, die erlauben soll, die Bestimmung der Reibungs-und Wärmeübergangs-Kenngrössen einer kompressiblen, laminaren Strömung in einem unendlich grossen Gitter flacher Platten vorzunehmen.Die Ergebnisse weichen für niedrige Reynoldssche zahlen bedeutend von jenen einer einzelnen flachen Platte ab. Die Rechnungen führen zu vergrössertem Reibungswiderstand, verminderter Rückbildung und für den Fall, dass die Flüssigkeit die Wand erwärmt bzw. abkühlt, zu vergrösserter bzw. verkleinerter Nusselt-Zahl.     

Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

Quasi-one-dimensional magnetohydrodynamic flow with heat addition oblique field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes sind in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grungdgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle enthalten.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Heat transfer and Reynolds' analogy in a turbulent flow with heat release

Zusammenfassung Es wird die Wärmeübertragung von und zu einer voll entwickelten, wärmeabgebenden, turbulenten Strömung in einem Rohr analysiert. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird die partielle Randwertaufgabe der Temperaturverteilung in einem Rohr von kreisförmigem Querschnitt auf eine gewöhnliche Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe zurückgeführt. Die entsprechenden Eigenwerte und Eigenfunktionen können nun mittels des Ritzschen Verfahrens für verschiedene Werte der Prandtlschen und Reynoldsschen Zahlen berechnet werden.Die Verteilung der Temperatur und des Wärmeflusses entlang der Wand erhält man in Form einer Reihe, deren Glieder diese Eigenwerte und Eigenfunktionen enthalten. Durch Verallgemeinerung des Prandtlschen Wärmequellen-Satzes wird die Reynoldssche Analogie der Wärmeübertragung und der flüssigen Reibung für eine wärmeabgebende turbulente Strömung erweitert.Die genaue asymptotische Wärmefluss und Temperaturverteilung, die man erhält, gestattet eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Anwendung der Ritzschen Methode und der daraus folgenden Reihenentwicklung erhalten würde. Diese Analyse kann für die wärmeabgebenden turbulenten Strömungen in Atomreaktoren angewendet werden.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Scientific Research of the ARDC, US Air Force under Contract AF 18 (603)-104.     

Flow of an electrically conducting fluid past a porous flat plate in the presence of a transverse magnetic field

Zusammenfassung Für die Strömung einer inkompressiblen, zähen, elektrisch leitenden Flüssigkeit über eine poröse Platte werden die Gleichungen vonNavier undStokes, vonMaxwell und die Wärmeübertragungsgleichung integriert. Dabei wird vorausgesetzt, dass Flüssigkeit aus der porösen Platte austritt oder durch sie abgesogen wird. Man findet, dass sowohl die Geschwindigkeiten als auch die Schubspannungen mit steigender magnetischer Druckzahl für Absaugen und Ausblasen anwachsen. Das induzierte Feld an der Plattenoberfläche wird kleiner, wenn die Ausblasegeschwindigkeit abnimmt. Für den Grenzfall unendlicher elektrischer Leitfähigkeit wächst der Wärmeübergang mit der magnetischen Druckzahl im Falle des Ausblasens.     

Flow due to an oscillatory free stream past a rotating disk

Summary In this paper, an exact solution of the Navier-Stokes' equations for the flow due to the harmonic oscillations of a free stream past a rotating disk is presented. The differential equations for this flow, valid for all amplitudes and frequencies of oscillations, are obtained. Analytical-numerical solutions are developed for low and high frequency of oscillations and enough numbers of terms are used in the calculation to give the solution a satisfactory accuracy over the entire flow region.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine exakte Lösung der Navier-Stokes' schen Gleichungen für die durch die harmonischen Schwingungen einer freien Strömung an einer rotierenden Scheibe verursachte Strömung angegeben. Die Differentialgleichungen für die Strömung, gültig für alle Amplituden und Oszillations-frequenzen, werden erhalten. Analytisch-numeriche Lösungen werden für hohe und niedrige Oszillations-frequenzen entwickelt und eine genügende Anzahl von Gliedern wird in der Berechnung gebraucht, um der Lösung eine befriedigende Genauigkeit über den ganzen Strömungsbereich zu geben.

     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

Effect of transverse magnetic field on heat transfer to an electrically conducting and thermal radiating fluid flowing in a parallel-plate channel

Zusammenfassung Der Einfluss eines magnetischen Feldes auf die Wärmeübertragung in einer ausgebildeten laminaren Strömung einer elektrisch leitenden, wärmestrahlenden, zähen und inkompressiblen Flüssigkeit zwischen zwei unendlichen parallelen Platten wird untersucht. Ein konstantes äusseres magnetisches Feld wirkt in der Richtung senkrecht zu den Platten und der Strömungsrichtung. Die auf einer konstanten Temperatur gehaltenen Kanalwände sollen Wärme ausstrahlen und diffus reflektieren.Die Temperaturverläufe wurden für einige Werte der interessierenden Parameter und für das ganze Gebiet der Hartmannschen Zahl numerisch gerechnet. Die entsprechenden Kennwerte der Wärmeübertragung zwischen den Kanalwänden und der Flüssigkeit sind im Text tabellarisch angegeben. Das Magnetfeld vergrössert sowohl die Wärmeübertragung durch Leitung als auch durch Strahlung. Die Vergrösserung ist jedoch gering.

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Work done under auspices of U.S. Atomic Energy Commission.     

Some studies on transition from laminar to turbulent flow in a two-dimensional channel

Zusammenfassung In einem Wasserkanal wurden Versuche über den laminar-turbulenten Umschlag einer zweidimensionalen Strömung durchgeführt. Geschwindigkeitsmessungen der vorderen und hinteren Randzonen von künstlich erzeugten Turbulenz-Kernen ergaben eine (auf die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und die Kanaltiefe bezogene) kritische Reynolds-Zahl von 1025±25. Messungen der Intermittenz längs des Kanals bei den Reynolds-Zahlen 3460, 3570 und 3850 zeigten, dass die Umschlagstheorie nach Emmons auch für Kanalströmung sinnvoll ist.