警惕以“必要条件”充当“充要条件”

若P→q,则q是P的必要条件;若P→←q,则P是q的充要条件。解题时,同学们常常挖掘必要条件来作为解题的突破口,但应特别注意不要以“必要条件”充当“充要条件”,否则会出现解题错误．下面略举数例说明之,供同学们参考．     

理解必要条件优化解题策略

综观历次高中数学课程的修改,充要条件的内容都做了保留甚至是强化处理.可反观我们的教学,一般都是详细讲解了充分条件和必要条件的定义,然后给了许多组“条件p,条件q”让学生判断“p是q的什么条件”.显然这样的做法完全弱化了充要条件尤其是必要条件在解题时的思维向导作用.本文从运用必要条件优化解题策略方面谈谈笔者的粗浅看法.     

用必要条件解题

解题过程实际上就是一个不断转化的过程,在转化过程中,一般都要求转化是等价的,即寻求原问题的充要条件,这样才能使所求得的解不至于扩大和缩小.但有时寻求原问题的充要条件很困难,或所寻求的充要条件很繁,不便于求解.此时我们就可以利用原问题的一个较弱的必要条件求解,即进行非等价变形.     

例谈充要条件在解题中的应用

在高中数学课本中 ,介绍了“充分条件”和“必要条件”的概念 ,教学上往往是局限于能判断给定命题中条件的充分性或必要性 .但笔者认为学习充要条件的概念更重要的意义在于 ,有许多题目本身并未出现“充分条件”和“必要条件”的字样 ,但在解题思考中 ,自觉应用“充分条件”“必要条件”的概念 ,却成为加深理解 ,避免误入歧途的重要保证 .学生在解题思考中经常会因忽视“充分条件”和“必要条件”的应用从而导致错解 .例 1　已知 :2≤ a +b≤ 4 ,1≤ a- b≤2 ,求 4 a - 2 b的范围 .错解由题设条件 2≤ a +b≤ 4 (1)　　　 1≤ a - b≤ 2 (2 …     

"曲线系方程"及其应用

在高中解析几何中我们常常会涉及到两圆锥曲线相交的相关问题,往往在处理这类问题时如按常规思路去解则运算量相对较大且不易算出来,相反如果利用好"曲线系"相关知识则可以大大简化解题过程中的运算量.……     

解题也需"四渡赤水"

高考复习的一个重要内容就是进行解题方法的归类.对于同一类问题有时会有多种方法,在解题时方法如何取舍、如何应用等是关键.如果有这样的一道习题,它能够带领我们走向背后更广阔的空间,那么我们就应该不遗余力地在此开展运动战--"四渡赤水".下面,笔者试图通过一道不等式的填空题来说明此意,旨在开启思维、拓宽思路、提高能力.     

从隐含条件寻求解题的突破口

<正>贵刊2015年10月下刊登了《一道几何测试题求解的思考过程》一文,读后颇受启发:解题途径的探究过程常常不是一帆风顺的,当思路不通时,不要一条道走到底,要及时回头调整解题思路,这条路不通,试试另一条路,也许会"柳暗花明又一村"呢!下文从挖掘隐含条件寻求解题突破,并给出更优化的解题思路及过程,以供读者参阅.     

“端点效应”巧解2021年八省适应性考试第22题

这篇文章呈现了一个新颖的解题思路,不仅巧,而且有通用性.其中的评注,更起到"点睛"之效,值得借鉴.     

利用导数求函数最值的三种方法

新课标要求学生学会并运用转化与分类讨论等思想解决实际问题,能够利用导数求某些函数的极值、最值.在教学中,教师既要让学生熟练掌握实用的解题方法,更要注重开拓他们的解题思路,不断提高解题效率和准确率.     

模糊乘积的"失效"与"失真"的一个判定

给出模糊乘积"失真"的充要条件,并讨论模糊乘积的"失效"与"失真"的关系.     

n维M"obius变换的正则性

本文利用高维M"obius变换的Clifford矩阵表示,讨论了高维M"obius变换的正则性,证明了三维抛物M"obius变换一定是正则的,得到了三维非抛物M"obius变换是正则的一条充要条件;同时举例说明上述充要条件在 SL(2,n) (n=2k,k 2)中不成立.     

具有正负周期系数的差分方程的振动性与线性化振动性

本文得到具有正负周期系数的差分方程振动的一个充分必要条件,并利用此充要条件获得了一个线性化振动性结果。     

谈“充要条件”

关于“充要条件” ,我们要求达到三会 :会判断 ,会证明 ,会探求 .1　判断Ａ Ｂ ,Ａ Ｂ ,Ａ Ｂ分别表示Ａ是Ｂ的充分条件、必要条件、充要条件 .要使判断准确 ,必须首先明确什么是条件Ａ ,什么是条件Ｂ ,然后 ,在Ａ、Ｂ之间准确画箭头 .若在条件Ａ ,Ｂ之间不能画箭头 ,条件Ａ是Ｂ的既不充分又不必要条件 ,若能画双向箭头 ,Ａ是Ｂ的充要条件 (当然Ｂ也是Ａ的充要条件 ) ,若只能在条件Ａ ,Ｂ之间画单向箭头 ,那么 ,箭头始端的条件一定是箭头终端条件的充分但不必要条件 ,箭头终端条件一定是箭头始端条件的“必要但不充分”条件 .例 1　若ｘ …     

一道旋转题的两种解法

数学解题中往往是知识越多,认识越深,解题方法越简单、巧妙.一题多解更能展示解题思路的灵活,并且具有很强的选择性.     

问题解决教学应重在教会学生"想"

数学问题由已知情境、目标情境、解和解题基础四个基本要素构成 .所谓“解”就是学生运用已有知识和经验在问题的已知情境和目标情境之间所进行的一种智力活动 .要保证智力活动的顺畅进行 ,既有内隐的必要条件 ,也有外显的必要条件 .首先 ,问题解决必须以一定的心理发展水平为基础 ,也就是要“会想”,这是内隐的必要条件 .其次 ,问题解决必须以一定的知识技能作保障 ,也就是要“会做”,这是问题解决外在的必要条件 .问题解决的心理条件告诉我们 ,学生解决数学问题 ,既需要“会想”的经验 ,又需要“会做”的知识 ,而这些都是学生运用全部心智…     

隐含条件的"藏身"处

隐含条件指题目中不易观察到的条件,因其"身形"隐蔽,给审清题意、正确解答制造了障碍.可以这样说,能否发现、挖掘并正确利用隐含条件是顺利解题的关键.笔者现将一些中考题中隐含条件的藏"身"处"一一揭穿",以飨读者.     

关于数学解题中"由等式发现方程的根"——关于"方程的根含义"的几点思考

数学解题中,由某些等式发现某些值是方程的根,能把解题过程变得非常简捷明了,这不仅缩短了解题时间而且拓展了解题视野;对方程的根的含义的思考不仅是数学问题的纯粹性和完备性的要求而且有助于发现和找到解决问题的思路.本文谈谈笔者对上述问题的几点思考.     

复数代换法的应用

<正>"解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒."(美国数学家G·波利亚)解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程.而"复数代换法"则是实现这种转化的重要手段之一.它的策略思想是:根据题目的结构特征,引进复数代换,利用复数知识解题的一种方法.用这种方法解某些数学题,往往能化繁为简,变难为易,得到简捷合理的解题途径.下面举例说明,供读者参考.     

拟圆的一个充要条件

本文把Gehring,F.W.和Martio,O.［1］给出的拟圆的一个必要条件精确化为充要条件.     

在数学解题教学中帮助学生认识"源"和"流"

解决数学问题,无疑是数学教学过程中的一个重要环节.教师怎样教授解题,学生怎样学习解题,是数学教学活动中的热点.但是教师对解决数学问题的认识和目的不同,则决定了解题教学的手段和过程不一样,对学生的影响也不一样.有的教师认为只要学生能听懂,掌握了这种类型,学生会做就行了,这是一种"结果教学".这种"结果教学"方式不利于学生思维能力的培养,长期如此进行解题教学,会使学生的思维僵化.但是如果能以培养学生的思维能力为出发点,借助于问题为载体,着眼于学生的思维能力发展,让学生体会到数学思想方法,掌握问题的"源与流"关系.则会收到事半功倍的效果,真正让学生学会解题,学会思考.