一道立体表面最短路径问题解答的缺陷

<正>北师大版八年级教材上有这样一个问题:如图1,长方体长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?本题不少同学的解答如下:沿长方体的侧棱HI剪开、展开,即蚂蚁走右面ADCE和前面CDHI,得到其侧面展开图,如图2,因为"两点之间,线段     

解法多样 情理之中 意料之外 余味悠长——2012年济南市学考数学第26题赏析

试题如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2(3^1/2),AC、BD相交于点O.（1）求边AB的长;（2）如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板     

一道线面角问题的三种向量解法

<正>题目在正△ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA =CP:PB=1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置,使二面角A₁—EF—B成直二面角,连结A₁B、A₁ P（如图2）,求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小.     

走展开路线就一定“最短”吗?——对一道中考题的再思考

笔者最近对2008年中考青岛卷中的关于圆锥上两点之间“最短距离”的问题进行探究,并得到一些心得,与广大同仁们进行交流.1题目图1(2008青岛)如图1是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且AF=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到点A,则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.解析把图1中侧面展开后如图2,可知A′E为蚂蚁爬行的最短距离.∵l=n1π80R(R为扇形半径),∴n=18010×π10π=180,∴∠A′OE=90°,∴A′E=OA′2+OE2=82+102=241.评析此题是无盖问题,把圆锥展开成平面图形,再由平面上“两点之间,线段最短”的原理,达到求解目的.图22提出问题假如本题中此圆锥是一个有盖的圆锥形的纸杯,那么蚂蚁爬行的最短距离是否仍为图2中A′E的长呢?我们从以下两条路线来考虑:走路线1:底面圆的直径EF+AF,(如图1).设这条路线的长为l1,则l1=10+2=12,路线2:侧面展开图的线段A′E,(如图2).设此路线的长度为l2,则l2=OA′2+OE2=241,∵l12-l22=122...     

两法剪拼矩形

任意一个凸四边形,你能剪拼成一个与其面积相等的矩形吗?方法一:"三刀法"图1剪拼方法如下:(1)如图1,取四边形各边的中点A、B、C、D,连结BD,过点A、C     

八年级数学(华东师大版)第一学期期中自测题

A组一、选择题(每小题2分,共20分)1.下面每个图中两个三角形的位置的变化可以通过平移得到的是().2.小明和同学玩牌,摸到四张牌时,有事出去一趟,他把牌正面向上,如图1那样放置,回来时变成图2的样子了,小明说有人动他的牌,你知道他是根据哪张牌判断的吗?().如图:点D是等边三角形ABC的BC边上一点,△ABC经旋转成为△ACD′,下列说法正确的是().A.绕A点顺时针旋转60°B.绕A点顺时针旋转360°C.绕A点逆时针旋转60°D.绕A点逆时针旋转90°4.如图:将△ABC沿M→N方向平移到△EFD位置,则图中平行四边形有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个5.四…     

透视一道高观点的高考题

2006年高考福建卷（理）第16题为： 如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边的中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是__．     

你能折出正三角形吗?

如图1,ABCD是一张正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的折痕将A角翻折,使得点A落在EF上(如图2),折痕交AE于点G,那么∠A’DG等于多少度?能证明你的结论吗?     

借助辅助问题解题

1　 问题的提出引例　如图 1 ,甲、乙两船分别从 A、B点处出发 ,各船以匀速沿 AP—— 、BQ—— 方向进行直线航道行驶 ,求两船相距最近时 ,彼此之间的距离 .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　图 1中由于 A、B、P、Q是变化的 ,解题关键在于能不能想出一个更好着手解决的有关问题 ?考虑极端情况 (图 2中 ) ,当乙船在 B处抛锚 ,乙船速度为 0时 ,最短距离是BS.这种极端情况看似简单 ,但的确是个好念头 .只要考虑运动的相对性 ,给乙船加上一个运动 ,使乙船看作是停在 B处不动 ,这时甲船沿着图 3中 AP AP′=AP BQ′=AP- BQ =AT…     

直线围成的曲线

<正>问题的提出现行江苏普通高中课程标准实验教科书选修2—1（江苏教育出版社）P₄₈题11:（操作题）如图1,将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折,使点D总是落在对边AB上,然后     

Morley定理的一种极限形式

美轮美奂的Morley定理[1]称:图1一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点.(如图1)该定理一经问世,便一直为人们所津津乐道,的确不失为一个令人惊讶的数学定理.图2然而笔者发现,若将通常定义的三角形予以某种拓广:如将其一顶点A置于“无穷远点”,即通常所谓二平行直线A1B∥A2C被直线BC所截,得到折线图形A1BCA2(如图2).与直线A1B,A2C距离相等的点的轨迹,即“正中”平行线l仍然保持通常定义下的三角形的“角”平分线的某些性质.如:l与两角∠C,∠B的平分线三线相交于同一点I,此点到三“边…     

试题因探究而精彩

一、试题与答案回放题目:(江苏盐城市第27题)(1)情境观察.将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是     

变式探究 受益无穷

（人教A版选修2—1P55探究）如图,设点A、B的坐标分别是（-5,0）、（5,0）,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积等于4/9,求点M的轨迹方程,并与P41 2．2例3比较,你有什么发现？     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

利用三角形三边关系巧求最值

<正>基本事实三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.如图1所示,|a-b|≤c≤a+b,当A、B、C三点共线时,c最小值=|a-b|,c最大值=a+b.利用三角形的三边关系可以巧解几何最值问题.一、求最小值例1如图2,⊙O表示一个圆形水池,某人不慎落入水池中的P处(P与O不重合),问此人应以什么方向才能最短时间游到岸边?     

从粗略估计到精确研究——对一道习题的深入探讨

请看初级中学代数第三册第154页第10题在△ABC中(如图),∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1厘米的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2厘米的速度移动,如果P、Q分别从AB同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8平     

三角形另一正则点存在性的证明

用构造法 .设△ ABC的边 BC =a,CA =b,AB =c,若仅有一角小于 60°,不妨设为 A,则B - 60° C - 60°=60°- A >0 .任取一点 Z1作射线 Z1C1、Z1A1、Z1B1使∠ A1Z1C1=B - 60°,∠ B1Z1A1=C - 60°,则∠ B1Z1C1=60°- A(如图 3) ,然后截取 图 3Z1A1=1a,Z1B1=1b,Z1C1=1c得△ A1B1C1.应用余弦定理 ,不难算得B1C1=λ′bc,C1A1=λ′ca,A1B1=λ′ab.又△ A1B1C1∽△ ABC (因对应边之比均为 λ′abc) ,又 Z1A1. B1C1=Z1B1. C1A1=Z1C1. A1B1=λ′abc,按《初探》一文引理 2 ,知 Z1是△ A1B1C1正则点 ,由相似三角形性质 ,知 …     

例说运动中的变道问题

<正>1.问题的提出案例1等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图1所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为.分析设在GC上移动速度为v,在AG     

立体几何中最值问题荟萃

立体几何中最值问题是近年来高考的热点 .它涉及的知识面广 ,属灵活性大、综合性强的问题 .为了能使学生全面地、系统地掌握此类问题 ,现将其分为四类进行探究 .以飨大家 .1　最短线长问题1.1　多面体表面上最短线长图 1　例 1图例 1　一只蚂蚁从正三棱锥Ｓ ＡＢＣ形物体的Ａ点出发沿侧面爬行 ,经过棱ＳＢ上一点Ｍ、ＳＣ上一点Ｎ、再爬回到Ａ处 .已知∠ＡＳＢ =4 0° ,ＳＡ =3ｃｍ .求蚂蚁爬行的最短路线长为多少 ?解　沿侧棱ＳＡ剪开 ,将正三棱锥Ｓ ＡＢＣ的侧图 2　例 1解答用图面展开成平面图形ＳＡＢＣＡ′ .如图 2 .由平面几何知识知 ,…     

从一道高考极限问题谈起

问题1(2006福建卷16)如图1,连接△ABC各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2,如此继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列的三角形趋向于一个点M,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是.对这一问题,如果我们将A,