一类三角函数式求和的几何方法

在三角函数的教材和有关参考书中,我们常常碰到下面一些三角函数式求和的问题.例.求下列各式的值1.cos20°+cos100°+cos140°(选自高中《代数(甲种本)》第一册 P_(209)第5题)2.cos40°+cos60°+cos80°+cos160°(同上)     

α、60°-α、60°+α角的同名函数的积

这是教材上的一组习题: 求值①sin20°sin4O°sin8O°, ②cos20°cos40°cos8O°, ③tg10°tg50°tg70°。利用积化和差公式,不难求其结果。研究这类问题,还可发现如下规律:每组角可统一表示为α、60°-α、60°+α。上述题①、②中,α=20,题③中,α=10°。进一步研究还可得到:α、60°-α、60°+α角的同名函数的积都可用α的三倍角的同名函数表示出来,即是     

从一道三角赛题的解法谈起

1991年全国高中数学联赛考了这样一题 cos~210°+cos~250°—sin40°sin80°=______. 上题侧重基础,考察学生对三角函数的变换技能,又源于高中代数上册P_(193)例4:“求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值”,是一道好题。     

余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

一道联赛题的原型与新解

题目求cos~210°+cos~250°-sin40°sin80°的值。(91年全国高中数学联赛题二(1)) 这是一道值得探究的好题! 原型高中代数课本上册例4:求sin~210°+COS~240°+sin10°cos40°的值。新解除教参上所给的传统解法外,再给几种富有启发性的解法。解1 cos~210°+cos~250°-sin40°sin80°=cos~210°+cos~250°-cos10°cos50°     

三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

巧设向量解三角问题

[例1]利用向量证明:cos10°+cos130°+cos250°=0,sin10°+sin130°+sin250°=0. 证明设正三角形ABC的边长为1,如图1置于坐标系中则 (AB|→)=(cos10°,sin10°)。 (BC|→)=(cos130°,Sin130°), (CA|→)=(cos250°,sin250°),(AB|→)+(BC|→)+(CA|→)=(cos10°+cos130°+     

8月上期课外练习解答

高一年级1.方程可化为cos(10°+x)-cos(10°+3x)=sin10°, ∴2sinx·sin(10°+2x)=sin10°①(1)当0° 2sin10°·sin30°=sin10°.综上,可知:x=10°.     

再解八七年高考理科第三题

对1987年高考理科第三题给出一种简单解法。原题是:求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。解:设x=sin10°sin30°sin50°sin70°, 又设y=cos10°cos30°cos50°cos70°。则有xy=1/16sin20°sin60°sin100°sin140° =1/16cos10°cos30°cos50°cos70°=1/16y, ∵y≠0,∴x=1/16 于是sin10°sin30°sin50°sin70°=1/16。     

课外练习

高一年级1.已知角x∈(0°,45°),满足方程:cos(10°+3x)+sin10°=cos(10°+x).求x.(湖南武冈十中(422400) 邓集春)2·已知不等式对一切大于1的自然数都成立,求实数a的范围.(甘肃兰州连城铝厂中学(730335)     

构造对偶式求一类三角函数式的值

三角函数式求值的方法很多 ,笔者在近期的三角函数教学中发现 :构造对偶式来求某些类型的三角函数式的值非常简便 ,并且能够推导出比较好的结论 .下面举例说明 .例 1　求 sin2 1 0° cos2 4 0° sin 1 0°cos 40°的值 . (代数上册 P2 33例 9)解　令 x =sin2 1 0° cos2 4 0°     

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

巧用对偶式解三角题

在三角运算求解与证明中 ,有些三角函数式隐含着对称的结构和意义 ,在解答这些题目时 ,若能挖掘出潜在的对称性 ,充分利用对称性原理 ,通过构造一组对偶式来解题 ,能达到一种曲径求捷的解题效果 .例 1　求sin1 0°sin30°sin50°sin70°.解　利用对称思想 ,构造一组对偶式 (积式配偶 ) .设A =sin1 0°sin30°sin50°sin70° ,　B =cos1 0°cos30°cos50°cos70°,则A·B =11 6 sin2 0°sin6 0°sin1 0 0°sin1 4 0°=11 6 cos1 0°cos30°cos50°cos70°=11 6 B .∵B≠ 0 ,∴A =11 6 .即sin1 0°sin30°sin50°sin70° =11 6 .例 2　求si…     

a2+ab+b2的变换技巧及其应用

二元二次式a2 ab b2结构整齐,轮换对称,在数学问题中颇为多见.从不同的角度对它进行思考、联想、变换,不仅能获得较好的解题思路和方法,而且对拓宽解题视野,提高解题能力大有好处.现就一些典型范例进行分析和说明.变换　a2 ab b2=a3-b3a-b(a≠b).例1　求sin220° cos250° sin20°cos50°的值.(1991年全国高考理科第22题)一般解法摆脱不了积化和差、和差化积的繁琐运算.应用上述变换式结合三倍角公式,使过程新颖简洁.解　原式=sin320°-cos350°sin20°-cos50°=(3sin20°-sin60°)-(3cos50° cos150°)4(sin20°-cos50°)=3(sin20°-cos50…     

一道例题的教学价值

高中代数上册P_(193)例4(以下简称例4):求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值。这道题1987年被湖南省选作高考预考题,1989年被山西省选作毕业会考题。1991年,它又换上新装,出现在全国高中数学联赛试题中,可见它是一道备受青睐、具有深刻意图的例题,探讨其教学价值,是一项很有意义的工作。本文拟从如下一些方面进行。     

浅谈一类三角练习题的制作方法

在中学课本里常见这样的练习题:“求sin20°sin40°sin60°sin80°的值”,它的一般解法是用积化和差与特殊角的函数值表以求出它的准确数值,而不是查表去求其近似值。作为数学教师还应考虑另一问题,即这类练习题的制作方法如何?如果能掌握这题的制作方法,则积与和差互化的练习题就非常充分了,而不至于受教材的限制。     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题 三角函数 适用年级 初中三年级 学期 2004-2005学年度第二学期 训练目的 利用三角函数的定义和同角三角函 数的关系式,解决一些求值、化简及等 式证明的相关问题。 典型范例 例 不查表,求15°的四种三角函数值. 分析 30°,45°,60°这些特殊角的三角函数值, 我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何 性质及勾股定理直接给出.同样,15°角的三角函数 值,也可以通过构造适当的三角形,将它转化为30° 角的三角函数问题,这种将新的未知问题通过一定途     

课外答疑也应注意启发

教学点滴 一天上晚自习时,有部分学生问我（老师）这样一道题：求ｓｉｎ １８°、ｃｏｓ ３６°的值． 我没有急于给出这道题的解法,而是启发学生思考． 老师：这道题是求非特殊角的三角函数数值,对于求非特殊角的三角函数值,我们学过了哪些方法？ 学生甲：将非特殊角转化成特殊角或者将非特殊角消掉（加、减）或约去（乘、除）． 老师：但这一道题我们无法将１８°、３６°转化成特殊角或将其消（约）去,我们以前学过的方法行不通了． （学生们展开了讨论,一时没有找到解法．这时,学生们将求知的目的光投向了老师）我没有将解法急于…     

构造平面向量,解决三角问题

平面向量的引入 ,不仅给传统的中学数学增添了新的活力 ,也为一些三角问题的解决提供了新的思路 .下面就如何利用向量这一有力工具 ,简捷而巧妙地解决某些三角问题作一粗浅的探讨 .例 1　求sin2 2 0° +cos2 5 0° +sin2 0°cos5 0°之值 .解　构造向量a =(3sin2 0° ,sin2 0°) ,b =(3cos5 0° ,-cos5 0°) ,则a +b =(3(sin2 0° +cos5 0°) ,sin2 0° -cos5 0°)=(2 3sin30°cos10° ,2cos30°sin (- 10°) ) =(3cos10° ,- 3sin10°) .由 (a +b) 2 =a2 +2a·b +b2 ,有3=4sin2 2 0° +2 (3sin2 0°cos5 0° -sin2 0°cos5 0°) +4cos2 5 0…     

Sin18°求值三法

我们知道:sin18°=(5~(1/2)-1)/4,通常它是通过sin(2×18°)=cos(3×18°)利用二倍角、三倍角公式展开后解方程求得的。以下我们介绍sin18°值的另外三种求法。方法一(几何法) 如图等腰三角形ABC,两底角为72°,顶角为36°,并设腰长为a,底边长为c,过C作底边AB的垂线,则∠BCB=180°在Rt△BCD中,就有