解斜三角形

本单元运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具．比较系统地研究了求解斜三角形这个课题．     

高考专题复习系列讲座——平面向量

[考试内窖及考试要求]考试内容：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积．平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦定理。余弦定理．斜三角形解法．     

三角形形状判断的三大策略

正确理解三角形的六要素间的关系和熟练运用三角形的正、余定理,才能迅速判断三角形的形状．一般有两种思路：其一是化边为角,求出三个角之间的关系式;其二是化角为边,求出三条边之间的关系式．实施转化的主要策略是运用三角函数的关系式、向量和正（余）弦定理等．     

一道几何概型问题的多解与推广

经过研究,从平面向量的基本定理、三角形重心的向量等式、特殊法、坐标法等不同的角度思考此题,有以下几种精彩解法．     

三角形的一个向量性质再探究

文[1]给出了三角形重心向量的一个性质，并进行了空间拓广．文[2]对三角形内任一点的向量性质进行了探究，并进行了空间拓广．文[3]对文[1]的性质进行再探究，本文类比文[3]对文[2]的性质进行再探究，得到了两个定理，现叙述如下．     

正弦定理推证中的三个“副产品”

现行高中教材（人教版试验修订本必修第一册（下））中证明正弦定理时用的是向量方法，但未给出等于2R的证明．笔者在教学中对正弦定理“等于2R”推导的探究中，利用常用的三角形的外接圆方法来推导．在完成了任务的同时还得到了几个非常优美的“副产品”．     

三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”

数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法.本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然后由特殊到一般,猜想并证明“奔驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示.     

四面体的几个有趣不等式

众所周知，三角形的射影定理揭示了边角关系，在三角形理论中扮演了重要角色．类似地，对于空间的四面体，也有相应的射影定理，它揭示了各侧面积与侧面间二面角的关系．本文利用空间的射影定理，探讨关于四面体的几个有趣不等式．     

回归平面几何视角，妙用角平分线定理

作为平面几何中的一个重要定理,三角形的角平分线定理在判断图形结构特征与构建线段比例关系等方面具有重要的作用.结合高中数学中解三角形、平面向量、平面解析几何等模块中的问题,借助三角形角平分线定理的应用,总结解题研究与技巧方法,全面培养学生数学核心素养.     

圆锥曲线的阿基米德定理

圆锥曲线的阿基米德定理叶挺彪（浙江瑞安任岩松中学３２５２０２）把过圆锥曲线的弦（在曲线内部的有限部分的线段［２］）的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．其中，弦称为这三角形的底边．文［１］给出了抛物线的阿基米德定理，即定理１阿基米德三角形底...     

三角形与三棱锥的一个向量性质的逆定理

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行拓广，文[5]证明了文[1]的逆定理也成立，文[6]将以上的重心性质进行了再推广得到了两个定理，我们可以将这两个定理加强为以下两个命题，证明类似文[6]在此不再证明．     

有心圆锥曲线的阿基米德定理的统一证法

有心圆锥曲线的阿基米德定理的统一证法孔繁秋（厦门市禾山中学３６１００９）过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形，弦叫做这三角形的底边．文［１］给出了抛物线的阿基米德定理，文［２］给出了圆锥曲线的阿基米德定理的统一表述，即定理圆锥曲...     

三角形重心的一个向量性质及其空间拓广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质及其空间拓广，本文将给出三角形重心的另一个向量性质，并对其进行空间拓广．     

存在面积为360的本原海伦三角形

文［１］曾证明有关本原海伦三角形若干定理，其中一个定理为本原海伦三角形的面积Ｓ是６的倍数．后又引文［２］指出：比如，不存在面积为３６０的本原海伦三角形．实际上，这个论断是错的，本文给出反例，找出了存在面积为３６０的本原海伦三角形．下面通过构造出两类海...     

数学竞赛中的“三点共线定理”

从课本例题出发,深入探究了平面向量“三点共线定理”,运用该定理求解了两道北京市中学生数学竞赛题,并推广了三角形面积比例的一类问题.     

关于三角形外角平分线相等的定理

关于三角形外角平分线相等的定理续铁权青岛教育学院如果三角形两内角平分线相等，则其对边相等，三角形是等腰三角形．这是有名的施泰纳一雷未欧斯定理．这一定理不能推及到外角平分线情形．吴文俊先生指出，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形．日本的井上义...     

椭圆焦点三角形最大顶角问题解法归纳和应用

椭圆中焦点三角形由于综合了椭圆的第一定义、第二定义、焦半径公式、三角函数以及解三角形的常用知识,近几年的数学高考试题中出题比较多,对焦点三角形的处理我们一般有三个常见思路：余弦定理、正弦定理以及向量,本文对椭圆的焦点三角形最大顶角问题探讨思路进行挖掘,并得出一些有用的结论和它们的应用,希望读者能据此举一反三,得出更多的结论．     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

平面向量三点共线定理的一个推论及其应用

中对三角形“四心”的向量统一形式从坐标法的角度给出了证明，笔者读后深受启发．经过探究，笔者发现还可以从面积法的角度证明三角形重心和内心的向量形式．     

一类向量问题的解法

平面向量的数量积是江苏省《考试说明》中的C级要求,在近几年高考中对此内容进行了多次考查,在各地的高考模拟试题中也多次出现．平面向量的基本定理、三角形法则、平行四边形法则是平面向量运算的核心内容,下面就这类题型做些梳理、归纳、延伸和拓展,希望对广大教师的教学和同学们的学习有所帮助,不当之处望同行斧正．