婆罗摩笈多模型结论的探究和应用

<正>婆罗摩笈多是印度7世纪卓越的天文学家和数学家,他著有《婆罗门历算书》,其中有两章专论数学,包括算术、不定方程和几何等内容,尤其是他研究圆内接四边形得出了不少有趣的定理,其中婆罗摩笈多定理常为后人所研究.1 婆罗摩笈多定理及相关结论1.1 婆罗摩笈多定理若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.符号语言：圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为M,过点M作NH⊥BC交AD于点N,     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

一道平几习题的演变

现行初中《几何》第二册 P_(16)第8题:内接于圆的四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 垂直相交于点 K,过点 K 的直线与边 AD、BC 分别相交于点H 和 M,求证:(1)如果 KH⊥AD,那么 CM=MB;(2)如果 CM-MB,那么 KH⊥AD,(证略)这是一道有关圆内接四边形的对角线互相垂直的     

一个几何定理的妙证

<正>定理^[1]过完全四边形ABCDEF的顶点A的直线交BF于M,交CE于N,交BD于G,交CD于H,则1/AM+1/AN=1/AG+1/AH.(编者注文中的"完全四边形"ABCDEF是由平面上无三线共点的四条直线AB,BD,DF,FA(称为边)以及每每两条直线的交点A,B,C,D,E,F(称为顶点)组     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

塞瓦定理的三维推广

定理l召、尸、G、H、形、N分别为四面体ABcD的棱cD、DB、BC、A刀、AB、月c上的点,若六个平面ABE、月口尸、ADG、召‘万、cDM、DBN共点,则望.禁.嘿·丝一1(l)乃闷召刀刀月万刀口口 证设六个平面交点为0,月口、仪)、‘勺、伪分别交对面于M,、MZ、对3、对;(图1)平面ABE、月口尸、A     

一九九一年中国数学奥林匹克试题解答

一、平面上有一个凸四边形月刀口刀, (1)如果平面上存在一点p.使得△月刀尸,△仪华,△cDP和△DAP面积都相等,问四边形A脚要满足什么条件? (2)满足(l)的点尸,平面上最多有几个? 证明你的结论. 解(l)(i)当p在月优’D内部时,如图一,由几捆,”S△‘,知,成和c点到直线I]P的距离相等,     

巧用“中心对称”证题

例1 (2004 年山西省中考题)如图 1,已知过(?)ABCD的对 角线交点O作互相垂直 的两条直线EG、FH。与 (?)ABCD各边分别相交于点E、F、G、H． 求证:四边形EFGH是菱形． 证明 ∵ 对角线的交点O是(?)ABCD 的对称中心,     

椭圆准线的六种作图方法

<正>对于椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a> b> 0),右焦点F(c,0),直线l过F交椭圆于A、B两点,下面的定理给出了其准线的六种作法,并能类比应用于双曲线和抛物线的情形.方式1若l与坐标轴不平行,做B关于x轴的对称点B',作直线AB'交x轴于M,过M作x轴垂线m即为椭圆右准线.     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

完全四边形的Miquel点及其应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线.如图1,直线ABC、BDE、CDF、AFE两两相交于A、B、C、D、E、F六点,即为完全四边形ABCDEF,连线AD、BF、CE为其三条对角线.     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

一个正多边形被两条平行直线截出的一个定值

文 [1 ]给出了命题 1 :正方形ABCD是块边长为a的硬纸片 .平面内的两条直线l1∥l2 ,它们之间的距离也等于a .现将这块纸片放在两条平行线上 ,使得l1与AB ,AD都相交 ,交点分别为E ,F ;l2 与CB ,CD都相交 ,交点分别为G ,H .记△AEF周长为c1;△CGH周长为c2 .证明 :不论怎样移动正方     

1993年高考试题解法集锦 理科第(26)题别解

题如图,A刃.c:一d犷是直三棱什:过点A:、刀、c:的平面和平面A刀C的交线记作1. (I)判定直线A.C:和l的位置关系,并加以证明; (皿一)若月.月=l,AB=4,脚二3,乙A仪,=900,求顶点A.到直线l的距离. 这是今年全国高考理科数学第26题,标答中给出两种解法,为了使于研究问题,现将标答中给出的第一种解法抄录于下: 解法l(I)l//,1:c.,证明如下: 根据棱柱的定义和平面.,1沼、C、和平而月刀口平行,由题设知直线月,c:=平而,1.刀!C.自平面A:仪尹.,直线l二平而,1.货.n平而,t仪’. 根据两平面平行的性质定理有l//」‘C, (皿)过点A、作A.君土l于召,则八、…     

一个正多边形被两条平行直线截出的一个定值

文[1]给出了命题1：正方形ABCD是块边长为a的硬纸片，平面内的两条直线l1∥l2，它们之间的距离也等于a，现将这块纸片放在两条平行线上，使得l1与AB，AD都相交，交点分别为E，F；l2与CB，CD都相交，交点分别为G，H，记△AEF周长为c1；△CGH周长为c2，证明：不论怎样移动正方形纸片，c1 c2总是定值.     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

一个有用的规律

企一些课外资料上,有这样一道题: 过已知点M(1,4)引直线l,使l在两坐标轴_{几的截距为正值,_日_所围的面积最小,则直线l]’l勺方程为__.答案是lx+2刀~8=。,化成截距式,为二1,可以看出,它在:轴和穿轴的截距分别夕一OC +戈一勺山是点盯的坐标的两倍,这是偶然的巧合,还是一个可循的规律呢,我们不妨将特殊间题一般化: 过巳知点,习(a,b)(月,中a>0,丙>0),弓直线l使l在两坐标轴土的截距为正值,且所围的面积最小,则直线l方程为刀︺一︸石仃 山丁﹄a解:如图,在坐标系上作直线l。::二1交x刀轴分别为D、刀.过4作直线{。。//l。‘.交x、方轴为召、+乒=1…     

一道全国联赛试题的别解

2005年全国初中数学联赛试卷(A卷)第三题(解答题)的第2题是:锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q.证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点.联赛组委会所提供的“参考答案”中,给出了一种漂亮的证法.这里笔者再给出该试