On the natural frequencies of a stepped thickness Timoshenko shaft

Summary In this note the free vibrations of stepped thickness shafts are investigated taking into account the effects of rotatory inertia and transverse shear force. The solution of the system of indefinite equations is written first, together with boundary and continuity conditions. Then, a practical application is presented and the values of the first six natural frequencies are given, using both the Timoshenko and Euler-Bernoulli theories. Finally, the dependence of the eigenvalues on the extension of the central, thicker portion of the shaft, are studied.

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Sommario In questa nota si studiano le vibrazioni libere degli alberi con sezione uniforme a tratti, tenendo conto degli effetti dello sforzo di taglio e dell'inerzia rotazionale. Dopo aver riassunto il metodo e scritto le condizioni al contorno e di continuità, viene esaminato un caso di concreto interesse e si forniscono i valori delle prime sei frequenze naturali ottenute sia dalla teoria di Timoshenko che da quella di Eulero-Bernoulli. Viene infine studiata la dipendenza delle frequenze dall'estenzione della parte centrale, più tozza, dell'albero.

     

Constant velocity transmission between skew shafts by universal coupling

Summary In this paper, kinematics of the transmission between skew shafts by universal coupling is analyzed. Conditions allowing constant velocity transmission are explored, and expressed in function of the geometric parameters defining the system. Subsequently, conditions allowing constant velocity transmission when specific relative displacements are introduced between input and output shafts are expressed; it can be obtained with appropriate helicoidal (with variable pitch helix) spline placed into the intermediate shalft. The same conditions are explored for displacements whatsoever; an irregularity comes into play, because functioning conditions are not yet kinematically correct; but irregularity degree can be reduced if specific conditions are respected.

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Sommario In questo lavoro viene analizzata la transmissione, effettuata mediante doppio giunto cardanico, fra alberi sghembi da un punto di vista cinematico. Vengono ricercate le relazioni che esprimono lo sfasamento fra le forcelle dell'albero intermedio necessario per mantenere l'omocineticità, in funzione dei parametri del sistema. Sono poi esaminate le possibilità di mantenere l'omocineticità consentendo spostamenti relativi degli alberi sghembi tra loro. Questo può essere ottenuto, per spostamenti non qualsiasi, realizzando un'apposita scanalatura elicoidale di passo variabile sull'albero intermedio. Infine vengono analizzate le stesse possibilità per spostamenti qualsiasi; interviene così, però, un'irregolarità nella transmissione, irregolarità che è tanto maggiore quanto maggiori sono gli spostamenti. Essa può però essere ridotta realizzando sull'albero intermedio una scanalatura, a passo costante, di opportuno valore.

     

A large displacement formulation for anisotropic beam analysis

Summary The displacement of a beam can be conveniently resolved into a roto-translational section displacement and a section warping. The correct second order approximation of the strain is deduced accounting for large displacements and thus for large rotations. On the basis of displacement method, both linear and nonlinear formulations are given: the first one leads to the elastic section properties and to the correct characterization of section warping; the second one leads to the so-called geometric section stiffness, accounting for prestress. Both formulations are general with respect to elastic material properties, thus allowing to deal with aniso-tropic and unhomogeneous cross-sections. Elastic and geometric section rigidities here proposed can then be easily used in second order problems on beam frames: either initial buckling eigenvalue analyses, either large displacement incremental analyses.

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Sommario E' conveniente scomporre lo spostamento di un punto di una trave in una rototraslazione della sezione cui appartiene e in uno spostamento che deforma la sezione (in-gobbamento). Si deduce la corretta approssimazione al second'ordine della deformazione per grandi spostamenti e quindi grandi rotazioni. Vengono presentate sia la formulazione lineare che quella non lineare, basate sul metodo degli spostamenti: dalla prima si ottengono le caratteristiche elastiche della sezione e la corretta caratterizzazione dell'ingob-bamento; dalla seconda la cosiddetta rigidezza geometrica della sezione che tiene conto dello stato di presforzo. Entrambe le formulazioni sono generali per quanto riguarda le proprietà del materiale elastico, potendosi così considerare anche sezioni anisotrope e non omogenee. Le caratteristiche di rigidezza elastica e geometrica della sezione possono quindi facilmente essere usate in problemi del second'ordine su strutture a travi: sia analisi agli autovalori della stabilità, sia analisi incrementali con grandi spostamenti.

     

Study of the propagation of a torsional wave in a curved wire

Summary The problem of the propagation of a torsional wave in a curved wire is examined. The displacements with a natural and with a forced curvature are calculated and the corresponding dispersion relations are obtained on the basis of a purely elastic model.The results are discussed in connexion with the problem of the propagation of a signal in a wire-type acoustic delay line and compared with the results previously obtained by other workers.

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Sommario Si esamina il problema della propagazione di un'onda torsionale in un filo curvato. Viene svolto il calcolo degli spostamenti con curvatura sia naturale, sia imposta e si ottengono le corrispondenti relazioni di dispersione sulla base di un modello puramente elastico. Si discutono inoltre i risultati ottenuti, in relazione al problema della propagazione di un segnale in una linea di ritardo meccanica, confrontandoli con quelli precedentemente acquisiti da altri Autori.

     

A refined theory for laminated beams: Part II—An iterative variational approach

This paper presents a displacement-based one-dimensional model for the analysis of laminated composite beams, based on the assumption of cross sections rigid in their own planes. The proposed model is mainly focused on the boundary layer analysis. The representation of the axial displacements is given as products between line functions and warping modes of the cross section. Both the sets of unknown functions are determined by means of a variational formulation in order to obtain the ‘best choice’ for the thickness coordinate functions. The minimization of the total potential energy functional is reduced to a sequence of linear problems by means of a gradient technique. Various examples referring to simply supported and cantilever beams, subjected to distributed or concentrated loads, are solved. The results for stress distributions are found to be in excellent agreement with exact plane strain and finite element plane stress solutions even at very low distances from the end sections.

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Sommario In questo lavoro viene presentato un modello monodimens onale agli spostamenti per l'analisi di travi in laminato multistrato fondato sull'ipotesi di sezioni indeformabili nel proprio piano. Il modello è finalizzato principalmente allo studio degli effetti di bordo. Gli spostamenti assiali vengono espressi attraverso prodotti fra funzioni di linea e modi di ingobbamento della sezione. Entrambi gli insiemi di funzioni incognite sono determinati attraverso una formulazione variazionale allo scopo di ottimizzare le forme di ingobbamento della sezione. La minimizzazione del funzionale dell'energia potenziale totale viene ridotta ad una sequenza di problemi lineari mediante una tecnica tipo gradiente operando alternativamente le varizioni rispetto ai due insiemi di funzioni incognite. Negli esempi risolti, gli stati tensionali ottenuti risultano in eccellente accordo con soluzioni esatte (in stato piano di deformazione) e con soluzioni agli elementi finiti (in stato piano di tensione) anche in prossimità delle sezioni estreme libere o vincolate.

     

The rigid inclusion with highest penetration

A cylindrical bounded rigid inclusion with cross section of bounded area and variable shape is embedded in an infinite elastic medium. Assuming that the cross section possesses an axis of symmetry and that it is pushed into the medium by a force acting in the direction of this axis, the question arises of finding the section's profile for which penetration is highest. A solution is found only for two particular classes of domains in plane elasticity.

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Sommario Un'inclusione clinidrica rigida con sezione trascersale di area limitata e forma variabile è immersa in un mezzo elastico infinito. Avendo supposto che la sezione possegga un asse di simmetria e che sia spinta nel mezzo da una forza agent secondo tale asse, si pone il problema di trovare il profilo della sezione per cui è massima la penetrazione. Una risposta si può dare solo per due classi particolari di domini in elasticità piana.

     

Elastic behaviour of shrink-fitted forming die assemblies. Part II: Numerical application and results

Summary A study is presented on the elastic behaviour of a set of assemblies consisting of a cylinder prestressed by a shrink-fitted ring of different length as is customary in extrusion toolsets. An accurate analysis is carried out of the individual and interactive effects pertaining both to the bulk support provided by the relatively unstressed parts of the die, and the external compressive stresses induced by radial support of the shrinking ring.Stresses and displacements in the two cylindrical components are evaluated by a numerical application of the three-dimensional elastic theory and the point-matching method.Again a discussion is presented of the limitations involved by the numerical approach.

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Sommario L'articolo riferisce sul comportamento elastico di accoppiamenti realizzati per forzamento di un anello di grosso spessore su un cilindro cavo di lunghezza finita e diversa da quello dell'elemento forzante, del tipo di quelli impiegati nelle attrezzature di estrusione.Si analizzano individualmente e nella loro interazione le influenze che su tale comportamento hanno l'irrigidimento fornito da quelle porzioni dell'anello interno che sono relativamente scariche di tensioni e la pressurizzazione esterna indotta dall'elemento forzante.Il calcolo delle tensioni e degli spostamenti nei due componenti è operato mediante un'applicazione numerica della teoria dell'elasticità tridimensionale e del metodo delle collocazioni.Si discutono inoltre le limitazioni connaturate con l'approccio di tipo numerico.

     

Optimal stability envelope of the damped hauger system

Summary By using the Frobenius' method, the authors obtain the virtually exact instability boundary of the externally damped viscoelastic Hauger system. The interaction between the two types of damping, yields results paradoxical to those obtained with each type of damping considered separately. An optimal stability envelope, which for a prescribed value of internal damping and any external damping gives the highest attainable critical load, is obtained. The addition of external damping for a prescribed internal damping, raises the critical load at best to the above optimal value; further addition of external damping diminishes the critical load. The Ziegler's jump or pseudo-destabilization due to infinitesimal internal damping, is shown to vanish with the introduction of external damping. For large external damping, the Ziegler's jump approaches a negative asymptotic value. These paradoxical results provide a deeper insight into the complex interaction between the internal and external damping in polygenic systems.

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Sommario Usando il metodo di Frobenius gli autori ottengono il contorno di instabilità virtualemnte esatto del sistema viscoelastico Hauger smorzato esternamente. La interazione fra i due tipi di smorzamento porta a risultati paradossali rispetto a quelli ottenuti con ogni tipo di smorzamento considerato separatamente. Si ottiene un inviluppo ottimale di stabilità che per dati valori degli smorzamenti interni ed esterni dà il massimo carico critico ottenibile. L'aggiunta di smorzamento esterno per un prescritto smorzamento interno aumenta il carico critico al massimo fino al sopra citato valore ottimale; un aumento ulteriore di smorzamento esterno diminuisce il carico critico. Si dimostra che con l'introduzione di smorzamento esterno diminuisce la discontinuità di Ziegler e la pseudo-instabilità dovuta a smorzamento interno infinitesimo. Per forti smorzamenti esterni la discontinuità di Ziegler tende a un valore asintotico negativo. Questi risultati paradossali forniscono una più approfondita comprensione della complessa interazione fra smorzamento interno ed esterno nei sistemi poligenici.

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A refined theory for laminated beams: Part I—A new high order approach

This paper presents a new displacement-based one-dimensional model for the analysis of multilayered composite beams. The kinematic restriction of cross sections rigid in their own planes is introduced. The axial displacements over the cross sections are represented in terms of explicitly defined piecewise polynomial warping functions with discontinuous derivatives at the interlaminae, whereas the amplitude of the displacements along the beam axis is established by means of a variational formulation. It is proved that the proposed representation of the axial displacements yields the exact solution of the interior domain problem for a beam subjected to a transverse load varying according to a polynomial law. It is shown that two or three coordinate functions are sufficient to yield continuous distributions of equilibrated stresses except for small neighborhoods of the constrained cross sections, where a higher number of warping functions could be used in order to obtain a better accuracy. The numerical results show excellent agreement with plane stress finite element and plane strain exact solutions.

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Sommario In questo lavoro viene presentato un nuovo modello monodimensionale per l'analisi di travi composite multistrato. Viene introdotta l'ipotesi di indeformabilita delle sezioni nel proprio piano mentre gli spostamenti assiali nella sezione sono rappresentati facendo uso di funzioni ingobbamento definite sull'intera altezza e con derivata discontinua all'in erlamina. Infine, l'ampiezza degli spostamenti lungo l'asse della trave è determinata facendo uso di una formulazione variazionale. Si mostra come la rappresentazione degli spostamenti assiali proposta sia in grado di fornire la soluzione esatta, all'interno del dominio, per una trave soggetta ad un carico trasversale variabile con legge nolinomiale. Due o tre funzioni coordinate sono sufficienti a fornire distribuzioni di sforzi che verificano l'equilibrio anche all'interlamina, a meno di zone rislrette in vicinanza di sezioni vincolate. I risultati numerici mostrano un eccellente accordo con soluzioni agli elementi finiti in stato piano di tensione e con soluzioni esatte in stato piano di deformazione.

     

A general method for sensitivity analysis of plane mechanism

Summary The paper describes a general method for the sensitivity analysis of plane mechanisms, particularly suited for use with automatic computation facilities. The sensitivity coefficients are computed through “macros”, thus greatly reducing the effort and the background required by the designer. The problem is solved by reducing it to a subcase of kinematic analysis of the general equivalent kinematic chains of the macros. The method can be applied to tolerance analysis, and to dynamic analysis in order to determine the forces (virtual work theorem) or the law of motion (Lagrande equations).

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Sommario L'articolo illustra un metodo generale per l'analisi di sensibilità nei meccanismi piani, particolarmente adatto ad un impiego con mezzi di calcolo automatico. La determinazione dei coefficienti di sensibilità viene effettnata per “macro”, riducendo quindi al massimo lo sforzo e le conoscenze richieste al progettista. La soluzione del problema viene ottenuta riducendolo a un sottocaso di analisi cinematica delle catene cinematiche generali equivalenti degli elementi semplici. Vengono delineaté le applicazioni all'analisi delle tolleranze ed all'analisi dinamica, per la determinazione delle forze (teorema dei lavori virtuali) o della legge di moto (equazioni di Lagrange).

     

Consistent matrices in rotor dynamic

Summary The expressions for the consistent mass and gyroscopic matrices for a constant section shaft element are obtained taking into account both shear deformation and transversal inertia. The results are compared with closed form solutions, which are available in simple cases. The results obtained show that the study of the dynamic behaviour of the rotor with a model which includes rotational inertia but not shear deformation is, at least in the case examined, misleading. Formulae for matrix condensation and for taking into account the effects of axial load and of a linear unbalance distribution are given. Damped systems can be studied using the same model, provided that damping can be assumed to be of either viscous or hysteretic type. Some formulations found in the literature are however not considered correct. An application of consistent matrices to a model which includes damping and uses matrix condensation is shown.

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Sommario Nel presente lavoro vengono ricavate le espressioni della matrice congruente delle masse e giroscopica per un elemento di albero a sezione costante. Tali espressioni tengono conto sia della deformazione a taglio che dell'inerzia trasversale. I risultati, in termini di velocità critiche e di diagramma di Campbell, per un albero a sezione costante vengono confrontati con soluzioni in forma chiusa di varia complessità. Vengono discussi gli effetti della deformazione a taglio, dell'inerzia trasversale, dello smorzamento e dello sforzo assiale sul comportamento dinamico. Viene inoltre presa in considerazione una distribuzione lineare nota di squilibrio. Il modello cosi ottenuto può venire usato anche per lo studio di sistemi smorzati, purchè lo smorzamento possa essere considerato di tipo ?viscoso? o ?strutturale?. Viene infine mostrata un'applicazione ad un modello in cui si tiene conto anche dello smorzamento e che fa uso della condensazione delle matrici per ridurre l'ordine del problema dinamico.

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The ellipse of torsional elasticity

Summary In perfect analogy with Culmann's theory of the elasticity ellipse a flexo-torsional ellipse is devised for rapid calculation of the displacements, hyperstatic reactions and influence lines in beams with a straight axis and variable cross section even in conditions of non uniform torsion.

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Sommario In perfetta analogia con la classica teoria di Culmann dell'ellisse di elasticità, si instaura una ellisse di carattere flesso-torsionale che permette il calcolo rapido degli spostamenti, delle iperstatiche, delle linee di influenza nelle travi ad asse rettilineo a sezione comunque variabile, anche in regime di torsione non uniforme.

     

Laminar,turbulent, and transition flow in porous sintered media

Summary The results of an experimental research on laminar, transition and turbulent flow through sintered bronze metallic filters are here reported. Assuming the square root of the permeability as characteristic dimension of the porous media, all the experimental results — obtained either with air or with water as working fluid — are presented on a plot of the friction factor versus the Reynolds number. A unique value of the characteristic constant allows a good fit for both fluids.

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Sommario Si presentano i risultati di una ricerca sperimentale sul moto di filtrazione in regime laminare, di transizione e turbolento attraverso filtri metallici di bronzo sinterizzato. Assumendo la radice quadrata della permeabilità quale dimensione caratteristica degli elementi porosi, tutti i risultati ottenuti — sperimentando sia con aria che con acqua — vengono correlati in funzione del fattore di attrito e del numero di Reynolds, con un unico valore della costante caratteristica dei mezzi porosi.

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Three-dimensional shapes of looped DNA

The equilibrium shapes of a closed DNA are investigated by employing a model of a thin, homogeneous, isotropic, linearly elastic rod of circular cross section. An equilibrium configuration of such an initially straight and twisted rod, submitted to external forces and moments at its ends only, obeys equations identical to those governing the rotation of a symmetric gyrostat spinning about a fixed point in a gravitational field (the Kirchhoff analogy). To represent the equilibrium of the looped DNA, the model rod must be smoothly closed into a ring. The corresponding BVP results in a system of four nonlinear equations with respect to four parameters. The perturbation analysis and the parameter continuation approach are used to find nonplanar solutions. The conformation change is discussed for various values of parameters.

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Sommario Si analizzano le configurazioni di equilibrio di una molecola chiusa di DNA per mezzo di un modello di trave sottile, omogenea, isotropa e linearmente elastica, con sezione circolare. La configurazione di equilibrio di una tale trave, inizialmente rettilinea e poi ritorta, soggetta a forze esterne e momenti solo alle sue estremità, è descritta dalla soluzione di equazioni identiche a quelle che governano il moto di un girostato simmetrico in rotazione intorno ad un punto fisso in un campo gravitazionale (l'analogie di Kirchhoff). Per poter rappresentare l'equilibrio del cappio di DNA, il modello di trave deve essere racchiuso in un anello, Il corrispondente problema al contorno consiste in un sistema di quattro equazioni nonlineari rispetto a quattro parametri. Le soluzioni del problema fuori del piano vengono ottenute tramite l'analisi perturbativa ed una procedura di continuazione al variare di un parametro. Si discutono le modifiche di configurazione del sistema per diversi valori dei parametri.

     

Photoelastic stress analysis of a nuclear reactor pressure vessel

Summary The state of stress from internal pressure in a nuclear reactor pressure vessel was examined using photoelastic models.The results were compared with those obtained from Eringen theoretical analysis.The Poisson ratio effect was investigated with reference to a cylinder-sphere junction.The results were also compared with photoelastic results for similar dimensions and with the values of a numerical analysis with finite element method of other authors.

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Sommario La ricerca ha come oggetto l'analisi fotoelastica dello stato di tensione in campo elastico, dovuto a pressione interna e a serraggio iniziale, nel contenitore e nella testata di un reattore nucleare.I risultati ottenuti sono stati valutati sulla base degli errori di misura e sulla base di un confronto con quelli ottenuti sperimentalmente da altri autori per geometrie non troppo diverse da quella relativa al caso studiato e con metodi numerici per la stessa geometria.Si è cercato di estendere i risultati, confrontandoli con quelli ottenuti con l'applicazione della teoria di Eringen in modo da dare loro una validità più generale.

     

Coupled free,torsional and axial vibration of pre-twisted bars

Summary The present paper deals with the calculation of natural frequencies in a pre-twisted solid with constant cross-section.The axial and torsional displacements of cross-sections are taken into account, as well as the relative inertia forces and couples.The differential equations of the vibration are integrated and their general solution is given.In the paper, by such solution, among the possible cases only the three simplest ones are considered (free-free, fixed-fixed, fixed-free ends) and a numerical example is carried out which enables to evaluate the several orders of magnitude. Other more complex cases will be treated in other papers.

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Sommario Nel presente lavoro viene affrontato il problema della determinazione delle frequenze proprie di vibrazione di un solido svergolato a sezione uniforme.Il problema viene risolto tenendo conto degli spostamenti assiali e torsionali di ogni sezione e delle relative forze e coppie di inerzia.Le equazioni differenziali del moto vengono integrate e ne viene fornita la soluzione generale.Mediante tale soluzione vengono esaminati, fra tutti i diversi casi possibili, i tre casi pratici più semplici (estremità del solido entrambe libere, entrambe incastrate, una libera e l'altra incastrata) e viene inoltre svolto un esempio numerico che consente di ottenere i diversi ordini di grandezza.I casi di maggiore complessità verranno esaminati in successivi lavori.

     

A crack along a circular interface between dissimilar media

Summary The plane problem dealing with an arc crack along the interface of a circular elastic inclusion and an unbounded different elastic medium is theoretically studied. The closed form solutions of the stresses and displacements along the contour are derived under general biaxial stresses at infinity. The stress field near the crack tip is evaluated and the presence of non-singular terms is pointed out to infer their effects on the quantities predicted by local fracture criteria. An overall stress intensity factor connected with the rate of strain energy release is also introduced to obtain crack growth information on the interface.

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Sommario Viene studiato teoricamente il problema piano di una fessura all'interfaccia tra un inclusione circolare elastica ed un mezzo con proprietà elastiche diverse. Vengono ricavate le espressioni degli sforzi e degli spostamenti sul contorno in regine di carico biassiale e rilevata l'importanza dei termini non singolari, che compaiono nelle espressioni dei campi locali degli sforzi, in vista dell'applicazione dei criteri locali di frat tura. Viene inoltre definito un fattore globale di intensità degli sforzi, connesso con il rilascio di energia di deformazione, mediante il quale si possono ottenere informazioni sulla propagazione della fessura all'interfaccia.

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Financial support of the National Research Council (C.N.R.) through research contribution n. 80.02203.07.     

On the stokes flow problem associated with a general twisted tube with a uniform non-rotating section

Summary The Stokes flow problem associated with the steady flow of a viscous incompressible fluid in a general twisted tube with a uniform non-rotating section is investigated. The equations of motion and boundary conditions are formulated in an orthogonal curvilinear coordinate system which is constructed for the interior of a finite length of the tube. A solution scheme is then presented involving two small parameters which are proportional to the tube curvature and torsion respectively.

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Sommario Si è investigato il problema del flusso di Stokes associato col flusso continuo di un fluido viscoso incompressibile in un tubo ritorto generico con una sezione uniforme senza rotazione. Le equazioni del movimento e le condizioni ai limiti sono formulate in un sistema di coordinate ortogonali curvilinee, al quale è riferito l'interno di una definita lunghezza del tubo. E' anche presentato uno schema di soluzione includendo due piccoli parametri i quali sono proporzionali alla curvatura e alla torsione del tubo rispettivamente.

     

Stochastic seismic analysis of offshore towers

Summary After a brief review of the main problems and the most common analysis methods for offshore structures, a method of analysis for offshore towers submerged in water and subjected to strong earthquake motions is proposed. Nonlinear drag effects as well as random non-stationary seismic excitations are considered by means of a linearization technique based on a particular step-by-step procedure. Using a discrete lumped-mass model, the standard deviations of nodal displacements and velocities are evaluated. The probability of not exceeding a defined threshold of nodal displacements is also computed.

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Sommario Dopo una breve panoramica sui problemi e le soluzioni esistenti per le strutture offshore, si valuta la risposta di una struttura a torre immersa in acqua sotto eccitazioni sismiche di tipo non stazionario. Si prendono in considerazione le non linearità insite in tali sistemi utilizzando tecniche di linearizzazione equivalente mediante un procedimento di calcolo al passo nel dominio dei tempi.Si valutano le deviazioni standard degli spostamenti e delle velocità nodali, per uno schema a masse concentrate ai vari livelli ed operati alcuni confronti attraverso valutazioni numeriche, si calcolano le probabilità di non eccedenza rispetto a prestabiliti valori di soglia.

     

On the flow of an electrically conducting fluid and heat transfer along a plane wall with periodic suction

The purpose of this paper is to consider the behaviour of a three-dimensional laminar boundary layer flow of an incompressible, electrically conducting Newtonian fluid past a plane wall in the presence of a transverse suction velocity distribution applied at the wall. The components of the wall shear stress and heat transfer, using the method of perturbation, are obtained. The variations of these quantities with the Prandtl number and a magnetic parameter are also investigated.

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Sommario Scopo di questo lavoro é di studiare il comportamento di un flusso di stato-limite laminare tridimensionale e di un flusso newtoniano incompressibile elettroconduttore lungo una parete piana in presenza di una distribuzione di velocità trasversale di aspirazione applicata alla parete. Si determinano le componenti di tensione tangenziale sulla parete e la trasmissione di calore usando un metodo perturbativo. Si studiano anche le variazioni di queste quntità con il numero di Prandtl e con il parametro magnetico.