新教材中一道练习题的变式与引申

高二数学新教材Ｐ96 ,第 4题如下 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (- 6 ,0 ) ,(6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .解　依曲线方程的建立过程 ,设顶点Ｃ(ｘ ,ｙ) ,则ｋＣＡ·ｋＣＢ=- 49,即ｙｘ + 6 · ｙｘ - 6 =- 49.整理得 :ｘ236 + ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 1　若边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积改为 49,则得Ｃ点的轨迹方程为ｘ236 - ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 2　若两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (ａ ,0 ) ,(-ａ ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- ｂ2ａ2 (ａ >ｂ) .解法同理可得 :ｙ…     

求直线方程时谨防漏解

直线方程有多种形式 ,初学者往往将注意力集中在这些公式的推导、记忆、相互转化和简单应用上 ,对求直线方程时出现的漏解常常防不胜防 ,以致考虑不周 ,解答不全 .如何查“漏”补“缺”呢 ?笔者认为要做到以下“一法五不忘” ,供大家参考 .1　勿忘“斜率不存在”若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求经过点 (3,4 ) ,并且与点 (1,1)的距离为 2的直线方程 .分析 :若将所求直线方程设为 ｙ - 4=ｋ(ｘ -3) ,再由点到直线的距离公式求出ｋ =512 ,得直线方程为 5ｘ - 12 ｙ + 33=0 ,则显然…     

抛物线的切线与割弦的关系

结论 1　设 ｆ(ｘ ,ｙ) =ｘ2 - ｙ ,过抛物线ｆ(ｘ ,ｙ) =0外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )作抛物线的切线 ,设Ｍ(ｘ0 ′ ,ｙ′0 )是切点 ,则有以下关系 :ＰＭ2 =ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) ( 1 +ｋ20 ) ,其中ｋ0 是Ｍ点处的切线斜率 ,在数值上有ｋ0 =2ｘ0 ′=2 (ｘ0 ±ｘ20 - ｙ0 ) .图 1　结论 1用图证　设切点为Ｍ (ｘ0 ′,ｙ0 ′) ,设切线方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,由ｙ- ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,ｙ =ｘ2 ,消去 ｙ得ｘ2 -ｋｘ +ｋｘ0 - ｙ0 =0 ,Δ =ｋ2 - 4(ｋｘ0 - ｙ0 ) =0 ,(ｋ - 2ｘ0 ) 2 =4ｘ20 - 4ｙ0 ,∴ｋ =2ｘ0 ± 2ｘ20 - ｙ0 ,∵Ｍ(ｘ0 ′ ,ｙ0 ′)…     

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试数学试题

一、填空题 (本大题共 14题 ,每题 2分 ,满分 2 8分 )1.计算 :( 12 ) -2 =.2 .如果分式 ｘ + 3ｘ - 2 无意义 ,那么ｘ =.3.在张江高科技园区的上海超级计算中心内 ,被称为“神威 1”的计算机运算速度为每秒 384 0 0 0 0 0 0 0 0 0次 ,这个速度用科学记数法表示为每秒次 .4 .方程 2ｘ2 - 1=ｘ的根是 .5.抛物线 ｙ =ｘ2 - 6ｘ + 3的顶点坐标是 .6 .如果 ｆ(ｘ) =ｋｘ ,ｆ( 2 ) =- 4,那么ｋ =.7.在方程ｘ2 + 1ｘ2 - 3ｘ=3ｘ - 4中 ,如果设 ｙ =ｘ2- 3ｘ ,那么原方程可化为关于ｙ的整式方程是.8.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额…     

由一道错题想到的

湖北省教研室编写的高中平面解析几何《课外作业》(2 0 0 0年 7月第 3版 )上有这样一道题 :“设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 2ｘ2 + 3ｙ2 =6的两个焦点 ,Ｐ是椭圆上一点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,则△Ｆ1ＰＦ2 的面积是.(给出的答案是 2 )图 1　题目图解法 1　由椭圆第一定义结合勾股定理易整体 ,求得 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 | =4 ,由直角三角形面积公式得此三角形面积等于2 .解法 2　由方程知Ｆ1(- 1,0 ) ,Ｆ2 (1,0 ) .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,∵∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,∴直线ＰＦ1和ＰＦ2 的斜率ｋ1,ｋ2 均存在 ,且ｋ1=ｙ0ｘ0 + 1,ｋ2 =ｙ0ｘ0 - 1.依题意 :ｙ0ｘ0 + 1· ｙ…     

构造线段,虚拟交点,探求问题

众所周知 ,二元一次方程是一次函数 ｙ=ｋｘ ｂ(或ｘ =ｘ0 )定义域ｘ∈Ｒ ,如限制ａ≤ｘ≤ｂ ,则图象为线段 .线段与直线 ,这对定义域限制与放开的矛盾 ,在高中数学解题中能达到和协的统一 .1　与定比分点联系 ,虚拟交点 ,求变量图 1　例 1图的范围例 1　直线ｌ过点Ｐ(-1,2 ) ,且与以Ａ(-2 ,-3) ,Ｂ(3 ,0 )为端点的线段ＡＢ相交 ,求直线ｌ的斜率范围 .解　设直线方程为 ｙ -2 =ｋ(ｘ 1) .虚拟与线段ＡＢ的交点Ｍ ,且Ｍ分ＡＢ比为λ ,λ≥ 0 ,则Ｍ (-2 3λ1 λ ,-31 λ) .代入直线方程化简有ｋ =2λ 5-4λ 1,∴ｋ≥ 5或ｋ <-12 .注…     

关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,其斜率存在 ,设为ｋ ,且ｋ ≠ 0 .其中Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有Ａｘ21 +Ｃｙ21 +Ｄｘ1 +Ｅｙ1 +Ｆ =0 ,Ａｘ22 +Ｃｙ22 +Ｄｘ2 +Ｅｙ2 +Ｆ =0 ,两式相减并同除以 (ｘ1 -ｘ2 ) ,考虑到ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 +ｙ2 =2 ｙ0 ,得　　Ａｘ0 +Ｃｋｙ0 +Ｄ2 +Ｅｋ2 =0 .仿此可得 :定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ &;gt;0 ,ｂ&;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,其斜率ｋ存在且不为零 ,则　　 ｙｘ &;#183;ｋ =-ｂ2ａ2 .定理 2　双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1(ａ&;gt;0 ,ｂ &;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ...     

不成功的推广——“习作”简评

不久前 ,笔者在阅稿时看到 ,有两篇学生习作写的是对同一道颇为流行的习题的推广 ,所得结果也相同 .可惜这一推广并不成功 ,因为其结果是不成立的 .简评如下 .原题　设ｘ1 是方程ｘ +ｌｇｘ =3的根 ,ｘ2 是方程ｘ + 1 0 ｘ=3的根 ,求证 :ｘ1 +ｘ2 =3 .“习作”提供的证法 :将两个方程变形为ｌｇｘ =3 -ｘ和 1 0 ｘ =3 -ｘ .因ｘ1 和ｘ2 分别是两个方程的根 ,故可设直线ｙ= 3 -ｘ交曲线ｙ =ｌｇｘ于点Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,交曲线ｙ =1 0 ｘ 于点Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .因ｙ=ｌｇｘ和ｙ =1 0 ｘ 互为反函数 ,它们的图象关于直线ｙ =ｘ对称 ,又因直线 ｙ =3…     

关于根的判别式应用的课堂讨论

研究曲线的交点问题 ,就是探求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题 ,若该方程组消元后能转化为一元二次方程 ,常考虑运用根的判别式来解决 .运用这种方法 ,同学们产生过困惑吗 ?请参加我们的课堂讨论 .问题　(1)求直线 2ｘ -5ｙ + 5 =0与双曲线 ｙ =-10ｘ的交点 ;(2 )若圆ｘ2 + ｙ2 =1与双曲线 ｘ29ｋ2 -ｙ24ｋ2=1没有公共点 ,求实数ｋ的取值范围 .问题 (1)是新教材第二册 (上 )第 72页练习题 4,联立直线与双曲线的方程组成的方程组 ,无论消ｘ或 ｙ均有Δ <0 ,故交点不存在 .问题 (2 )解答时则出现了分歧 .方案一联立圆与双曲线的方…     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

对方程x~2/a~2+y~2/b~2=1中“x,y互换”的误解

先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与两坐标轴的交点分别为Ａ(6 ,0 ) ,Ｂ(0 ,2 ) .若焦点在ｘ轴上 ,则椭圆半焦距ｃ =6 ,短半轴长ｂ =2 ,于是ａ2 =ｂ2 +ｃ2 =4 0 .故其方程为ｘ24 0 + ｙ24 =1. (1)若焦点在 ｙ轴上 ,则将 (1)中ｘ ,ｙ互换 ,得椭圆方程ｙ24 0 + ｘ24 =1(2 )错解分析　当焦点在ｘ轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 ｙ轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,ａ =2 10 ,ｂ =2 ,则ｃ =6 .这…     

半椭圆上椭圆周角两边所在直线斜率之积为定值——与半圆上圆周角类比探讨

众所周知 ,半圆上的圆周角是直角 ,角两边所在直线斜率ｋ1 ,ｋ2 若存在 ,则ｋ1 ｋ2 =- 1 .圆的这一本质属性的揭示使解决圆的有关问题有了可遵循的规律 ,带来许多方便 .我们自然会猜想二次曲线 (如椭圆 )也能有类似的性质 .1　从与半圆上圆周角类比说起1 1　设Ｐ(ｘ ,ｙ)为圆ｘ2 ｙ2 =ａ2 上任意一点 ,且不在Ｐ1 (ａ ,0 ) ,ｐ2 (-ａ ,0 )处 .ｋｐｐ1 =ｋ1 ,ｋｐｐ2 =ｋ2 则有 :ｋ1 ·ｋ2 =ｙｘ -ａ ·ｙｘ ａ =ｙ2ｘ2 -ａ2 =ａ2 -ｘ2ｘ2 -ａ2 =- 1 .反之 ,满足ｋ1 ·ｋ2=- 1的动点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹方程为 :ｙｘ -ａ· ｙｘ ａ =- 1　　 …     

数学竞赛中的解析几何问题（一）

解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1　基本知识设Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |Ｐ1 Ｐ2 | =(ｘ1 -ｘ2 ) 2 (ｙ1 - ｙ2 ) 2 =1 ｋ2 |ｘ1 -ｘ2 |(其中ｋ=ｙ2 -ｙ1 ｘ2 -ｘ1 为直线Ｐ1 Ｐ2 的斜率 ) ;2 )若点Ｐ(ｘ,ｙ)分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则ｘ=ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ=ｙ1 λｙ21 λ ;3)直线Ｐ1 Ｐ2 的方程可写成ｙ - ｙ1 =ｋ(ｘ1 -ｘ2 ) (当斜率ｋ存在时 ) ,且一定能表示为Ａｘ Ｂｙ Ｃ …     

直线与圆

选择题1　直线ｘｃｏｓα ｙ 1=0的倾斜角θ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [- π4 ,π4 ].　　　 (Ｂ) [π4 ,3π4 ].(Ｃ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π) .(Ｄ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π].2　下列命题中正确的是 (　　 )(Ａ)经过点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线都可以用方程 ｙ -ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )表示 .(Ｂ)经过定点Ｐ(0 ,ｂ)的直线都可以用方程 ｙ =ｋｘ ｂ表示 .(Ｃ)不经过原点的直线都可以用方程 ｘａ ｙｂ =1表示 .(Ｄ)过任意两个不同的点Ｐ1(ｘ1,ｙ1)和Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )的直线都可以用方程 (ｙ - ｙ1) (ｘ2 -ｘ1) =(ｘ -ｘ1) (ｙ2 - ｙ1)表示 .3　过点Ａ…     

也谈慎用图象解法

文 [1 ]告诫人们 :代数问题应慎用图象解法 .下面再举三个例子说明为什么要“慎用图象解法” .例 1　求函数ｙ =2ｓｉｎｘ-13ｃｏｓｘ +2 的最大值和最小值 (文 [2 ]例 2 ) .关于例 1 ,文 [2 ]的解答是解法 1　引进参数ｕ =3ｃｏｓｘ,ｖ =2·ｓｉｎｘ,则点 (ｕ ,Ｖ)在椭圆ｕ23 +ｖ22 =1上 ,易知 (-2 ,1 )到椭圆的切线斜率是ｙ的最大值与最小值 ,设切线方程ｖ =ｋ(ｕ+2 ) +1 ,将其代入椭圆方程并化简为(3ｋ2 +2 )ｕ2 +(1 2ｋ2 +6ｋ)ｕ +(1 2ｋ2 +1 2ｋ -3 ) =0 ,由Δ =0得 ,ｋ2 +4ｋ -1 =0 ,所以ｋ =-2 ± 5 ,所以ｙｍａｘ =-2 +5 ,ｙｍｉｎ …     

纠正一种用判别式求参数值的错误认识

“已知函数ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6的最小值为 1 ,求实数ｋ的值”这是高中数学教学中常见的问题 .李素兰在 [1 ]中用判别式作出了它的详细解答 :由ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6 可得(ｙ - 2 )ｘ2 (4ｙ ｋ)ｘ 6ｙ- 1 0 =0 .由题意△ =(4ｙ ｋ) 2 - 4(ｙ- 2 ) (6ｙ- 1 0 )≥ 0 .即 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2 ≤ 0 .因为　ｙ最小值 =1 ,所以　 1是方程 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2= 0的根 ,代入得ｋ2 8ｋ =0 .所以　ｋ=0或ｋ =- 8.[1 ]并认为 ,这是一种正确的解法 ,拙以为不妥 .纵观解题全过程 ,并不是每一推导过程都是可逆的 (例如…     

用平移变换巧解一类对称问题

关于直线 ｙ =±ｘ ｂ (ｂ≠ 0 )对称的问题 ,常规思路是直接用“垂线法”求解 ,虽思路自然 ,但运算烦琐 .若通过平移变换 ,转化为关于直线 ｙ′=±ｘ′对称的问题 ,则将减少运算量 ,轻松获解 .例 1　求点Ａ(5 ,3 )关于直线ｌ:ｙ =ｘ 1的对称点Ｂ的坐标 .解　作平移变换　ｙ′=ｙ ,ｘ′=ｘ 1 .在新坐标系下 ,点Ａ的坐标为 (6,3 ) ,它关于 ｙ′=ｘ′的对称点为 (3 ,6) .∴在原坐标系下 ,所求对称点Ｂ的坐标为 (2 ,6) .例 2　已知ｌ1和ｌ2 的夹角的平分线为2ｘ 2 ｙ 1 =0 ,如果ｌ1的方程为 3ｘ - 4 ｙ -1 2 =0 ,求ｌ2 的方程 .解　∵ 2ｘ…     

标准椭圆与双曲线的“点曲式”方程及其应用

文 [1]给出了中心在原点 ,焦点在坐标轴上 ,且经过两点Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) (其中有 |ｘ1|≠|ｘ2 |,|ｙ1|≠ |ｙ2 |)的椭圆或双曲线的两点式方程 :ｙ2 - ｙ21ｙ22 - ｙ21=ｘ2 -ｘ21ｘ22 -ｘ21.受它的启发 ,我们研究是否像直线方程有点斜式一样曲线方程也有“点斜式” ?回答是肯定的 .我们知道椭圆的离心率确定了椭圆的形状 .双曲线的离心率确定了双曲线开口的开阔程度 .因而 ,椭圆或双曲线的“斜率”会与ｅ有关 ,为此我们定义椭圆或双曲线的“斜率”为曲率 .用ｋ表示 .　　定理 1　中心在原点 ,焦点在ｘ轴上的椭圆或双曲线上有两点…     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

关于"圆锥曲线的一类定值问题"的再探讨

文 [1 ]证明了如下三个结论 :结论 1　已知抛物线ｘ2 =-2ｐ(ｙ-ｂ)上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与抛物线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｘ0Ｐ.结论 2　已知椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与椭圆交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｂ2 ｘ0ａ2 ｙ0.结论 3　已知双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与双曲线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值 -ｂ2 …