Regolarità hölderiana delle derivate dei minimi di funzionali con parte principale quadratica

Riassunto In questo lavoro si prova la regolarità h?lderiana delle derivate, fino all'ordinek, dei minimi locali dei funzionali sotto opportune ipotesi suA _ij ^αβ e sug.

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Summary In this paper we prove h?lder-continuity of the derivates, up to orderk, of local minima of functionals under suitable hypotheses forA _ij ^αβ andg.

     

Partial regularity of minimizers of quasiconvex integrals with subquadratic growth

We prove partial regularity for minimizers of quasiconvex integrals of the form dx where the integral F() has subquadratic growth, ie .Research supported by MURST, Gruppo Nazionale 40%.     

Superfici non parametriche a curvatura media assegnata con ostacoli

Riassunto In questo lavoro studio il problema dell’esistenza e regolarità di superfici non parametriche a curvatura mediaH(x) con ostacoli discontinui e sottili nelle ipotesi che e ∂Ω∈C ³ verifichino rispettivamente le condizioni (0.1), (0.2) e (0.3).

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Summary In this paper existence and regularity for surfaces of prescribed mean curvature with discontinuous and thin obstacles is proved when and verifies conditions (0.1) and (0.2), and ∂Ω∈C ³ and verifies condition (0.3).

     

Higher integrability for minimizers of variational integrals with nonstandard growth

We consider a (possibly) vector-valued function u: Ω→R ^N, Ω⊂R ⁿ, minimizing the integral , whereD _iu=∂u/∂x _i, or some more general functional retaining the same behaviour; we prove higher integrability forDu:D ₁u,…,D_n−1u∈L^q, under suitable assumptions ona _i(x).

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Sunto Consideriamo una funzione u: Ω→R ^N, Ω⊂R ⁿ che minimizzi l'integrale , doveD _iu=∂u/∂x_i, o un funzionale con un comportamento simile; sotto opportune ipotesi sua _i(x), dimostriamo la seguente maggiore integrabilità perDu:D ₁u,…,D_n−1uεL^q.

     

Remarks on the local regularity of the\overline \partial

Summary Let Ω⊂⊂C ⁿ be a pseudo-convex domain with smooth real-analytic boundarybΩ; the local regularity in of the is then strictly related not only with the subellipticity of such problem, but also with certain geometric conditions onbΩ: ifn=2 and α is a (0,1)-form, such relations are equivalences.

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Riassunto Se Ω⊂⊂C ⁿ è un dominio pseudo-convesso con frontierabΩ definita da una funzione analitica reale e ?liscia?, la regolarità locale delle soluzioni in del αè in stretta relazione non solo con la subellitticità di tale problema ma anche con certe condizioni geometriche sulla struttura dibΩ: sen=2 ed α è una (0,1)-forma, tali relazioni sono delle equivalenze.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

Some remarks on the identity between a variational integral and its relaxed functional

Summary Letf: (x, z)∈R ⁿ×Rⁿ→f(x, z)∈[0, +∞] be measurable inx and convex inz. It is proved, by an example, that even iff verifies a condition as|z| ^p≤f(x, z)≤Λ(a(x)+|z|^q) with 1<p<q,a∈L _loc ^s (R ⁿ),s>1, the functional that isL ¹(Ω)-lower semicontinuous onW ^1,1(Ω), does not agree onW ^1,1(Ω) with its relaxed functional in the topologyL ¹(Ω) given by inf

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Riassunto Siaf: (x, z)∈R ⁿ×Rⁿ→f(x, z)∈[0, +∞] misurabile inx e convessa inz. Si mostra con un esempio che anche sef verifica una condizione del tipo|z| ^p≤f(x, z)≤Λ(a(x)+|z|^q) con 1<p<q,a∈L _loc ^s (R ⁿ),s>1, il funzionale , che èL ¹(Ω)-semicontinuo inferiormente suW ^1,1(Ω), non coincide suW ^1,1(Ω) con il suo funzionale rilassato nella topologiaL ¹(Ω) definito da inf

     

A number theoretic estimate of Davenport from a functional analytic viewpoint

We consider the problem of the identification of continuous functionsf∶[0, 1]→R, by means of the sums . This is not possible, in general, but we prove that it may be the case under auxiliary conditions. We also study the behaviour of a well known exceptional function.

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Sunto Consideriamo il problema dell’identificazione delle funzioni continuef:[0,1]→ →R, mediante le somme . Ciò non è, in generale, possibile: dimostriamo però tale possibilità sotto condizioni ausiliarie. Studiamo inoltre il comportamento di una ben nota funzione eccezionale.

     

Sul comportamento quasi periodico del resto di una certa classe di funzioni fortemente moltiplicative

Riassunto Siaf(x) una funzione periodica di periodo 1 ed a variazione limitata. Nel presente lavoro si dimostrano risultati diB ² quasi periodicità per convoluzioni aritmetiche del tipo dove la successione soddisfa opportuna ipotesi. I risultati ottenuti si possono applicare ai resti di certe funzioni fortemente moltiplicative.

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Summary Letf(x) be a periodic function with period 1 and of bounded variation. In this paper we prove results ofB ² almost periodicity for arithmetical convolutions of the type , where the sequence satisfies certain conditions. The results obtained can be applied to the remainder term of strongly multiplicative functions.

     

On generalized Beurling algebras

We consider the space, where Ω is a family of weights. We give a sufficient condition, on Ω, for to be locally convex algebra with continuous multiplication. Examples of such weights are also provided.     

Esistenza,unicità e propagazione della regolarità della soluzione del problema di Cauchy per certi operatori strettamente iperbolici con coefficienti lipschitziani rispetto al tempo

Riassunto Si studia il problema di Cauchy per operatori differenziali lineari del secondoordine strettamente iperbolici con coefficienti lipschitziani rispetto al tempo. Si trovano risultati di buona positura del problema negli spazi gli ordinari spazi di Sobolev, e risultati di propagazione della regolaritàC ^∞ della soluzione.

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Summary We study the Cauchy problem for linear second order strictly hyperbolic differential operators whose coefficients are assumed to be Lipschitz-continuous with respect to time. We prove results ofH _∞ andH _−∞ well-posedness, the usual Sobolev spaces, and results on the propagation ofC ^∞-regularity of the solution.

     

Asymptotic behaviour of the phase in non-smooth obstacle scattering

In this paper, we study the asymptotic behaviour of the scattering phases(λ) of the Dirichlet Laplacian associated with obstacle , where Ω is a bounded open subset of ℝ ⁿ (n≥2) with non-smooth boundary ∂Ω and connected complement Ω _e =ℝ ⁿ . We can prove that if Ω satisfies a certain geometrical condition, then

Local gradient estimates for solutions of a simplest regularization of a class of nonuniformly elliptic equations

An estimate of , Ω′⊃⊃Ω, for solutions u^ε of the family of equations

Boundary value problems for nonuniformly elliptic equations with measurable coefficients

Summary Let A be a symmetric N × N real-matrix-valued function on a connected region in Rⁿ, with A positive definite a.e. and A, A⁻¹ locally integrable. Let b and c be locally integrable, non-negative, real-valued functions on Ω, with c positive a.e. Put a(u, v) = = ((A∇u, ∇v) + buv) dx. We consider in X the weak boundary value problem a(u, v) = = fvcdx, all v ε X; where X is a suitable Hilbert space contained in H _loc ^1,1 (Ω). Criteria are given in order that the Green's operator for this problem have an integral representation and bounded eigenfunctions; in addition, criteria for compactness are given. Entrata in Redazione il 21 giugno 1975. Research was partially supported by the National Science Foundation under Grant GP-28377A2.     

An alternative to Xie’s conjecture concerning the Stokes problem in nonsmooth domains

This paper concerns the possibility of proving an inequality of the form sup , for solutions of the Stokes equations, in an arbitrary three-dimensional domain Ω. Here, denotes the Stokes operator and the norms ‖·‖ areL ²-norms over Ω. The functionu is assumed to be solenoidal and to vanish, in a generalized sense, on the boundary and at spatial infinity. By an arbitrary domain, we mean an arbitrary open set, without any further conditions. Xie [14] showed that if such an inequality is valid at all, then the constant can be no smaller thanc=(3π)⁻¹, and he proved the inequality, with this constant, modulo one missing point that he left as a conjecture. Our objective in this paper is to show that the desired inequality would also follow from another conjecture, that seems to us more approachable. Our main result is a lemma which shows that this new conjecture, if proven, will complete Xie’s argument for the inequality, with the same constantc=(3π)⁻¹ that he showed to be optimal.

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Sunto Questo lavoro concerne la possiblità di dimostrare una disuguaglianza della forma sup per le soluzioni delle equazioni di Stokes in un arbitrario diminio tridimensionale Ω. Qui, denota l’operatore di Stokes e ‖·‖ è la norma inL ²(Ω). La funzioneu è solenoidale e si annulla, in senso generalizzato, sul bordo di Ω e a distanza infinita. Per dominio arbitrario intendiamo un qualsiasi aperto, senza ulteriori condizioni. Xie [14] ha mostrato che, se una disurguanglianza di questo tipo sussiste, la costantec non può essere più piccola di (3π)⁻¹. Egli, inoltre, ha dimostrato tale disuguaglianza in generale, tranne che in un caso, nel quale la ha lasciata come congettura. In questo lavoro, mostriamo come la disugaglianza desiderata possa seguire da una differente congettura, che appare più semplice da provare. Il risultato principale di questo lavoro è un lemma nel quale si dimostra che questa nuova congettura, se dimostrata, completa la dimostrazione di Xie con lo stesso valore della costantec=(3π)⁻¹ che egli ha dimostrato essere ottimale.

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This work has been supported by the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada.     

Structure of bounded solutions for a class of abstract differential equations

Summary The paper is concerned with bounded solutions of an equationu′(t)=Bu(t) in Hilbert spaces, . A representation formula is obtained depending on the zeros of Rez(θ).

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Riassunto è studiata la struttura delle soluzioni limitate di una equazione differenzialeu′(t)=Bu(t) in uno spazio di Hilbert, ove , in funzione dei zeri di Rez(θ).

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This research is supported through a grant of the National Research Council Canada.     

On minimizing partitions with infinitely many components

It is known [8] that, wheng ∈L ⁿ (Ω) (Ω open and bounded inR ⁿ , with ≪regular≫ boundary∂Ω), any minimizer (K, w) of the functional among relatively closed subsetsC ofΩ and piecewise-constant functionsu onΩ/C, gives rise to a finite decomposition ofΩ/K. Here we exhibit a piecewise-constant functiong on the unit diskD ofR ², with radial symmetry, such thatg ∈L ^q (D) for all 1 ⩽q < 2 and the unique minimizer of F has infinitely many components. We also fill a gap occurred in the proof of Proposition 5.2 of [8].

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Sunto è noto [8] che quandog ∈L ⁿ (Ω (Ω aperto limitato diR ⁿ , con frontiera sufficientemente regolare) i minimi (K, w) del funzionale , doveC è relativamente chiuso in Ω eu è costante a tratti suΩ/C, danno luogo a decomposizioni finite diΩ/K. In questo lavoro mostriamo un controesempio relativo ad un datog ∈L ^q (D) per ogni 1 ⩽q < 2 (D è il disco unitario diR ²), a simmetria radiale e costante a tratti. Viene inoltre corretto un errore occorso nella dimostrazione della Prop. 5.2 di [8].

     

Some inequalities based on inverse factorial series

Summary Fairly sharp bounds (lower and upper) of the quantities log Γ(x+1), log and are given by evaluating the corresponding series of inverse factorials. These results are useful in the asymptotic theory of order statistics and record value statistics and also in the elementary analytic number theory, with which the quantities frequently concerned. The Institute of Statistical Mathematics     

Entropies with the branching property

Summary It is proved that every entropy with the property of branching has the form , where J is a compositive information measure under a regular binary operation. In particular all the classical entropies with the branching property such as that of Shannon have the form .

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Sunto Si dimostra che ogni entropia che goda della proprietà di diramazione ha necessariamente la forma dove J è una misura di informazione compositiva con una operazione binaria regolare. In particolare tutte le entropie classiche che godono della proprietà di diramazione quale quella di Shannon hanno la forma .

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Entrata in Redazione il 9 aprile 1973.     

Branch points, Fourier integrals and Pompeiu problem

Leth be the square root of a polynomial and assume thath is univalent on the unitary disk of the complex plane. Then the set Ω=h(D) has the Pompeiu property.

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Sunto Si prova che sep è un polinomio e la mappa è univalente sul disco unitarioD del piano complesso, allora Ω=h(D) ha la proprietà di Pompeiu.

     

Onextensions of the Gale-Berlekamp switching problem and constants ofl q —spaces

For positive integersn, m and realp≥1, let Upper and lower bounds for this quantity are derived, extending results of Brown and Spencer forB ₁(n,n), corresponding to the Gale-Berlekamp switching problem. For a Minkowski spaceM of dimensionm, define a quantity investigated by Dvoretzky and Rogers.