Some remarks on the identity between a variational integral and its relaxed functional |
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Authors: | Riccardo De Arcangelis |
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Institution: | (1) Present address: Istituto di Fisica, Matematica ed Informatica, Facoltà di Ingegneria, Università di Salerno, 84084 Fisciano (Salerno) |
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Abstract: | Summary Letf: (x, z)∈R
n×Rn→f(x, z)∈0, +∞] be measurable inx and convex inz.
It is proved, by an example, that even iff verifies a condition as|z|
p≤f(x, z)≤Λ(a(x)+|z|q) with 1<p<q,a∈L
loc
s
(R
n),s>1, the functional
that isL
1(Ω)-lower semicontinuous onW
1,1(Ω), does not agree onW
1,1(Ω) with its relaxed functional in the topologyL
1(Ω) given by inf
Riassunto Siaf: (x, z)∈R
n×Rn→f(x, z)∈0, +∞] misurabile inx e convessa inz.
Si mostra con un esempio che anche sef verifica una condizione del tipo|z|
p≤f(x, z)≤Λ(a(x)+|z|q) con 1<p<q,a∈L
loc
s
(R
n),s>1, il funzionale
, che èL
1(Ω)-semicontinuo inferiormente suW
1,1(Ω), non coincide suW
1,1(Ω) con il suo funzionale rilassato nella topologiaL
1(Ω) definito da inf
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