Method of initial functions for thick transversely isotropic shells

Summary In the present work for circular cylindrical shells, three-dimensional elasticity equations are solved by assuming Taylor series expansions, in the radial direction, for the stresses and displacements. Depending upon the number of terms retained in the expansion, different order shell theories are derived. Classical theories (referred to as eighth-order), the shear deformation-transverse normal stress theories (referred to as tenth-order), and higher order theories (referred to as twelfth-order) are derived. In each case, by carrying out the symbolic algebra using the digital computer, partial differential equations are derived. The procedure was carried out in detail for the case of a circular cylindrical shell with no loading on the interior surface and a given pressure distribution on the exterior surface. Then, numerical comparisons are made between the current theories and various shell theories, as well as the exact (three-dimensional) theory. Thus, using this method with its associated computer programs, one can realize a spectrum of approximate shell theories ranging from the classical thin shell, through all current thick shell theories, and approaching the three-dimensional elastic theories.

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Die Methode der Anfangsfunktionen für dicke transversal-isotrope Schalen

Übersicht Mit Hilfe von radialen Taylor-Reihenentwicklungen für die Spannungen und Verschiebungen werden für kreiszylindrische Schalen die Gleichungen der dreidimensionalen Elastizität gelöst. Je nach Anzahl der mitgenommenen Terme der Entwicklung werden Schalentheorien verschiedener Ordnung hergeleitet, und zwar klassische Theorien 8. Ordnung, Theorien 10. Ordnung für schubweiche Schalen mit Berücksichtigung der transversalen Normalspannung sowie Theorien 12. Ordnung. Für jeden Fall werden mit Hilfe eines Rechnerprogramms für symbolische Algebra partielle Differentialgleichungen bestimmt. Vollständig wird das Verfahren für kreiszylindrische Schalen, die auf der Innenseite unbelastet und außen durch eine vorgegebene Druckverteilung belastet sind, durchgeführt. Danach werden numerische Vergleiche zwischen den verschiedenen Schalentheorien sowie mit der exakten dreidimensionalen Theorie vorgenommen. Somit kann man mit der benutzten Methode und den zugehörigen Rechenprogrammen einen Überblick über die Approximation der dreidimensionalen Elastizität durch die verschiedenen Schalentheorien gewinnen.

     

Bestmögliche innere Schalengleichungen für schubweiche Werkstoffe unter Berücksichtigung von Dickenänderungen

Übersicht Konsistente Schalentheorien lassen sich in einer besonders anschaulichen Weise durch lineare Approximation der Erhaltungssätze eines als Multi-Direktor-Körper beschriebenen, dreidimensionalen Kontinuums herleiten. Im vorliegenden Beitrag entstchen auf diesem Wege bestmögliche, in Geschwindigkeiten formulierte innere Schalengleichungen für beliebig große Deformationen und willkürliche, in eine Leistungsaussage einpaßbare Materialgesetze. Dabei finden Schub- und Querdeformationen Berücksichtigung. Der optimale Charakter der Schalentheorie mit gleichen Unschärfen in allen Einzelbeziehungen wird durch den Herleitungsgang sichergestellt und durch Einschrankungen mittels lokaler Tensornormen bewiesen.

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Best interior shell equations including transverse shear deformations and thickness changes

Summary Consistent shell theories can be derived in a particular correct manner by linear approximation of conservation laws of a three-dimensional continuum, described as a multi-director-body. In the present paper best interior shell equations-formulated in velocities—are developed, valid for arbitrarily large deformations and rather optional material laws, incorporating shear distorsions and thickness changes. The optimal character of the theory is guaranteed by the derivation process and proven by bounding techniques using tensor norms.

     

Eine Erweiterung der klassischen Schalentheorie; der Einfluß von Dickenverzerrungen und Querschnittsverwölbungen

Übersicht Ausgehend von den Grundgleichungen der linearen dreidimensionalen Elastizitätstheorie werden Verformungen und Verzerrungen in eine Potenzreihe bezüglich der Dickenkoordinate entwickelt. Während die Kinematik und das Elastizitätsgesetz lokal erfüllt werden, werden die Gleichgewichtsbedingungen durch Anwendung eines Integrationsmechanismus global erfüllt. Es wird gezeigt, daß eine konsequente quadratische Approximation zu konsistenten Schalengleichungen führt. Zusätzliche Annahmen oder Vernachlässigungen sind nicht erforderlich. Als Beispiel wird die Kreiszylinderschale behandelt.

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An extension of the classical shell theory; the influence of thickness strains and of warping of the cross-sections

Summary Starting from the basic equations of the linear three-dimensional elasticity theory, displacements and strains are expanded in power series in terms of the thickness coordinate. While the kinematic equations and Hooke's law are satisfied locally, the equilibrium equations are satisfied globally by application of an integration procedure. It can be shown, that a consequent quadratic approximation leads to consistent shell equations without requiring any additional assumption. The circular cylindrical shell is treated as a typical example.

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Auszug aus der vom Fachbereich für Mechanik der TH Darmstadt genehmigten Dissertation (Referenten: Prof. Dr. W. Schnell, Prof. Dr.-Ing. D. Groß)     

On the analysis of structures subjected to hydrostatic pressure including large deformations

Summary This paper deals with the analysis of complex static problems subjected to deformation-dependent hydrostatic pressure and includes a nonlinear constitutive law for rubber-like material. A finite element solution for the axisymmetrical model being based on an extremum principle is presented. Special attention is given to nonuniform pressure. It will be shown that a global potential, for large displacements even for a linearly varying normal pressure can be established. The efficiency of this technique is illustrated by a significant example.

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Zur Berechnung von hydrostatisch belasteten Systemen bei großen Verformungen

Übersicht In diesem Aufsatz werden komplexe statische Probleme behandelt, die durch ein nichtlineares Werkstoffgesetz für gummiartige Materialien und eine verformungsabhängige hydrostatische Belastung gekennzeichnet sind. Die zur Behandlung dieser Systeme als Extremalprobleme nötigen Finite-Element-Formulierungen für rotationssymmetrische Modelle werden bereitgestellt. Besondere Aufmerksamkeit wird der veränderlichen Druckbelastung gewidmet. Es wird gezeigt, daß auch für linear veränderliche, normalentreue Lasten ein für große Verschiebungen gültiges Potential existiert. Die Vorteile der exakten Formulierung werden an einem typischen Beispiel deutlich.

     

Kreiselverhalten eines elastisch gelagerten Rotors

Übersicht Schnelle'Rotoren besitzen eine große technische Bedeutung. Ihr Bewegungsverhalten wird durch die Kreiselkräfte und die Elastizität und Dämpfung der Lagerung beeinflußt. Ausgehend von den Bewegungs-gleichungen wird das Eigenverhalten und das Störverhalten eines Rotors untersucht. Das Durchfahren der kritischen Drehzahlen ergibt instationäre Bewegungen, während axiale Erregerkräfte auf parametererregte Schwingungen führen. Die optimalen Parameter eines Rotors werden bestimmt. Experimentelle Untersuchungen bestätigen die Gültigkeit der theoretischen Ergebnisse.

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Summary High-speed rotors are of increasing technical interest. Their motion is influenced by gyroscopic forces and by the elasticity and damping of their suspension. Starting with the equations of motion the rotor's natural behaviour and disturbance behaviour is investigated. Running through the critical speeds instationary motions appear. Axial forces are leading to parametric excited vibrations. Optimal parameters of a rotor are determined. Experiments verify the validity of the theoretical results.

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Die Arbeit entstand als Gemeinschaftsarbeit am Institut B für Mechanik der TU München. Die Hauptbearbeiter der einzelnen Teilaufgaben sind in Fußnoten genannt. Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft gefördert.     

Coupling of bending and torsional vibration of a cracked Timoshenko shaft

Summary A transverse surface crack is known to add to the shaft a local flexibility due to the stress-strain singularity in the vicinity of the crack tip. This flexibility can be represented by way of a 6 × 6 matrix describing the local flexibility in a short shaft element which includes the crack. This matrix has off-diagonal terms which cause coupling of motion along the directions which are indicated by the off-diagonal terms. Not all motions are coupled, however. To study the coupling of torsion and shear, a 3 × 3 flexibility matrix is used which includes the appropriate terms. Due to the shear terms of the Timoshenko beam equation of the shaft, bending vibration is finally coupled to torsional vibration. This effect is the subject of this investigation, which is of particular importance in turbomachinery operation. The equations of motion of a Timoshenko beam shaft with three degrees of freedom are derived. The free vibration of the shaft and the influence of the crack on the vibrational behaviour of the shaft is studied. The relation of the eigenvalues of the system, to the crack depth and the slenderness ratio of the shaft is derived. Moreover forced vibration analysis of the cracked shaft is performed. The significant influence of the bending vibration on the torsional vibration spectrum, and vice-versa, is demonstrated. It is believed that this effect can be very useful for rotor crack identification in service, which is of importance to turbomachinery.

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Kopplung zwischen Biege- und Torsionsschwingungen einer Welle Tom Timoshenko-Balkentyp mit Riß

Übersicht Bekanntlich verringert ein von der Oberfläche in den Querschnitt reichender Riß infolge der Spannungs- und Verzerrungssingularität an der Rißspitze örtlich die Steifigkeit einer Welle. Dies kann mit Hilfe einer 6 × 6-Nachgiebigkeitsmatrix für ein kurzes Wellenstück, das den Riß enthält, beschrieben werden. Die Matrix enthält Elemente außerhalb der Diagonalen, wodurch eine Kopplung der Bewegungen in die Richtungen erfolgt, welche das Element anzeigt. Nicht alle Bewegungen sind dabei verknüpft. Zur Untersuchung der Kopplung von Torsion und Querschub wird eine 3 × 3-Nachgiebigkeitsmatrix benutzt, die die betreffenden Elemente enthält. Infolge der Querkraft-Terme in der Timoshenko-Balkengleichung werden letztendlich Biegef- und Torsionsschwingungen gekoppelt. Dieser Effekt ist Gegenstand der Untersuchung. Die Bewegungsgleichungen eines Timoshenko-Balkens mit 3 Freiheitsgraden werden hergeleitet. Die freien Schwingungen der Welle und der Einfluß des Risses auf das Schwingungsverhalten werden untersucht. Die Beziehungen zwischen Eigenformen, Rißtiefe und Schlankheitsgrad der Welle werden hergeleitet. Darüber hinaus werden erzwungene Schwingungen der angerissenen Welle untersucht. Der deutliche Einfluß der Biegeschwingung auf das Spektrum der Torsionsschwingung und umgekehrt wird aufgezeigt. Dieser Effekt ist bei Turbomaschinen bedeutsam, da er für die Identifizierung von Rotorrissen beim Betrieb nützlich sein müßte.

     

Buckling of thin spherical shells

Summary This paper deals with the buckling of a shallow spherical cap subjected to uniform edge moment and a clamped deep spherical shell under uniform pressure. The first problem is formulated in integral equations which are solved by an iterative procedure. The buckling moments are determined for a wide range of the shell geometrical parameter. The second problem is based on the concept that the highly deformed region around the apex is treated as a shallow spherical cap elastically supported by the rest of the shell. The stability of a thin sphere is treated as a special case. The results obtained in both problems are compared with existing solutions.

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Übersicht Es wird das Beulen sowohl für eine flache Kugelkalotte mit gleichförmigem Randmoment, als auch für eine tiefe Kugelschale unter gleichförmigem Druck untersucht. Die erstgenannte Aufgabe wird auf Integral-gleichungen zurückgeführt, die durch Iteration gelöst werden. Die Beulmomente werden für einen weiten Bereich der geometrischen Parameter der Schale bestimmt. Für die Lösung der zweiten Aufgabe wird angenommen, daß der stark verformte Teil der Schale in der Umgebung des zentralen Punktes als eine flache Kugelschale aufgefaßt werden kann, die elastisch von dem Rest der Schale getragen wird. Die Stabilität einer dünnen Kugel wird als Spezialfall betrachtet. In beiden Fällen werden die Ergebnisse mit vorhandenen Lösungen verglichen.

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The first problem in the analysis was sponsored by the National Research Council of Canada. The author is very grateful to Professor K. N. Tong for his illuminating suggestions regarding the second problem.     

Effects of large suction in natural convection boundary layer on a horizontal plate

The natural convection boundary layer on a horizontal plate with suction is investigated. The similar solutions of the boundary layer equations require suction to vary as a power law. The similarity equations have been integrated for various values of suction parameter and Prandtl number =0.72 and 6.8. For non-similar flow situation, a large suction approximation has been developed using the asymptotic approach. It is shown that large suction approximation is surprisingly good even for moderate values of suction parameter.

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Einflüsse großer Wirkung auf die Grenzschicht bei freier Konvektion an einer horizontalen Platte

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht bei freier Konvektion auf einer horizontalen Platte unter Saugwirkung untersucht. Die Ähnlichkeitslösungen der Grenzschichtgleichungen machen es erforderlich, die Saugwirkung in Form eines Exponentialansatzes zu variieren. Die Ähnlichkeitsgleichungen wurden für verschiedene Werte des Saugparameters und für Prandtl-Zahlen zwischen 0,72 und 6,8 integriert. Für nicht-ähnliche Strömungszustände wurde eine Lösung für die Saugwirkung auf der Basis der asymptotischen Näherung entwickelt. Es wird gezeigt, daß die Näherungslösung für große Saugwirkung auch erstaunlich gute Ergebnisse für geringe Werte von Saug-Parametern liefert.

     

Inelastic deformation of thin cylindrical shells under axisymmetric loading

Summary The response of a thin cylindrical shell of elastic-viscoplastic material to internal pressure is considered. Small displacements and the validity of the kinematical Love-Kirchhoff-hypothesis are presupposed. Further it is assumed that the inelastic behavior of the shell material is governed by a unified constitutive model with internal state variables, where the total strain tensor can be decomposed additively into an elastic and an inelastic part. Under these assumptions the governing differential equation for the radial displacement is derived. A general solution is obtained by the method of variation of parameters and adjusted to different boundary conditions.Solution of inelastic problems requires tracing of the entire loading path which leads to an initial value problem. This initial value problem is formulated for Hart's constitutive model and solved numerically by an implicit time integration procedure. Finally numerical results are presented.

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Inelastische Deformation dünner Kreiszylinderschalen bei axialsymmetrischer Belastung

Übersicht Es wird die Reaktion einer dünnen Kreiszylinderschale aus elastisch-viskoplastischem Werkstoff auf eine Belastung durch Innendruck untersucht. Es werden kleine Verschiebungen und die Gültigkeit der kinematischen Hypothese von Love-Kirchhoff vorausgesetzt. Ferner wird angenommen, daß das inelastische Verhalten des Werkstoffs durch ein einheitliches konstitutives Gesetz mit inneren Zustandsvariablen beschrieben wird, wobei der Tensor der Gesamtverzerrungen additiv in einen elastischen und einen inelastischen Anteil aufgespalten werden kann. Unter diesen Voraussetzungen wird die Differentialgleichung für die Radialverschiebung abgeleitet. Für sie wird eine allgemeine Lösung mittels Variation der Konstanten ermittelt und an verschiedene Randbedingungen angepaßt.Bei der Lösung inelastischer Probleme muß der gesamte Belastungspfad verfolgt werden. Dies führt auf ein Anfangswertproblem. Dieses Anfangswertproblem wird für das Werkstoffgesetz von Hart formuliert und numerisch mittels eines impliziten Zeitintegrationsverfahrens gelöst. Abschließend werden numerische Ergebnisse vorgestellt.

     

Effect of shear on stability and nonlinear behavior of a rotating rod

Summary The nonlinear equations describing in-plane deformation of a rotating elastic rod, taking into account shear effect, are derived. It is shown that the critical rotation speed is determined from the linearized equation. The nonlinear equilibrium equations are solved numerically and the effect of shear on maximal deflection is studied.

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Der Einfluß der Schubspannungen auf die Stabilität und das nichtlineare Verhalten einer rotierenden Welle

Übersicht Die nichtlinearen Differentialgleichungen für die ebene Verformung einer rotierenden elastischen Welle mit Schubspannungseinfluß auf die Biegelinie wird hergeleitet. Wir zeigen, daß die kritische Rotationsgeschwindigkeit aus den linearen Gleichgewichtsbedingungen folgt. Die nichtlinearen Gleichungen werden numerisch gelöst und der Schubspannungseinfluß auf die Durchbiegung wird untersucht.

     

Effects of twist on the generated stress field in an artery

Summary Of concern in the paper is an analytical study on the dynamic stress field in the arterial wall under the combined action of the internal pressure exerted by blood and the external pressure from the surrounding components of the body. The artery is modelled as a thick-walled cylindrical shell. The nonlinear constitutive relations under the purview of a third order theory are of use in the realm of the characterization of anisotropic viscoclastic incompressible material behaviour of the artery undergoing finite deformation in order to obtain the generated stress field. The twist angle of the artery under consideration has been accounted for. By incorporating the short-time-range approximations, a quantitative analysis has also been made at the end of the paper in order to examine the stresses and strains developed at various locations of the arterial wall and for different time intervals as also the effects of twist on them which illustrate the applicability of the model under study.

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Einfluß der Verdrillung auf das Spannungsfeld in einer Arterie

Übersicht Beschreiben wir eine analytische Untersuchung des dynamischen Spannungsfeldes in der Arterienwandung bei gleichzeitiger Wirkung des Blutdrucks von innen und eines Drucks der umgebenden Körperteile von außen, wobei die Arterie als dickwandige, zylindrische Schale modelliert wird und ihre Verdrillung berücksichtigt wird. Für die Herleitung des erzeugten Spannungsfeldes werden nichtlineare Materialbeziehungen einer Theorie dritter Ordnung für das anisotrop viskoelastische und inkompressible Verhalten der Arterie benutzt. Nach Einführung von Approximationen für das Kurzzeitverhalten werden quantitative Berechnungen der Spannungen und Verformungen an verschiedenen Stellen der Arterienwandung zu verschiedenen Zeitpunkten angegeben, wobei auch ihre Beeinflussung durch die Verdrillung erörtert wird.

     

Flattern von Drehflügeln im Standlauf

Zusammenfassung Es wird eine Methode angegeben für eine ausreichend genaue und rasche Abschätzung der Standlaufflattergrenze von Drehflügeln, die gelenkig an die Rotorwelle angeschlossen sind. Am Beispiel eines Drehflügels mit trapezförmigem Umriß wird das Ergebnis der Abschätzung verglichen mit der durch mehrfache Iteration gewonnenen genauen Lösung, wobei sich eine gute Übereinstimmung ergibt. Die Methode wird auch für den Fall der Seitenanströmung des Rotors angewendet, sie liefert dann jedoch wegen der nicht zutreffenden Voraussetzung stationärer Anströmung nur eine untere Grenze für die kritische Drehzahl, die der Bemessung zugrunde gelegt werden muß, soweit nicht durch Flugversuche eine höhere kritische Drehzahl erwiesen wird.     

Schnelligkeitsoptimales Ausrichten von Trägheitsplattformen

Übersicht Das selbsttätige Ausrichten von Trägheitsplattformen dauert mit den herkömmlichen Verfahren ungefähr 10 Minuten. Da andererseits die Plattformträger wie Schiffe, Flugzeuge oder Raketen oft schon innerhalb weniger Minuten startklar sein müssen, besteht an einer Verringerung der Einstellzeit großes Interesse. Es werden daher die Möglichkeiten einer zeitoptimalen Regelung des Ausrichtvorgangs untersucht. An Hand der grundsätzlichen Funktionsweise einer Trägheitsplattform und ihres Ausrichtregelkreises wird ein mathematisches Modell für den Ausrichtvorgang hergeleitet. Die in diesem System auftretenden Steuermomente werden nach dem Maximumprinzip von Pontrjagin mit Hilfe des Neustadtschen Iterationsverfahrens zeitoptimal bestimmt. Infolge des hierbei erforderlichen, großen Rechenaufwands wird jedoch zu einer suboptimalen Zweipunktsteuerung der Plattformfehlwinkel übergegangen. Die dadurch bedingte, geringfügige Verlängerung der Einstellzeit wird gegenüber der Optimalzeit abgeschätzt. Den gesuchten, zeitsuboptimalen Ausrichtregelkreis erhält man schließlich, indem man das Syntheseproblem mit Hilfe eines Minimalbeobachters löst. Das vorgeschlagene Regelsystem bewirkt eine beträchtliche Verkürzung der Einstellzeit bis zu einem zwanzigstel der bisher üblichen Zeiten, ohne daß dabei eine Verschlechterung der statischen Ausrichtgenauigkeit auftritt.

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Summary Time-optimal self-alignment methods for inertial platforms are investigated. A mathematical model of the alignment mechanism is derived by the basic operation modes of stable platforms and of their alignment. The control torques of this system are time-optimally determined by Neustadt's iteration technique based on the maximum principle of Pontrjagin. Because of the considerable amount of computational work a suboptimal bang-bang control of the misalignment angles is proposed. The increase of alignment time is estimated and compared to the optimal time. It turns out to be small. The desired closed loop control for alignment is constructed by means of a minimal observer. The proposed control loop yields an essentially reduced alignment time which is about the twentieth part of the times for present platforms without loss of steady-state alignment accuracy.

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Auszug aus der von der Fakultät für Maschinenwesen und Elektrotechnik der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation [15]; Berichterstatter: Prof. Dr. rer. nat. K. Magnus und Prof. Dr. rer. nat. J. Heinhold.     

On a class of constitutive models for highly deforming compressible materials

Summary The physical admissibility of a constitutive model for highly deforming hyperelastic compressible materials, introduced in [1], is examined in the light of the classical Backer-Ericksen, ordered forces and strengthened tension-extension inequalities. A generalization of this material model is also given, and the conditions for its physical adminissibility are discussed.

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Über eine Klasse von konstitutiven Modellen für hoch formveränderliche, kompressible Materialien

Übersicht Die physikalische Zulässigkeit eines konstitutiven Modells für hoch formveränderliche, hyperelastische, kompressible Materialien, die in [1] dargestellt sind, wird anhand der Backer-Ericksen-Ungleichungen, der Ungleichungen der Folge der Spannungsgrößenordnungen und anhand der Ungleichungen des positiven Tangentenmoduls geprüft. Es wird auch eine Verallgemeinerung dieses Materialmodells dargestellt. Die Bedingungen für seine physikalische Zulässigkeit werden erörtert.

     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

Zonenmethode zur Berechnung ebener Körperumströmungen mit Totwasser und Bodeneinfluß

Übersicht Es wird ein Drei-Zonen-Verfahren zur Berechnung ebener Körperumströmungen mit Totwasser und Bodeneinfluß vorgestellt. Hierzu wird das Strömungsfeld in drei Zonen, die reibungsfreie Außenströmung, die am Körper anliegende Grenzschichtströmung und das Totwassergebiet aufgeteilt. Die reibungsfreie Außenströmung wird mit einem Panelverfahren, die laminare und turbulente Grenzschichtströmung mit Hilfe eines mehrparametrigen Integralverfahrens berechnet. Das Totwassergebiet wird als fiktiver geschlossener Körper aufgefaßt, dessen Kontur mit Hilfe eines inversen Panelverfahrens iterativ bestimmt wird. Die einzelnen Zonen werden iterativ angepaßt. Beispielrechnungen für Tragflügel- und PKW-Umströmungen zeigen gute Übereinstimmungen mit Meßergebnissen.

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Die Untersuchungen wurden von der Deutschen Forschungsgemeinschaft, dem Ministerium für Wissenschaft und Forschung des Landes NRW und der Daimler-Benz AG gefördert     

A simplified perturbation solution to the large deflection Karman equations of orthotropic composite plates in axial compression and lateral pressure

Summary The buckling and postbuckling behavior of simply supported orthotropic composite rectangular plates in uniaxial compression and lateral pressure is studied by a deflection-type perturbation technique applied to the generalized Karman equations. Comparisons of the predictions by the approach with experiments and other analytical results are made and show that agreement between the present theory and experiments is reasonably better.

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Eine Lösung der v.-Karman-Gleichungen für große Durchbiegungen von orthotropen Verbundplatten unter Axialdruck und Flächenlast durch Störungsrechnung

Übersicht Das Beul-und Nachbeulverhalten orthotroper Verbund-Rechteckplatten unter Querbelastung und Axialdruck wird mit der Methode der Störungsrechnung die auf die generalisierten von Karmanschen Gleichungen angewandt wird, untersucht. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit werden mit Versuchsergebnissen und anderen analytischen Lösungen verglichen, wodurch gezeigt wird, daß unter Verwendung der genannten Methode eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen erzielt wird.

     

Die Spaltströmung an geraden Schaufelgittern

Zusammenfassung In einem Wasserkanal wurde die Spaltströmung an geraden Schaufelgittern mit Druckanstieg untersucht. Es wird eine Methode zur Erzeugung von Schwebeteilchen in Wasser und ein stereographisches Meßverfahren beschrieben.Die Strömungsbilder zeigen, daß sich bei dünnen Schaufelprofilen und kleiner Spaltbreite die durch den Spalt fließende Flüssigkeit zu einem tütenförmigen Wirbel aufrollt. Wenn der Druckanstieg des Gitters größer ist als der Staudruck der Durchsatzgeschwindigkeit, so können die Spaltwirbel diesen Druckanstieg nicht überwinden und enden innerhalb des Gitters in einem Totwassergebiet.Die Untersuchung eines Schaufelgitters mit großer Spaltbreite ergab, daß der Spalt bei starkem Druckanstieg nicht durchströmt wird, daß vielmehr eine Kontraktion des Strömungsquerschnittes stattfindet ähnlich wie bei einer Luftschraube.Herrn Professor Dr. A. Betz, unter dessen Leitung die vorliegende Arbeit im Max-Planck-Institut für Strömungsforschung und in der Aerodynamischen Versuchsanstalt in Göttingen als Diplomarbeit durchgeführt wurde, danke ich für wertvolle Anregungen. Ferner möchte ich auch Herrn Dr. F. W. Riegels meinen Dank aussprechen.Aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen.     

Stability diagrams for coupled Mathieu-equations

Summary A method is described for determining stability diagrams for coupled Mathieu-equations. The boundary curves are found by searching for those almost-periodic solutions of the differential equations for which the real part of the characteristic exponent changes from zero to a non-zero value. The method derives analytic expressions for the involved determinants and is able to find the transition curves even for parameters that cannot be considered small.

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Stabilitätsdiagramme für gekoppelte Mathieu-Gleichungen

Übersicht Es wird eine Methode zur Ermittlung der Stabilitätsdiagramme für gekoppelte Mathieu-Gleichungen beschrieben. Die Grenzkurven der Stabilitätsbereiche werden erhalten, indem man nach jenen fastperiodischen Lösungen der Differentialgleichungen sucht, für die der Realteil des charakteristischen Exponenten von Null zu einem nichtverschwindenden Wert wechselt. Analytische Ausdrücke für die auftretenden Determinanten werden hergeleitet. Die Methode kann auch bei Parametern angewendet werden, die nicht klein sind.

     

Allgemeine Schalentheorie beliebiger Werkstoffe und Verformungen

Übersicht Ausgehend von den beiden Hauptsätzen der Thermodynamik werden die Grundgleichungen eines dicken Schalenkontinuums abgeleitet, wobei beliebige Materialien, Bewegungen, Wärmeflüsse und -quellen Berücksichtigung finden. Der Schalenwerkstoff verfügt außerdem über geschwindigkeitsdämpfende Eigenschaften. Die Anwendung eines Invarianzprinzips führt auf Bewegungsgleichungen, Symmetriebedingungen und Stoffgesetze in bekannter Form, aus denen schließlich durch eine lineare Approximation die entsprechenden Beziehungen für dünne Schalen gewonnen werden.

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Summary Using thermodynamic considerations the present paper derives basic equations of thick shells for arbitrary material and large deflections. Heat supply and heat flux is taken into consideration and the shell material owns velocity-damping properties. After several specific transformations a spatial invariance requirement leads to the equations of motion, the wellknown symmetry conditions and general constitutive equations. Finally all equations derived are specified to thin shells by a linear approximation.

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Diese Veröffentlichung ist Teil einer Forschungsarbeit an der University of California in Berkeley, die von der Deutschen Forschungsgemeinschaft finanziert und von Prof. P. M. Naghdi durch vielfältige Unterstützung ermöglicht wurde.