由角平分线想到的

我们知道 ,等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 (三线合一 ) .反之 ,当题设中出现角平分线时 ,如能联想到等腰三角形 ,往往可以很快沟通思路 ,提高解题效率 .这里略举几例 .例 1在△ABC中 ,∠B的平分线交AC于D ,DE∥BC交AB于E ,EF∥AC交BC于F ,求证 :BE =FC .证明　∵　DE∥BC ,　∴　∠ 2 =∠ 3 .又∵　∠ 1=∠ 2 ,　∴　∠ 1=∠ 3 .∴　BE =DE (即△BDE为等腰三角形 ) .∵　DE∥BC ,　EF∥DC ,∴　四边形CDEF为平行四边形 .∴　FC =DE ,　∴　BE =FC .本例虽然比较简单 ,但有心的同学可以从中注意到一个有用的基…     

中点四边形

中点四边形即顺次连接四边形各边中点而得到的四边形. 如图,E、F、G、H分别是四边形,ABCD各边中点,则有EF∥1/2AC∥HG,HE∥1/2BD     

求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

由一道竞赛题想到的

2009年全国初中数学竞赛题:如图1,设D是△ABC的边AB上的一点,作DE∥BC交AC于点E,作DF∥BC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别是m和n,则四边形DECF的面积为__.     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

“智多星”与“一题多解”

我们班从初一年级开始成立了“智多星”数学兴趣小组 ,其主要任务是攻克学习中的疑难问题 ,探讨解题方法 .对于班级黑板报中的每期一题“征解” ,我们“智多星”数学兴趣小组成员积极撰稿 .请看一例 :题目　已知如图 1,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,以AD和AC为边作平行四边形ACED ,DC的延长线交BE于点F ,求证 :EF =FB .图 1　　　　图 2证法 1　如图1,连结AE交DC于点O .∵四边形ACED是平行四边形 ,∴AO=EO .∵OF∥AB ,∴EF =FB .证法 2　如图 2 ,过点F作FM∥AD交AB于点M .∵DF∥AM ,∴四边形AMFD是平行四边形 .∴FM∥AD …     

一道几何题的别证与变式

图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°,     

数学问题解答

2006年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)1621已知:在△ABC中,点E1、E2在AC边上,且AE1=CE2,从顶点A分别引∠E1BC及∠E2BC平分线的垂线,垂足分别为M1、M2,垂线AM1交BE1于P1,交BC于Q1,垂线AM2交BE2于P2,交BC于Q2.求证:PQ11EC1 PQ22EC2=1.证明过点E1作E1F1∥AQ1,交BC于F1,过点E     

一道几何题的拓展

<正>原问题[1]设圆内接四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:MN/EF=1/2︱AC/BD-BD/AC︱.拓展问题设四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:直线MN平分EF.证明如图所示.设T为EF的中点,过点M作BE的平行线分别交BC、EC于点R、Q,则R、Q分别为BC、EC的中点,又设P为BE的中点,则点P、R、N     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

是对还是错

几何第二册第146页B组第二题:一组对角相等一组对边相等的四边形是平行四边形吗?李俊杰同学认为是对的,他的证明如下: 已知如图1,四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=CD, 求证四边形ABCD是平行四边形. 证明分别过A、C作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F→∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠D,AB=CD,则Rt△ABE≌Rt△CDF→①BE=DF,②AE=CF.连结 AC.在Rt△ACE与 Rt△CAF中,∠AEC=∠CFD=90°,AC=CA,已证AE=     

一道中国国家队集训队试题的简证

<正>题目[1]在△ABC中,已知D为∠A的平分线上任一点,E、F分别为AB、AC延长线上的点,且CE∥BD,BF∥CD,若M、N分别为CE、BF的中点,证明:AD⊥MN.证明如图所示,连接DE、DF.则由CE∥BD得S_(△BCD)=S_(△BED).由BF∥CD得S_(△BCD)=S_(△CFD).于是S_(△BED)=S_(△CFD).易知△BED与△CFD等高,所以BE=     

一个奥数问题的拓展及面积证明

<正>题目[1]如图1,已知两平行线l1、l2,A、B、C是l1上的三点,D、E、F是l2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.文献[1]里反复利用"l1∥l2"得比例式,使证明顺利完成.     

Ceva定理与Menelaus定理的逆定理的推广

Ceva定理:O为△ABC内一点,直线AO、BO、CO分别与BC、CA、AB交于D、E、F,则AFFB·BDDC·CEEA=1.注:AF FB是指有向线段AF的数量与有向线段FB的数量之比,下同.其逆定理是:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上一点,若AFFB·BDDC·CEEA=1,则直线AD、BE、CF三线共点.显然,若AFFB·BDDC·CEEA≠1,则直线AD、BE、CF三线     

涉及正方形的几个性质

1．问题的提出文[1]给出如下命题：如图1，已知四边形EFGH是正方形，E、F、G、H分别在四边形ABCD的四条边上，且AH=BE=CF=DG，则四边形ABCD是正方形．受这个问题的启发，笔者发现并证明了一组有趣的结论．     

探究一道中考题的心路

一、问题呈现 如图1所示,在矩形ABCD中,AB＞AD,E在AD上,将三角形ABE沿BE折叠后,A点正好落在CD上的点F处. (1)用尺规作出E、F; (2)若AE=5,DE=3,求折痕BE的长; (3)试判断四边形ABFE是否一定有内切圆. 二、探究过程 1.动中求静——寻找不变的量 由于思维定势的影响,学生往往会画好带有折痕的图形,然后按图形思考在折叠中E、F两点是怎样确定的.通过多次折叠实验可知,要确定的两点中,F最容易确定,它是由折叠带过去的不变量BA来确定的.于是,以B点为圆心,AB长为半径画弧交CD于F,点F得以确定.连接BF作∠ABF的角平分线交AD于E,则E、F为所求的点.第(1)问在动中求静的指导思想下顺利解决.     

用方程思想求面积三例

<正>在平面几何中,面积比与线段比可以互相转化.因此,利用方程思想可以有效地解决一些与面积相关的问题.例1(青少年国际城市邀请赛试题)如图1,设E、F分别是△ABC的边AC、AB上的点,线段BE、CF交于点D,已知△BDF、△BCD、△CDE的面积分别为3、7、7.求四边形AEDF的面积.解如图1所示,连AD.     

一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

三角形分块面积乘积的一个性质

定理设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,且BD:DC=CE:BA=AF:FB=λ,AD、BB、CF交成△RQS,P为△RQS内或其边上一点,以S_cS_a、S_b分别表示△PAB、△PBC、△PCA的面积,则当P点位于△RQS顶点时,S_aS_bS_c达到最小值。引理1 设△ABC所在平面为π,作平面π＇与π交于直线BC,在π＇内作正△A＇B＇C＇,使B＇C＇与BC重合。在AA＇,使A与A＇对应,B与B＇对应,C与C＇对应,过△ABC内或边上任一点X作AA＇的平行线交π＇于X＇,则让X与X＇对应,于是建立了π→π＇的一一对应,则有 1)D、E、F对应点D＇、E＇、F＇分别位于B＇C＇、C＇A＇、A＇B＇上,且有B＇D＇: D＇C＇=C＇     

一道竞赛题的简证及有关新结论

1原题及其简证原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,°P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.(2005年全国初中数学联赛D卷)图1证法1如图1,设DM、BN分别交AC于点E、F,联结PM、PN.易知DM∥BN,则EMBF=AEAF,DEFN=CECF.于是EMBF·DE