例谈圆内角与圆外角的计算

我们知道,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角.因为一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的     

利用圆外(内)角和圆周角的大小关系解题

<正>圆是平面几何中的基本图形,看似朴实无华,实则魅力无穷.我们把顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫圆周角;圆外角指顶点在圆外,且两边都和圆相交的角;圆内角指顶点在圆内的角.这三种角之间有大小关系:一条弧所对的圆内角>它所对的圆周角>它所对的圆外角.如图1,圆周角∠C>圆外角∠D,这是因为∠C=∠AEB>∠D;图2中同理有圆周角∠C<圆内角∠ADB.     

一个有用的推论

通常,我们把顶点在圆上、两边都和圆相交的角称之圆周角,同样,我们不妨把顶点在圆外(内),角的两边都和圆相交的角称之为圆外角(圆内角).类似于圆周角定理,圆外(内)角有以下有趣的结论:圆外(内)角的度数等于这个角(及角两边的反向延长线)与圆相交所夹的两弧度数之差(和)的一半(下称推论). 一、推论的证明如图1,已知∠BAC与⊙O相交于D、E     

张景中院士讲数学

三角形与圆几何图形中只有直线,多少显得单调.一旦出现了圆,就更加生动活泼,丰富多彩了.圆的性质很多,其中最重要的一条,是圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,它们都等于同弧所对的圆心角的一半.     

圆内(外)角定理及其应用

现将圆内角定理和圆外角定理及其部分应用介绍如下．一、圆内角定理“顶点在圆内的角的度数,等于它所对的弧和它的对顶角所对的弧的度数的和的一半．”(初中几何第二册19页第1题)     

与圆有关的角

<正>同学们学习了与圆有关的角——圆心角和圆周角.与圆有关的角还有一些,在这里我们共同研究一下.一、角和圆的位置关系请你思考一下角和圆有哪些位置关系?由于角的顶点可能在圆内、圆上和圆外,角的边和圆可能相交或相切(角的边与圆相离时,角与圆无关),故角和圆有以下位置关系.     

圆周角

一、启发提问１．什么是圆周角？它与圆心角的定义有何关系？２．圆周角定理中的圆周角和圆心角有什么特殊限制？３．圆周角定理的证明过程告诉了我们什么数学思想方法？二、读书指导１．填空（１）圆周角定义的两个特征是，．（２）所对的圆周角等于它所对的圆心角的．２．选择下列图形中７－２１，∠ＢＡＣ是圆周角的是（　）三、议练活动１．已知：如图７－２２，⊙Ｏ中，∠ＡＢＣ＝５０°，则∠ＡＯＣ＝度．图７－２２　　　　　　图７－２３　　２．如图７－２３，ＡＢ、ＡＣ分别与⊙Ｏ交于Ｂ、Ｅ和Ｃ、Ｄ，ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∠ＢＯＣ…     

例谈弧在圆中的桥梁作用

<正>圆中的问题大多还是有关线段(弦)和角(圆周角、圆心角)的计算与证明.我们可通过弧的转化将弦与弦、角与角、弦与角之间联结,弧在此起到了桥梁的作用,因此在解决圆的问题中要抓住弧的这一重要功能.1弧在求角的度数问题中的桥梁作用例1如图,AB是⊙O的直径,     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

圆的有关性质

中考要求 1.理解圆及其有关概念,了解弧、弦及圆心角之间的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 2.探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. 考点1 轴对称(垂径定理及推论) 考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点3圆周角的定理及推论 考点4圆内接四边形的性质     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

圆周角概念引入的比较与研究

2013年10月24日,江苏省初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动在我校举行,教学内容分别为八年级6。1函数和九年级5。3圆周角。笔者有幸现场聆听了五位优秀教师开设的《圆周角》一课,会后又细细品味所有老师的上课视频,受益匪浅。大部分老师觉得,圆周角性质（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）的证明是本节课的难点,用大量时间,多个角度进行论证,突破这一难点,反而对圆周角概念重视不够。笔者觉得“圆周角概念”的引入是本节课的第一个难点,它的突破对性质的学习有重要的作用。笔者结合本次赛课的具体情况,对圆周角概念的引入进行比较研究,并从“角与圆的位置关系”出发,对圆周角概念的引入进行设计。     

四边形又一角性质及应用

四边形四个内角的和为360°,这是四边形的一个基本性质,这个性质揭示了四边形四个内角之间的关系.(如图1)在凸四边形和凹四边形中,因为周角等于360°,若∠A的外周角(有一个公共顶点和两条公共边并且不重合的两个角,则称其中一个角是另一个角的外周角)为a,则有∠a=∠B+∠C+∠D.     

例谈圆的一性质在解题中的妙用

<正>"已知三角形中的一条边和该边所对的角,求与该三角形相关的长度或者面积的最值",这种类型的题,在模拟题中屡屡出现,一般这种题常用统一"边化角"方法来处理,但是计算过程比较繁琐.本文另辟蹊径,利用初中学过的圆的性质"同弧所对的圆周角相等"来构造三角形的外接圆,使已知边为圆的一条弦,该弦所对的圆周角为已知角,这样三角形的另一个顶点就落在圆周上,这就可以利用圆的性质来解决了.并且解题过程相当简洁,下面举例     

用模型探究三角形内角和

在数学实验课上 ,我利用硬纸块三角形模型探究“三角形三个内角的和有什么规律” .其探究如下 :先用硬纸块制出两个完全一样的三角形△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′(图 1、图 2 ) ,再把△Ａ′Ｂ′Ｃ′沿虚线剪下∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,随意在△ＡＢＣ模型的顶点处拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,惊奇地得到图 3、图 4的情形 ,发现∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角刚好拼成一个平角 .显而易见 ,三角形三个内角的和等于 180° .图 1　　　　　　　　　图 2图 3　　　　　　　　　图 4为了验证上面的结论 ,我又重新拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,拼成图 5情形 …     

旋转角与内角和、外角和

同学们已经学过多边形内角和定理 ,并且能够用 (n -2 )·180°求任一凸多边形的内角和 ,知道其外角和恒等于 3 60° .在数学竞赛中经常出现求角度之和的题目 ,例如 ,求图 1中的∠ 1至∠ 5的度数和 ,图 2中求∠ 1至∠ 10的度数和 (第五届全国部分省市初中数学通讯赛填空题 ,1989年 ) ,你还会吗 ?它们的求法是否有统一的规律 ?图 1　　　　　　　　　图 2观察以上二图 ,我们发现所求角中的任两相邻的角都在其公共边的同侧 ,并且都小于平角 ,这两个图形都是由直线按一定方向折转而成的封闭图形 ,这些特点与初中几何课本中的多边形是一致的 .因…     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

用“四点共圆”解题几例

<正>"在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等",这条重要的定理为我们提供了证明线段相等或角相等的一种思路和方法.鉴于此,对于满足四点共圆条件的四边形,如果我们能构造出它的辅助圆,就可以利用前面提到的思路和方法,证明线段相等或角相等.四点共圆判定定理1如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.     

略谈定位作图与不定位作图——从新编《数学》第五册中的一个例题想到的

在新编《数学》第五册第129页有如下的一个例题。 例:在已知线段上作弧;使它所含的圆周角等于已知角。 课本上的解法是先给定∠α和线段a,(见图1),而后在作图时又另作线段AB=a……(以下略),最后得出所求的弧为和。我们认为在“几何作图”