三角形的伴垂心的若干极值特征

如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 　在△ ABC中 ,有A…     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z,BC、CA、AB边上高的中点分别为X1,Y1,Z1,(如图1).则三直线XX1、YY1、ZZ1共点,且该点恰为△ABC的内心.     

一道竞赛题的妙证

<正>题目^([1])(第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克)如图,已知锐角△ABC的外接圆为⊙O,过点A作⊙O的切线l,l与直线BC交于点D,E为DA延长线上一点,F为劣弧BC上一点,直线EF与劣弧AB交于点G,直线FB、GC分别与l交于点P、Q.证明:AD=AE的充分必要条件为AP=AQ.证明首先证明一个引理.引理:如图所示,条件同上,     

三角形某些"陪心"的性质

引理设M为△ABC所在平面上一点,过M点分别在△BMC、△CMA、△AMB中作内角平分线MD、ME、MF与直线BC、CA、AB交于D、E、F,则AD、BE、CF必交于一点N.     

对“到三角形各边距离相等的点”探究——一道课本例题的五个追问

<正>引例(课本例题)如图1,△ABC的角平分线BM、CN交于点P,求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足分别为点D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.追问1在三角形内部到三边距离相等的点有一个,在三角形外部有到三边(所在直线)距离相等的点吗?     

三角形正则点的尺规作图

关于三角形正则点的讨论 ,初步展现了这一新点的价值 ,值得重视 .但美中不足的是 ,三角形正则点都是间接构造得来的 .能不能直接用尺规作图找到正则点呢 ?本文给出肯定的答案 .情形 　不等边三角形已知 :△ ABC各边互不相等 .求作 :△ ABC的正则点 .作法 :1作∠ A的内角和外角平分线 ,与对边 BC(或延长线 )交于 D,D′;2以 DD′为直径作⊙ O1;3同样作∠ B的内、外角平分线 ,与对边交于 E,E′,再以 EE′为直径作⊙ O2 ;4⊙ O1与⊙ O2 的两个交点就是△ ABC的正则点 .证明　如图 1 ,首先要证明⊙ O1与⊙ O2 相交 .在此不妨设AB >B…     

西摩松线的一个性质

大家知道 :三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线 ,这条直线称做该点对于三角形的西摩松线 (Simson) .本文将给出关于三角形西摩松线的一个新性质 .定理　三角形的三个外角平分线与其外接圆交点的西摩松线共点 .已知　如图 1,在△ ABC(AB≥ AC)中 ,X、Y、Z分别是△ ABC三个外角∠ DAB、∠ ABE、∠ BCF的平分线 AX、BY、CZ与△ ABC外接圆的交点 ,且点 Xi、Yi、Zi(i =1,2 ,3)分别是点 X、Y、Z在直线 AB、BC、CA上的射影 .求证　直线 X1 X2 X3 、Y1 Y2 Y3 、Z1 Z2 Z3 三线共点 .先给出一个引理 :引理 [1 ]　…     

一道几何题的推广和简证

<正>问题呈现^([1])如图1,设E、F分别是平行四边形ABCD的边AB和AD的中点,线段CE和BF相交于点K,点M在线段EC上,且BM∥KD.证明:△KFD和梯形KBMD的面积相等.本题系文[1]的例15.经研究,在BC∥AD的前提下,条件AB∥CD除了得到AD=BC外没有其他应用.如果把条件AB∥CD换成AD边和BC边之间具有某种数量关系,再把点E和F的位置一般化,就得到了下面的推广.     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

一个三线共点命题的推广及简证

《中学数学》2007年第6期P37刊载了如下图1命题D、E、F为△ABC的周界中点,EF、FD、DE三边的中点分别为D1、E1、F1,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1,则AA1、BB1、CC1相交于一点Z.本文给出如下推广命题D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,D1、E1、F1分别是△DEF的边EF、FD、DE上的点,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1.如果(BDDC·ECEA·FAFB)·(DFF1E1·EDD1F1·EF1ED1)=1(*),那么AA1、BB1、CC1三线共点.简证SS△△AABCAA11·SS△△AA11ECAA·SS△△FEAAAA11…     

三角形的伴垂心的若干报值特征

如图1,△ABC的三条高分别为AD、BE、CF,垂心为H,点D关于BC边的中点的对称点为D′,点E关于CA边中点的对称点为E′,点F关于AB边中点的对称点为F′,则由Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点,记为H′,称H′为△ABC的伴垂心[3],又叫伪垂心[1][2].     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

一个数学问题的简证

<正>问题^([1])如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对边AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,M为PQ的中点,MC与⊙O交于另一点G.求证:A、G、P、Q四点共圆.证明如图1所示,连AG,延长CM至点N,使CM=MN.则四边形PNQC为平行四边形.于是∠PAQ+∠PNQ=∠PAQ+∠PCQ=∠BAD+∠BCD=180°,     

三角形内(旁)切圆的一个性质

本文给出关于三角形内(旁)切圆的一个新性质. 定理设△ABC的内(旁)切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z.过AX和BC的中点D1和D作一直线DD1及类似的直线EE1、FF1(如图1、2),则DD1、EE1、FF1三线共点,且该点恰为△ABC的内(旁)心.     

由一道赛题想到的

问题1 四边形ABCD内接于⊙O,AB与DC相交于P,AD与BC相交于Q,AC与BD相交于R.求证:O为△PQR的垂心. (2001年东北三省数学邀请赛试题) 由问题1,我想到下面两个问题: 问题2 四边形ABCD内接于圆,以B与DC延长线交于P点,AD、BC延长线交于Q     

探究与三角形有关的直线上点的性质

<正>探究一如图1,在△ABC中,D是BC的中点,M在CD上,AD、AM为∠BAC的等角线,P是直线AM上一点(P不与A、M重合),BP、CP分别交直线AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点N,则AN是△ABC的外接圆切线.先证明一个引理.引理1如图2,在△ABC中,P是BC延长线上一点,若满足AB2/AC2=BP/CP,则AP是△ABC的外接圆切线.     

一道2015泰国数学奥林匹克题的拓展及简证

<正>题目~([1])如图1,在不等边△ABC中,∠ACB=90°,内切圆⊙I分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F,直线AI、BI分别与直线EF交于点M、N.若G为边AB的中点,证明:M、N、D、G四点共圆.文献~([1])不仅用了多点共圆的知识,而且还用到了"根轴"的知识以及"九点圆"的知识,使证明顺利完成.     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

一个有用的几何命题

命题1点P是△ABC的边AC的中点,E F过点P交BC于F,交BA的延长线于E,则S_(△BAC)∠C,过A作AD∥BC,交线段PE于点D,     

平面几何中的面积证法(三)——共边及共角定理的综合应用

<正>文[1]、[2]分别介绍了共边定理和共角及其应用,充分体现了这两个定理在平面几何证明中的强大威力.因此,这两个定理值得我们重视和掌握它们的运用技巧.例1如图1,在单等对边四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点,直线EF与BA的延长线、CD的延长线分别交于点