等积转化在求棱锥体积中的妙用

所谓等积转化,即将欲求棱锥转化为与其等体积的新棱锥求解;“等积法”对求棱锥体积既具有灵活性,又具有规律性;本文介绍四种技巧;１　顶点替换法;三棱锥顶点相互替换后而等积;利用该特性是求三棱锥体积的常用方法;例１　已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是面积为２３的菱形,侧面ＰＡＤ是等边三角形且与底面垂直,Ｅ为侧棱ＰＣ的中点（如图）;求三棱锥Ｃ－ＡＤＥ的体积;ＢＣＥＰＤＦＡ解　过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＤ于Ｆ,则ＰＦ⊥底面ＡＢＣＤ;由题意可求得ＰＦ＝３,∴ＶＣ－ＡＤＥ＝ＶＥ－ＡＣＤ＝１３·Ｓ△ＡＣＤ·１２ＰＦ＝１３·３·…     

综合题新编选登

题 5　如图 1 ,四面体ＡＢＣＤ中 ,△ＡＢＣ与△ＤＢＣ都是边长为 4的正三角形 .1 )求证 :ＢＣ⊥ＡＤ ;2 )若点Ｄ到平面ＡＢＣ的距离不小于 3,求二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角的取值范围 ;3)求四面体ＡＢＣＤ的体积的最大值和最小值 .解　 1 )取ＢＣ的中点Ｏ ,连结ＡＯ ,ＤＯ ,∵△ＡＢＣ ,△ＢＣＤ都是边长为 4的正三角形 ,∴ＡＯ⊥ＢＣ ,ＤＯ⊥ＢＣ ,且ＡＯ∩ＤＯ =Ｏ .∴ＢＣ⊥平面ＡＯＤ .又∵ＡＤ 平面ＡＯＤ ,∴ＢＣ⊥ＡＤ .2 )由 1 )的证明过程可知 ,∠ＡＯＤ为二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角 ,记为θ,则θ∈ ( 0 ,π) .过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＯ交…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

用变换方法解决立体几何问题

变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1　变换位置1.1　变换点的位置命题 1　 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1　例 1图例 1　如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解　连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ…     

浅谈点面距离的求法

点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1　定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1　 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1　例 1图解　如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ…     

关于一个体积问题的再探讨

问题　已知直三棱柱ＡＢＣＡ1Ｂ1Ｃ1,用一个平面去截它 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3 .若底面面积为Ｓ .求 :介于截面与下底面之间的几何体的体积Ｖ(如图 1) .本刊文 [1]给出了该问题的七种不同的“割补”解法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再给出其一种解法 ,并由此对所求体积作一番实质性探讨 ,希望以此开阔同学们的眼界 .图 1　题目图　　　图 2　解答用图解　如图 2 ,延长ＣＣ2 ,并在其上截取Ｃ2 Ｄ =ｈ2 ,ＤＥ =ｈ1.连ＢＣ2 ,Ｂ2 Ｄ ,ＡＤ ,Ａ2 Ｅ ,ＡＢ2 ,ＡＣ2 ,Ａ2 Ｄ ,Ｂ2 Ｅ .则ＶＣ2 ＡＢＣ=13Ｓｈ3 ;…     

体积法解一道微积分题

问题　求由曲线ｙ =x~2 在x轴正半轴与直线x=ｎ所围成的图形的面积Ｓ .此题已超出高一所学的知识范围 ,但我们合理运用祖日恒原理 ,化未知为已知 ,利用等体积的方法求解 .解　如图 ,构造正四棱锥Ｏ ＡＢＣＤ ,底面边长ＡＢ=ｎ ,高ＯＥ =ｎ ;又构造柱体ＯＨ ,以ＯＨＫ为中截面 ,高ＦＧ =1 .(其中ＯＨＫ即是曲线ｙ =ｘ2 与ｘ轴正半轴及直线ｘ =ｎ围成的图形 ) .设任一平行于底面的截面到点Ｏ的距离为ｘ ,则两截面的面积均为ｘ2 ,即有ＳⅠ =ＳⅡ .根据祖日恒原理 ,得ＶⅠ =ＶⅡ .∵　ＶⅡ =13 Ｓ底 ｈ =13 ＳＡＢＣＤ·ＯＥ =ｎ33 ,∴　ＶⅠ =…     

2000年高考数学立几题证法探讨

如图 ,已知平行六面体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1 ＣＢ =∠Ｃ1 ＣＤ =∠ＢＣＤ .(Ⅰ )证明 :Ｃ1 Ｃ⊥ＢＤ ;(Ⅱ )当 ＣＤＣＣ1的值为多少时 ,能使Ａ1 Ｃ ⊥平面Ｃ1 ＢＤ ?请给出证明 .对 (Ⅱ )的证明标准答案给出方法是以 ＣＤＣＣ1 =1为条件 ,证得Ａ1 Ｃ ⊥平面Ｃ1 ＢＤ即告结束 .这种证明方法是否确切 ,笔者提出以下几点理由质疑 :一、该小题是求 ＣＤＣＣ1的值 ,还是证Ａ1 Ｃ⊥平面Ｃ1 ＢＤ ?当然 ＣＤＣＣ1 =1确实能使Ａ1 Ｃ⊥平面Ｃ1 ＢＤ ,然而 ＣＤＣＣ1 =1是怎么得到的 ?除了有意识地猜想外 ,除非知…     

数学问题解答

20 0 0年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 86　直三棱柱ＡＢＣ———Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,ＡＢ1 ⊥ＢＣ1 、ＢＣ1 ⊥ＣＡ1 、ＣＡ1 ⊥ＡＢ1 试证 :该棱柱是正棱柱 .(浙江省湖州市双林中学　李建潮　 31 30 1 2 )证明　先由ＡＢ1 ⊥ＢＣ1 、ＢＣ1 ⊥ＣＡ1 证ＡＢ =ＡＣ .在底面ＡＢＣ内作ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ .∵底面ＡＢＣ ⊥侧面Ｂ1 ＢＣＣ1 ∴ＡＤ ⊥侧面Ｂ1 ＢＣＣ1 ①知Ｂ1 Ｄ是ＡＢ1 在侧面Ｂ1 ＢＣＣ1 上的射影 .∵ＢＣ1 ⊥ＡＢ1∴ＢＣ1 ⊥Ｂ1 Ｄ又在底面Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 内Ａ1 Ｄ1 ⊥Ｂ1 Ｃ1 于Ｄ1 ,同理可证Ａ1 Ｄ1 ⊥侧面Ｂ1 ＢＣ…     

综合题新编选登

题 1 8　△ＡＢＣ是以Ｂ为直角顶点的直角三角形 ,ＡＢ =1 ,ＢＣ =2 ,Ｄ为ＢＣ中点 .直线ｌ过点Ａ且垂直于平面ＡＢＣ ,Ｐ是ｌ上异于Ａ的点 .1 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,恒有∠ＢＰＤ<∠ＢＡＤ ;2 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ并不恒成立 ;图 1　题图3 )求∠ＣＰＤ的最大值 .解　 1 )由ＰＡ⊥面ＡＢＣ和ＣＢ⊥ＡＢ ,知ＣＢ⊥ＰＢ ,于是有ｔｇ∠ＢＰＤ=ＤＢＰＢ <ＤＢＡＢ=ｔｇ∠ＢＡＤ ,而这两个角都是锐角 ,∴∠ＢＰＤ <∠ＢＡＤ .2 )∠ＣＰＤ ,∠ＣＡＤ也都是锐角 ,故∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ等价于ｃｏｓ∠ＣＰＤ >ｃｏｓ∠ＣＡ…     

对一道2020年高考立体几何题的变式探究

2020年高考全国Ⅰ卷理科第18题是:如图1,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO±一点,PO=√6/6DO.(Ⅰ)证明:PA⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角BrPC-E的余弦值.     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

关于投影角的一个错例剖析

笔者在一份试卷中发现了这样一道题 :如图 1,已知平面α的两条斜线ＰＡ ,ＰＢ ,且Ａ ,Ｂ∈α ,ＰＯ⊥α于Ｏ ,则∠ＡＰＢ与∠ＡＯＢ的大小满足 (　　 )图 1　线面示意图(Ａ)∠ＡＰＢ >∠ＡＯＢ .(Ｂ)∠ＡＰＢ <∠ＡＯＢ .(Ｃ)∠ＡＰＢ =∠ＡＯＢ .(Ｄ )两角大小无法确定 .几乎所有同学都选择(Ｂ) .且理由“充足” :三角形一边ＡＢ不变 ,而ＰＡ >ＯＡ ,ＰＢ >ＯＢ ,显然∠ＡＰＢ <∠ＡＯＢ .而事实确实如此吗 ?例 1　如图已知 ,ＰＡ⊥面ＡＢＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,垂足Ｄ在ＢＣ延长线上 ,且ＢＣ =ＣＤ =ＤＡ =1.1)设ＰＤ =ｘ ,∠ＢＰＣ =θ ,试把ｔ…     

求棱锥体积的万能钥匙——图形变换

图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例　如图,已知正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,点Ｅ图1　例题图在棱Ｄ1Ｄ上,截面ＥＡＣ∥Ｄ1Ｂ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,ＡＢ=ａ.①求截面ＥＡＣ的面积;②求异面直线Ａ1Ｂ1与ＡＣ之间距离;③求三棱锥Ｂ1-ＥＡＣ的体…     

探究性问题的求解策略

探究性问题是近年来高考考查的热点问题之一 ,现结合历年高考试题与各地的模拟试题就探究性问题的求解策略作如下探讨 ,供读者参考 .策略一 :当给出了问题的结论 ,需要探究条件时 ,常运用分析法 .图 1　例 1图例 1　 (1 998年全国高考试题 )如图 1 ,在直四棱柱Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1ＡＢ ＣＤ中 ,当底面四边形ＡＢＣＤ满足条件时 ,有Ａ1Ｃ⊥Ｂ1Ｄ1.(注 :填上你认为正确的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形 )解　由条件Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1ＡＢＣＤ是直四棱柱 ,有 :Ａ1Ａ⊥平面ＡＢＣＤ ,Ｂ1Ｂ平行且等于Ｄ1Ｄ ,则ＡＣ是Ａ1Ｃ在平面ＡＢＣＤ上的射影 ,Ｂ1…     

直觉的误导

问题　已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,如图1,我们称△ＡＢＣ是△ＰＢＣ在平面ＡＢＣ上的射影三角形,那么这两个三角形的顶角∠ＢＡＣ与∠ＢＰＣ哪一个大呢?　　这个问题看起来非常简单,凭直觉都认为∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ.事实并非如此,剖析如下.图2∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ的情形1)过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ.当垂足Ｄ在线段ＢＣ上时,因ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,则ＰＤ⊥ＢＣ.在Ｒｔ△ＰＤＡ中,ＡＤ<ＰＤ.在ＰＤ上取一点Ａ′,使ＡＤ=Ａ′Ｄ.易证△Ａ′ＢＣ≌△ＡＢＣ,因此∠ＢＡ′Ｃ=∠ＢＡＣ,如图2.因∠ＢＡ′Ｄ>∠ＢＰＤ∠ＤＡ′Ｃ>∠ＤＰＣ∠ＢＡ′Ｃ>∠ＢＰＣ.从而∠ＢＡ…     

关于求二面角大小的一组公式及其应用

近年来全国高考及各省市数学竞赛试题中的立体几何题，几乎都涉及求二面角大小的问题；虽然有的数学杂志和复习资料对求解这类问题介绍了不少方法，但有些方法不十分理想，不是计算较繁琐，就是作辅助线较多，有的方法所引用的公式复杂难记；因此，本文给出一组求解公式，不仅公式的形式简单，而且计算简便，学生很容易掌握；公式１　如果三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，侧棱ＶＣ⊥底面ＡＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ；设二面角Ｖ－ＡＢ－Ｃ＝φ，∠ＶＡＣ＝θ１，∠ＶＢＣ＝θ２，那么ｔｇ２φ＝ｔｇ２θ１＋ｔｇ２θ２．图１证明　在底面ＡＢＣ内，过点Ｃ作ＣＤ…     

立体几何复习(续)

例3.正六棱锥V—ABGDEF的侧棱VA为10cm,底面边长为8cm,平行于它的底面截面面积为32(3~1/ 2)/3(cm~2),求①截面与底面间的距离,②棱锥V—ABCDEF的侧面积, 略解:①从顶点V作VO⊥面ABC,交截面于O_1,则O_1V也垂直于这截面,     

谈用向量法求二面角

二面角的求解是立体几何中大多数同学比较棘手的问题 ,新教材引入了空间向量的概念以后 ,便使这类问题变得思路明确 ,运算简单 ,下面列举几例加以说明 .1　不需作出二面角的平面角 ,直接依据二面角定义求解例 1　已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,底面ＡＢＣＤ是边长为ｍ的正方形 ,侧棱ＡＡ1的长为ｎ ,且∠Ａ1ＡＢ =∠Ａ1ＡＤ =12 0° ,求二面角Ａ1—ＡＢ—Ｄ的余弦值 .(2 0 0 2年潍坊市高二期末统考题 )图 1　例 1图解　过Ａ1作Ａ1Ｅ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长线于点Ｅ ,∵ＡＢＣＤ为正方形 ,∴ＡＤ⊥ＡＢ .则向量Ａ1Ｅ与ＤＡ所成的角的大…     

2000年高考立体几何解答题探析

题目　如图 1,已知平行六面体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1 ＣＢ =∠Ｃ1 ＣＤ =∠ＢＣＤ =6 0° .图 1　平行六面体1)证明 :Ｃ1 Ｃ⊥ＢＤ ;2 )假定ＣＤ =2 ,ＣＣ1 =32 ,记面Ｃ1 ＢＤ为α ,面ＣＢＤ为 β ,求二面角α ＢＤ β的平面角的余弦值 ;3)当 ＣＤＣＣ1的值为多少时 ,能使Ａ1 Ｃ⊥平面Ｃ1 ＢＤ ?请给出证明 .　1　探源此题的几何模型源于教材复习参考题二的第 11题 .1989年全国高考的立体几何解答题考过这一几何模型 ,一般复习资料上也都图 2　方法 1图有此几何模型 ,因此学生图感非常熟悉 ,易于下手 ,特…