数学竞赛中的解析几何问题（一）

解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1　基本知识设Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |Ｐ1 Ｐ2 | =(ｘ1 -ｘ2 ) 2 (ｙ1 - ｙ2 ) 2 =1 ｋ2 |ｘ1 -ｘ2 |(其中ｋ=ｙ2 -ｙ1 ｘ2 -ｘ1 为直线Ｐ1 Ｐ2 的斜率 ) ;2 )若点Ｐ(ｘ,ｙ)分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则ｘ=ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ=ｙ1 λｙ21 λ ;3)直线Ｐ1 Ｐ2 的方程可写成ｙ - ｙ1 =ｋ(ｘ1 -ｘ2 ) (当斜率ｋ存在时 ) ,且一定能表示为Ａｘ Ｂｙ Ｃ …     

用解析几何模型求函数的值域

解析几何是用代数的方法研究几何问题 ,而某些代数问题 ,根据其结构特征 ,也可构造为解析几何问题 ,本文以求函数值域为例 ,构造解析几何模型 ,使数形转化 ,便于解题 .1　构造距离模型例 1　求函数 ｆ (ｘ ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1的值域 .解　由 ｆ(ｘ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1=(ｘ 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 (ｘ - 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 .图 1　例 1图故 ｆ(ｘ)可看作平面上点Ｐ (ｘ ,32 )到两点Ｍ(- 12 ,0 ) ,Ｎ(12 ,0 )的距离之差 ,显然 ｆ(ｘ)的值域为 (- 1,1) .例 2　已知 ｆ(μ) =μ2 ａμ ｂ - 2 ,μ =ｘ 1ｘ图 2　例 2图(ｘ≠ 0 ,ａ…     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

高中数学“陷阱”题

高中数学中常有这样的习题 :一看就能做 ,一做就易错 .为此 ,我们将 4 1道易错题汇集在一起 ,供同学们参考 .建议同学们先独立做一遍 ,然后对照题后的错点分析 ,找寻一下自己可能存在的误区 ,从而不断降低解题的错误率 .填空题1　已知集合Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ,Ｂ ={ｘ|ｘ2 -ａｘ 2 =0 } .若Ｂ Ａ ,则实数ａ的取值范围是.2　已知集合Ｐ ={ ｙ|ｙ =-ｘ2 2 ,ｘ∈Ｒ} ,Ｑ ={ ｙ|ｙ =-ｘ 2 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ｐ∩Ｑ =.3　已知实数ｘ ,ｙ满足 2ｘ2 ｙ2 =6ｘ ,则ｘ2 ｙ2 2ｘ的最大值是 .4　已知 ｆ(ｌｇｘ 1)的定义域是 ( 0 ,1].则 ｆ(ｘ…     

从距离的角度来看代数式

用代数的眼光来看代数式 ,解决问题可能很复杂 ,如果换一个角度 ,用几何的眼光看代数式 ,或许会简单 .比如一类函数的最值问题 ,转化为距离问题求解就是如此 .例 1　 (第三届希望杯高二第一试试题 )设ｘ∈Ｒ ,函数ｆ(ｘ) =ｘ2 3ｘ 3 ｘ2 - 3ｘ 3的最小值为 .解　将函数式作如下变形ｆ(ｘ) =(ｘ 32 ) 2 (0 32 ) 2　 (ｘ- 32 ) 2 (0 - 32 ) 2 .设Ｐ(ｘ,0 ) ,Ａ(- 32 ,- 32 ) ,Ｂ(32 ,32 ) ,则问题转化为求|ＰＡ| |ＰＢ|的最小值 .由平面几何性质有图 1　例 2图|ＰＡ| |ＰＢ|=|ＡＢ|=2 3 .例 2　 (1 990年全国高中联赛试题 )求 ｆ(ｘ)=ｘ…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

构造点的坐标证明不等式

有些不等式的证明 ,若采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从数形结合思想考虑 ,充分挖掘出不等式的几何背景 ,通过构造点的坐标 ,建立起不等式的几何模型 ,利用几何图形的不等性质 ,可使不等式较易得到证明 .一、构造点的坐标 ,利用点线距最短证明图 1不等式例 1　已知ａ≥0 ,ｂ≥ 0 ,且ａ +ｂ =1,求证 :(ａ + 2 ) 2 + (ｂ +2 ) 2 ≥2 52 .证明　设Ａ(-2 ,-2 ) ,Ｐ(ａ ,ｂ) ,则点Ｐ在线段ｘ +ｙ =1(0≤ｘ≤ 1)上 ,点Ａ到直线ｘ + ｙ =1的距离ｄ =| -2 -2 -1|2 =52 .如图 1,∵　 |ＡＰ|≥ｄ ,即　 (ａ + 2 ) 2 + (ｂ + 2 ) 2 ≥ 52 …     

二次曲线问题

二次曲线是解析几何的主要内容,二次曲线问题在数学竞赛中十分常见.特别是在近几年的高中数学联赛中,除了小题外几乎每年都有一个大题,尽管问题并不很复杂,亦十分传统,但却相当综合,要用到的知识和方法很广,需要我们灵活应用所学的基础知识和基本技能.例1　(1998年第九届希望杯数学邀请赛试题)Ｐ是抛物线ｙ=ｘ2上的任意一点,则当Ｐ和直线ｘ ｙ 2=0上的点的距离最小时,Ｐ与该抛物线准线的距离是(　　)(Ａ)19.　(Ｂ)12.　(Ｃ)1.　(Ｄ)2.解　设Ｐ点的坐标是(ｘ,ｘ2),则Ｐ到直线ｘ ｙ 2=0的距离ｄ=|ｘ ｘ2 2|2=22[(ｘ 12)2 74]≥728.∴当ｘ=-12…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

一道习题的变式教学

在数学教学中 ,若注重对课本习题进行变式训练 ,不但可以抓好双基 ,而且还可以提高学生的数学能力 .下面是一道课本总复习参考题的变式教学的一点探讨 .题　 (人教版《解析几何》总复习题第 13题 )求曲线ｙ2 =4 - 2ｘ上与原点距离最近的点Ｐ的坐标 .变题 1　在曲线 ｙ2 =4 - 2ｘ上求一点Ｍ ,使此点到Ａ(ａ ,0 )的距离最短 ,并求最短距离 .解　设点Ｍ的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,则|ＯＰ | =(ｘ -ａ) 2 + ｙ2=(ｘ -ａ) 2 - 2ｘ + 4=(ｘ -ａ - 1) 2 + 3- 2ａ(ｘ≤ 2 ) .若ａ≥ 1,则当ｘ =2时 ,|ＭＡ| ｍｉｎ=|ａ - 2 | ,这时点Ｍ的坐标为 (2 ,0 ) ;若…     

思路要自然,过程要简捷——我谈点线距离公式的推导

求点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ =0的距离 ,一个很自然的思路是 :由点Ｐ向直线ｌ引垂线 ,求出垂足Ｑ的坐标 ,再用两点间的距离公式求出|ＰＱ| .这个方法 ,正如课本所说 ,运算很繁 .仔细分析上述方法 ,繁就繁在求垂足Ｑ的坐标 .我们能否批判性地沿用以上思路 ,回避求垂足Ｑ的坐标 ,让问题得以更方便地解决 ?我经过一番探究 ,得到了肯定的回答 .设垂足Ｑ的坐标为 (ｘ′ ,ｙ′) ,∵ＰＱ⊥ｌ,∴ｙ0 - ｙ′ｘ0 -ｘ′=ＢＡ(当Ａ≠ 0时 ) ,可设ｘ0 -ｘ′ =Ａｔ,ｙ0 -ｙ′ =Ｂｔ.∵Ａｘ′+Ｂｙ′ +Ｃ =0 ,　∴Ａ(ｘ0 -Ａｔ) +Ｂ(ｙ0-Ｂｔ…     

用几何画板求与直线、定圆相切的圆心轨迹

先看下面的问题及解答 :图 1已知圆Ｃ :(ｘ -2 ) 2+ｙ2 =1 ,一动圆与ｙ轴相切 ,又与圆Ｃ外切 ,试求这动圆的圆心的轨迹方程 .解　如图 1 ,设动圆的圆心为Ｏ1(ｘ ,ｙ) ,有|Ｏ1Ｃ|=|Ｏ1Ｐ|+|ＰＣ|=|Ｏ1Ｐ|+1 ,即　 (2 -ｘ) 2 +ｙ2 =ｘ +1 .因此所求动圆的圆心轨迹方程为ｙ2 =6ｘ -3 .当定圆的半径变化时 ,比如半径分别为 2、3时 ,上述解法是否仍然正确呢 ?答案是否定的 .我们可以通过几何画板来观察分析 .具体作法如下 :显示坐标系 ,作一长度为 1的线段ＡＢ ,以Ｃ(2 ,0 )为圆心、ＡＢ为半径画圆 ,由上述解法可知与ｙ轴相切且与 (ｘ -2 ) 2 +ｙ…     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

圆的切点弦及其求法

已知圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =Ｒ2 及圆外一点Ｐ(ａ ,ｂ) ,过点Ｐ作圆Ｏ的两条切线ＰＡ ,ＰＢ ,切点分别为Ａ ,Ｂ ,则我们称弦ＡＢ为圆Ｏ的切点弦 .那么直线ＡＢ的方程是什么 ?该怎样求解呢 ?图 1　解法 1图分析 1:利用圆的切线及圆内接四边形几何性质 ,可构造一圆 ,然后借助圆系求解 .解法 1　连结ＯＡ ,ＯＢ ,由圆切线的几何性质可知 ,ＯＡ⊥ＰＡ ,ＯＢ⊥ＰＢ ,所以Ｏ ,Ａ ,Ｐ ,Ｂ四点共圆 ,ＯＰ为该圆的直径 (由解几课本Ｐ6 8第三题结论 :已知一个圆的直径端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则该圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ- ｙ1)…     

利用向量处理解析几何问题

平面向量是新编高中数学试验教材中新增加的内容 .平面向量既具有几何的“形” ,又具有代数“数” ,既是数学中的一种运算对象 ,又是一种解决数学问题和物理问题的运算工具和方法 .下面举例说明向量在解析几何问题中的应用 .利用向量知识处理解析几何问题的方法是 :把与解题有关的线段看作平面向量 ,并用坐标表示之 ;利用平面向量的有关定理、公式列出方程 ,解出结果 .例 1　 (2 0 0 1年高考广东、河南卷 14题 )双曲线ｘ29-ｙ216=1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 .若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离为 .分析　求点Ｐ到ｘ轴的距离…     

坐标法

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学分支 .为此 ,我们必须将几何学中的基本元素———点 ,与代数学中的基本对象———数结合起来 .坐标法正好实现了这一目的 ,它用代数方法处理几何问题 ,用几何直观研究代数问题 ,使得数和形达到了有机的结合 .1　基本知识　包括两点间距离公式、线段定比分点的坐标公式及曲线和方程的概念 .具体内容见教材 .2　应用举例例 1　设△ＡＢＣ的三边长为ａ ,ｂ,ｃ,ＢＣ边上的中线长为ｍａ,证明 :ｍ2 ａ=12 ｂ2 12 ｃ2 - 14ａ2 .证　在直角平面坐标系中 ,设Ａ(ｘＡ,ｙＡ) ,Ｂ(ｘＢ,ｙＢ) ,Ｃ(ｘＣ,ｙ…     

点圆及点圆系的性质与应用

点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆Ｐ(ｘ0,ｙ0)的方程可记为(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2=0.由点圆Ｐ,直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=1,圆Ｍ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2=ｒ2(ｒ>0),可构成下列圆系:点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在圆Ｍ上,λ为非零实数,有圆系Ｄλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ[(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2]=0(1)点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在直线ｌ上,λ为非零实数,构造圆系Ｅλ:(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(2)直线ｌ与圆Ｍ相切于点Ｐ,λ为非零实数,构成圆系Ｆλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(3)下面给出Ｄλ,Ｅλ,Ｆλ的性…     

巧用转化思想,提高解题能力

在解题过程中 ,注意抓住问题之间的联系 ,促进合理转化并在转化中求得问题的解决 ,常能使解法巧妙 ,过程简捷 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ4 - 3ｘ2 - 6ｘ 13-ｘ4 -ｘ2 1的最大值 .分析　此题仅考虑用代数方法求解 ,则有一定的难度 .若我们将表达式变形 ,巧用形表数 ,从而转化问题情境的方法 ,就会有效地缩短解题过程 ,使问题获解 .已知解析式可改写为 :ｆ(ｘ) =(ｘ - 3) 2 (ｘ2 - 2 ) 2 -ｘ2 (ｘ2 - 1) 2 ,联想到两点间的距离公式 ,不难发现 ,它表示抛物线 ｙ =ｘ2上一动点Ｐ(ｘ ,ｘ2 )到两定点Ａ(3,2 )和Ｂ(0 ,1)的距离之差 ,即“数”向…     

由一道错题想到的

湖北省教研室编写的高中平面解析几何《课外作业》(2 0 0 0年 7月第 3版 )上有这样一道题 :“设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 2ｘ2 + 3ｙ2 =6的两个焦点 ,Ｐ是椭圆上一点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,则△Ｆ1ＰＦ2 的面积是.(给出的答案是 2 )图 1　题目图解法 1　由椭圆第一定义结合勾股定理易整体 ,求得 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 | =4 ,由直角三角形面积公式得此三角形面积等于2 .解法 2　由方程知Ｆ1(- 1,0 ) ,Ｆ2 (1,0 ) .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,∵∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,∴直线ＰＦ1和ＰＦ2 的斜率ｋ1,ｋ2 均存在 ,且ｋ1=ｙ0ｘ0 + 1,ｋ2 =ｙ0ｘ0 - 1.依题意 :ｙ0ｘ0 + 1· ｙ…     

构造图形解竞赛题

构造法 ,是高中数学竞赛的重点和难点 ,下面谈谈构造图形解题的一些技巧 .构造图形解题的最大特点在于直观 ,它能使抽象的数量关系在图形上表达出来 ,使问题变得简单 .而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想 .看下面几道例题 :例 1　已知ｖ∈Ｒ ,ｕ∈ [- 2 ,2 ],求证 :(ｕ -ｖ) 2 (2 -ｕ2 - 9ｖ) 2 ≥ 8.图 1　例 1图分析　不等式左边的结构类似于两点间距离公式 :ｄ = (ｘ2 -ｘ1) 2 (ｙ2 - ｙ1) 2根号内的部分 .构造点 ｐ(ｕ ,2 -ｕ2 ) ,Ｑ(ｖ ,9ｖ) ,如图 1所示 ,点Ｐ位于半圆ｘ2 ｙ2 =2 (ｙ≥ 0 )上 ,点Ｑ位于双曲线ｘｙ =9…