杨辉三角形的一个奇妙性质

杨辉三角形(如图)亦称贾宪三角形,又称巴斯卡三角形.之所以称为杨辉三角形,是因为它首先载于我国宋朝数学家杨辉于公元1261年所著的《详解九章算法》一书.为什么亦称贾宪三角形呢?是因为杨辉在《详解九章算法》一书中说这个方法是出于《释镇算书》,贾宪曾经用过,但《释镇算书》早已失传.贾宪是北宋数学     

神奇的杨辉三角

<正>南宋的杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中记录了图1所示的三角形数表,称之为"开方作法本源"图,即现在的杨辉三角,其本质是二项式系数在三角形中的一种几何排列(如图2).杨辉三角中蕴含着许多奇妙的性质,也与许多数学问题有着密切的联系.古今中外,有许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都层深入研究过杨辉三角,     

介绍一种新的杨辉三角

华罗庾先生在[1]中写道:“杨辉是我国宋朝时候的数学家,他在公元1261年著了一本叫做《详解九章算法》的书,里面画了这样一张图,[1]中封二)并且说这个方法是出于《释锁算书》,贾宪曾经用过它。……然而有一点是可以肯定的,这一图形的发现在我国当时不迟于1200年左右。在欧洲,这图形称为“巴斯加(Pascal)三角。”因为一般都认为这是巴斯加在1654年发明的。……可是无论怎样,杨辉三角的发现,在我国比在欧洲至少要早300年左右。” 杨辉三角的发现是中国古代数学的辉煌成就,但数百年来,关于杨辉三角推广的工作,进行的甚少。近来,笔者对杨辉三角进行了推广,得到了若干有用的结果,本文只列出数个主要结论。 为了以后进行比较,首先回顾一下杨辉三角的概念。 定义1 杨辉三角是指如下的图形:     

“贾宪三角”与倍角公式的联系

<正>众所周知,"杨辉三角"亦称"贾宪三角",因在杨辉著的《详解九章算法》(1261年)中曾明确地指出这个三角形"出《释锁算书》,贾宪用此术",也就是说,这个"三角形"在我国于十一世纪时就由贾宪首先使用了.欧洲人认为这个"三角形"是法国数学家巴斯加(Pas-cal,1623—1662年)首先创用的.这是极不正确的说法,在欧洲有人发现公元1527年德国数学家阿皮纳斯(Apianus)所著的一本书的封面     

盘声珠韵——图说中国算盘发展简史

“算盘”一词最早出现于宋代算书《算察微算经》,而宋代名画《清明上河图》中的算盘图、宋代巨鹿故城遗址出土的算珠等文物史料无不告诉我们,有梁穿档的算盘至迟在北宋年问便已在民间广为使用。宋元时期社会主要计算工具虽仍为算筹,但以杨辉、朱世杰为代表的数学家们在实用数学方面,创造了各种乘除简捷法和“歌诀”,这些都直接推动了珠算歌诀在算盘上的使用。算盘在与算筹并行使用的过程中求同存异,其算理算法得到进一步的发展。     

珍贵中算典籍喜重光——《算法纂要校释》评介

《算法纂要校释》一书,巳由安徽教育出版社于去年八月出版了,这是建国以来我国出版的第一部珠算典籍,也是中国数史的一部重要新书。它的出版,受到了国内外数学史界和珠算教育界的欢迎。 我国明代珠算大师。著名数学家程大位(1533—1606)所著《算法统宗》,集珠算之大成,于明·万历二十年(1592)刊刻以后,风行字内。《算法纂要》是《算法统宗》的辑要本,它基本上保留了《算法统宗》的精华,     

中国南宋大数学家秦九韶——纪念“数书九章”成书740周年

秦九韶,南宋数学家,与李冶、杨辉、朱世杰齐名,同为我国数学黄金时代宋元时期的四大数学家之一。 秦九韶,字道古。他在《数书九章》自序题说自已是鲁郡人,有“鲁郡秦九韶叙”几个字。《四库全书总目提要》(卷一○四)说他所写的是秦氏先世所居,不是他的籍贯。实际上,秦九韶1202年生于四川,其父名季槱字宏父,晋州安岳(今四川安岳)人,1219年任巴州     

简介程大位及其名题

程大位是明朝(公元16世纪)人,是我国古代伟大的数学家,他花了几十年的时间,精心研究各种数学书籍,并结合自己的体会,于1593年编写出了《算法统宗》一书,此书出版后,就在国内各地广泛流传,当时此书成为我国初等数学教科书,它在我国数学史上是一部很重要的著作.     

秦九韶三斜求积公式及其应用

当已知三角形的三边,求面积时,常用公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)来算,但也有不便之处.例如,“在△ABC中,已知a=(41)~(1/2),b=(34)~(1/2),c=5求面积”用这个公式来算,就殊感困难. 我国南宋时的大数学家秦九韶著有《数书九章》一书(1247年).在该书的第五卷中,     

华林问题及其变种

1770年,法国数学家拉格朗日(J.-L.Lagrange)证明了著名的4平方数定理,即定理(拉格朗日)任何正整数均能表成4个整数的平方和.但从古希腊最后一位数论学家丢番图(Diophantus,活跃于公元250年前后)的著作《算术》所举的例子来看,丢番图很可能已经知道这个结论了.而正式提出这个定理(猜想)的是法国数学家、诗人巴切特(C.Bachet,1581-1638),他也是《算术》拉丁文版(1621)的译者.     

“望海岛”一题解题方法推广

<正>"望海岛"是《海岛算经》一书中的第1题,《海岛算经》的作者刘徽是我国著名数学家."望海岛"是一道有关于直角三角形相似的测量问题,但是当时我国并没有相似三角形的相关知识,因此我国数学家另辟蹊径,通过构造图形,应用余形定理得到"相似勾股形对应勾股成比例"这一结论,这种方法在《初等数学史话》一书中称为"等面积法",但是"等面积法"只能应用于直角三角形吗?在一般的三角形中可以通过构造平行四边形得到"相似三角形对应边成比例"这一结论吗?下面将针对这些问题进行讨论.     

一元二次方程的几何解法

我们熟知一元二次方程的代数解法,笔者尝试着从几何角度给出一元二次方程的另一种解法,即几何模型解法.对于一元二次方程,我国及其他国家的古代数学家都研究过几何解法.以x2 2x-35=0为例,三国时期的数学家赵爽(公元3-4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造如图所示的图形,图中大正方形的面积是(x x 2)2,另一方面,它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×35 22,     

费马大定理获证始末

1995年 5月 ,世界权威杂志《数学年刊》(ＡｎｎａｌｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ)刊登了英国数学家怀尔斯 (Ａ .Ｗｉｌｅｓ)的长篇论文《模椭圆曲线和费马大定理》 ,宣告了历时 350多年的著名数学难题“费马大定理”的彻底解决 .这是 2 0世纪末数学上的最高成就 .1　费马与费马大定理费马 (Ｐ .ｄｅＦｅｒｍａｔ,1 6 0 1 - 1 6 6 5)是法国数学家 ,生于法国南部图卢兹附近波蒙 -德洛马涅 ,卒于卡斯特尔 .早年在家乡受教育 ,后入图卢兹大学学习法律 ,毕业后任律师 .1 6 31年起一直任图卢兹议会议员 .他博闻饱学 ,精通数种文字 ,掌握多门自然…     

在CAI中用《几何画板》进行素质教育

有识之士指出 :“ＣＡＩ(ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｓｓｉｓｔｅｄＩｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ)的发展与普及对中学数学教育正在产生十分巨大的影响 .”《几何画板》(以下简称《画板》)不同于其他的计算机绘图软件 ,它所作出的图形、图象都是动态的 ,而且注重数学表达的准确性 .它最突出的优点就是使图形、图象在变动的状态下保持不变的几何关系 ,线段的中点永远是中点 ,平行的直线永远保持平行 .这样就可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数学关系与空间关系 ,可以利用它培养学生的能力、开发学生的智力、发挥学生的创新精神 ,达到提高…     

从定身乘除和凑整乘除谈到求一乘除

(一)定身乘原称“身外添几”和“身外加法”，简称“加法”。当乘数首位(或末位)是1时，首位1(或末位)省却不乘，只把次位以下(或末拉之前)各位乘被乘数，乘积加在被乘数本身里，就得全积。定身乘首先见于唐代《夏侯阳算经》。南宋《杨辉算书》对身外加法有所发展，元、明、清各代算书都著录此法。     

三器注酒

“三器注酒”问题是一个智力趣题,最早见于清初著名数学家方中通(1634-1698)所著《数度衍》卷二十三.至今至少已有340年的历史,公元1811年清朝数学家许桂林(1778-1821)在其所著《算牖(yǒu)》卷四中,正式将此题命名为“三器注酒”.解放后,开明书店出版一套“开明少年丛书”,其中有洪波著的《想想算算》一书,亦引录此题.     

史坦因豪斯的“正方形问题”

波兰数学家古伏·史坦因豪斯教授 (1887—1972 )主要从事线性位相空间、巴拿赫空间及正交函数系等方面的研究 .史坦因豪斯教授热心于数学普及与数学传播 ,他为青少年所写的《数学万花镜》等数学普及读物被誉为世界科普名著 .他还为数学杂志编拟了许多有趣的数学问题 ,这些问题收集在《一百个数学问题》、《又一百个数学问题》等书中 .这些书都有中译本 .在《又一百个数学问题》中 ,有一个“正方形问题” ,史坦因豪斯教授称这个问题“还没有得到解决” .这个问题是这样的 :能不能作一个正方形 ,它的边长是整数 ,并能在它所在的平面上找到一点…     

刘仁隆的诗词体古典数学题

<正>明朝数学家刘仕隆,于永乐四年(1406年),预修《永乐大典》,退公之暇,编成33款难题(诗词体数学题),后附于刘仕隆《九章通明算法》(1424年)之末尾,这是继朱世杰之后,我国现有史料中第二本诗词体古典数学题集。这些诗词体古典数学题,后被吴敬《九章算法比类大全》(1450年)、程大位《算法统宗》(1592年)等书引录,流传广泛。但由于吴、程在书中未注明出处,刘仕隆的《九章通明算法》早已失传,所以在我国数学史界,一直是个"谜"!2006年前夕,天津师大李兆华教     

简介朱世杰及其名题

朱世杰是元代北京人,是我国古代最伟大、最杰出的、最著名的数学家之一,他花了毕生的时间,精心研究数学,撰写了《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)两部数学巨著,并流传至今.在《四元玉鉴》一书中,便已发现"正自然数立方的和的公式",他比西洋最早得出这个公式的德国数学家莱布尼兹(Leibniz)要早三百多年.正如美国已故科学史家萨顿(G.sarton)所评论的:朱世杰是"贯穿古今的一位最杰出的数学大家",而他所著的《四元玉鉴》则是"中国数学史中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一".     

谈映射概念——中学数学笔谈之十八

映射概念是现代数学中最基本的概念之一.在中学数学教学中引进它是很有好处的,正如高级中学试验课本《数学Ⅰ》(人民教育出版社,1993年版)和全日制普通高级中学教科书(试验本)《数学第一册(上)》”(人民教育出版社,1996年版)中所做的那样.在这两本教材中,映射概念是这样定义的:“设Ａ,Ｂ是两个集合.如果按照某种对应法则ｆ,对于集合Ａ中的任何元素,在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射,记作ｆ:Ａ→Ｂ.”在给出这个抽象定义之前,两书都先给出了一些具体例子,如ｆ为“开平方”法则、“求平方”法则、“…