数学问题解答

20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366　如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学　沈建平　 2 1 5 0 0 6)证明　设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△…     

一类有趣的几何连比题

应用九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页第1 7题“过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ”(图 1 ,图 2 )可巧解一类有趣的几何连比问题例 1　如图 3 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是中线 ,Ｅ在ＡＣ上 ,Ｆ在ＡＢ上 ,且ＡＥ∶ＥＣ =5∶4,ＡＦ∶ＦＢ =2∶3 .又ＣＦ ,ＢＥ分别交ＡＤ于Ｇ ,Ｈ ,则ＡＧ∶ＧＨ∶ＨＤ =.解 :设ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ ,则由课本习题结论得　ｘｙ +ｚ=2ＡＦＦＢ =2× 23 =43 ,ｘ +ｙｚ =2ＡＥＥＣ =2× 54=52 .化简得 3ｘ -4ｙ =4ｚ ,2ｘ +2 ｙ =5ｚ .…     

关于四面体的两个新命题

四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1　命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1　如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证　先证充分性 .分两种情况 :　　 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥\ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ…     

数学问题解答

20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96　ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明　不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠…     

数学问题解答

20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6　⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ垂直于非直径的弦ＣＤ ,弦ＡＥ与半径ＯＣ交于点Ｆ ,弦ＤＥ交弦ＢＣ于点Ｇ .求证 :ＦＧ∥ＡＢ .(四川省普格县荞窝农场子弟学校　王承宣　 6 1 5 3 0 2 )证明　如图 ,连结ＢＤ、ＣＡ .∵ＡＢ ⊥ＣＤ ,∴ ＣＡ =ＤＡ ,ＣＢ=ＢＤ ,∴∠ＣＯＡ =∠ＣＢＤ ,又ＡＯ =ＣＯ ,∴∠ＡＣＦ =∠ＧＣＤ ,又∠ＥＡＯ=∠ＥＤＢ ,∠ＣＡＦ=∠ＣＤＥ ,∴△ＡＣＯ ∽△ＣＢＤ ,△ＡＯＦ∽△ＤＢＧ ,△ＡＣＦ∽△ＤＣＧ ,∴ ＣＦＣＧ =ＡＣＣＤ =ＡＯＢＤ =ＦＯＧＢ,即 ＣＦＦＯ =Ｃ…     

课本习题新探索

结合条件、对照图形、分析结论是做几何题的三步曲 .从不同的角度去分析结论 ,将会得到不同的证题方法 .这对于开发证题思路 ,活跃思维空间 ,将起到良好的互补作用 .现就课本上的一题举例说明 .图 1题目　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ(提示 :过点Ｄ作ＤＭ∥ＣＦ交ＢＦ于点Ｍ) .(人教版《几何》第二册Ｐ2 5 5 第 17题 )[分析与证明一 ]　从课本给出的提示来看ＡＥＥＤ=ＡＦＦＭ ,而结论是 ＡＥＥＤ =2ＡＦＦＢ ,即　 ＡＥＥＤ =ＡＦ12 ＦＢ.如图 1,显然只须证明ＦＭ =1…     

一道代数命题的几何证法

命题　两个正数ａ、ｂ的几何平均数 ,等于这两个数的算术平均数与调和平均数的比例中项 .正数ａ和ｂ的三个平均数的意义 :几何平均数Ｇ =(ａｂ) 1 2 ,算术平均数Ａ =ａ ｂ2 ,调和平均数Ｈ =2ａｂａ ｂ.求证 :Ｇ2 =Ａ·Ｈ证明　画线段ＢＣ使ＢＣ =ＢＥ ＥＣ ,其中ＢＥ =ａ ,ＥＣ =ｂ .以ＢＣ为直径画半圆 ,设圆心为Ｏ ,过点Ｅ作ＢＣ的垂线交半圆于Ｄ ,连结ＯＤ ,过点Ｅ作ＥＦ ⊥ＯＤ ,垂足为Ｆ .如图所示 ;于是ＯＤ =ａ ｂ2 =Ａ　　∵ＤＥ2 =ＢＥ·ＥＣ即ＤＥ =(ＢＥ·ＥＣ) 12 =(ａｂ) 1 2 =Ｇ ;由Ｒｔ△ＯＥＤ∽Ｒｔ△ＥＦＤ得ＤＦ∶ＥＤ…     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

一道竞赛题的三角简证及空间推广

1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明　如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵　ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴　 ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1　　　　　　　　　图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有　　 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα ,　　 ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴　α=β ,即是　∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交...     

数学问题解答

20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6　已知 :ＡＤＣＥ为半圆 (如图 ) ,Ｂ为直径ＡＥ上一点 ,Ｆ在ＡＣ上 ,ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,ＢＥ=ＨＧ ,ＡＬ∥ＦＧ .求证 :ＫＢ ⊥ＡＣ证明　因为ＡＤＣＥ为半圆 ,所以∠ＡＤＥ=∠ＦＣＧ =90° .在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＦＣＧ中 ,因为ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,所以△ＡＤＥ≌△ＦＣＧ .所以ＡＥ =ＦＧ .又ＢＥ =ＨＧ ,所以ＡＢ =ＦＨ因为ＡＬ∥ＦＧ ,所以 ＡＫＦＨ =ＣＫＣＨ =ＫＬＨＧ.所以 ＡＫＫＬ =ＦＨＨＧ,所以 ＡＫＫＬ =ＡＢＢＥ,所以ＫＢ∥ＬＣ .又因为ＬＣ⊥ＡＣ ,所以…     

三角形某些“伴心“的性质

引理 设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点,且直线ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交直线ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于点Ｄ、Ｅ、Ｆ,Ｄ′、Ｅ′、Ｆ′分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ关于各自所在边的中点的对称点,则 ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′必交于一点Ｑ． 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,应用Ｃｅｖａ定理及其逆定理,即可证明． 这样,Ｐ和Ｑ就成为△ＡＢＣ的一对“伴心”．比如,若Ｐ为内心Ｉ,则Ｑ就是伴内心Ｉ′;若Ｐ是△ＡＢＣ的垂心Ｈ,则Ｑ就是伴垂心Ｈ′等等．若将Ｐ叫做“本心”,Ｑ就叫做伴心,相应的△ＤＥＦ叫本心三角形,△Ｄ′Ｅ′Ｆ′则叫做伴…     

数学问题解答

20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361　如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和…     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

三角形的伴内心及其性质

设△ＡＢＣ的三条内角平分线为ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ,内心点为Ｉ,点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′,Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′,Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′,则我们有 引理 三条直线ＡＤ′、ＣＦ′、ＢＥ′共点． 证明 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＤ′＝ＢＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＥ′＝ＣＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,ＡＦ＝ＢＦ′,由Ｃｅｖａ定理及ＡＤ、ＥＢ、ＤＦ共点知 由Ｃｅｖａ逆定理得ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点．记此点为Ｉ′,我们称之为△ＡＢＣ的伴内心． 性质 １ 设厂为么ＡＢＣ的伴内心,则 ＡＩ（ｂ ＋ ｃ）ＢＩ（ｃ＋ａ） ７７＝…     

三角法解平面几何问题

用三角法研究几何竞赛题,常可使题中各量之间的关系变得直接明了;可把几何变换和复杂的演绎推理转化为三角函数的运算,方法简单,思路清晰.沟通几何与三角的关系,除了直接利用三角函数的定义和有关的三角公式外,主要借助于正弦定理和余弦定理.例1　(1996年全国高中联赛试题)⊙Ｏ1与⊙Ｏ2和△ＡＢＣ的三边所在的三条直线都相切,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ为切点,并且ＥＧ,ＦＨ的延长线交于Ｐ点.求证:ＰＡ⊥ＢＣ.证　如图1,延长ＰＡ交ＢＣ于Ｄ,连Ｏ1Ａ,Ｏ1Ｅ,Ｏ1Ｇ,Ｏ2Ａ,Ｏ2Ｆ,Ｏ2Ｈ,则ＥＤＤＦ=Ｓ△ＰＥＤＳ△ＰＦＤ=ＰＥｓｉｎ∠1ＰＦｓｉｎ∠2.在△ＰＥＦ…     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

一个新发现的三角形特殊点

一个新发现的三角形特殊点方廷刚（四川攀枝花十九冶二中６１７０６２）设△ＡＢＣ的三高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ’，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ＇，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ＇，有引理三直线ＡＤ’，ＢＥ’，ＣＦ’共点．...     

数学问题解答

20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96　⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆 .Ｄ、Ｅ、Ｆ是ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点 ,ＤＤ′、ＥＥ′、ＦＦ′都是⊙Ｏ的直径 .求证 :直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点 .(安徽省怀宁江镇中学　黄金福　2 461 42 )证明　设直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′.过Ｄ′作⊙Ｏ切线交ＡＢ、ＡＣ于Ｍ、Ｎ显然ＭＮ ∥ＢＣ △ＡＭＤ′∽△ＡＢＡ′,△ＡＤ′Ｎ ∽△ＡＡ′Ｃ . ＭＤ′ＢＡ′ =ＡＤ′ＡＡ′ =Ｄ′ＮＡ′Ｃ ＢＡ′Ａ′Ｃ =ＭＤ′Ｄ′Ｎ①连结ＯＭ、ＯＮ .记⊙Ｏ半径…     

关于四面体的一个性质

四面体是空间里较为简单的几何体 ,笔者通过将它与三角形的有关性质进行类比 ,得到一个有价值的结论 .定理　四面体Ａ -ＢＣＤ中 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别在棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上 ,且 ＡＥＥＢ =λ1,ＢＦＦＣ =λ2 ,ＣＧＧＤ =λ3,ＤＨＨＡ =λ4 .则内接四面体ＥＦＧＨ的体积ＶＥＦＧＨ =｜λ1·λ2 ·λ3·λ4 -1｜(1 +λ1) (1 +λ2 ) (1 +λ3) (1 +λ4 ) ＶＡＢＣＤ证明　如图 1 ,连结ＥＤ ,ＢＧ ,得四棱锥Ｅ -ＦＢＤＧ ,Ｇ-ＥＢＤＨ ,在△ＣＢＤ ,△ＡＢＤ中 ,ＳＣＦＧＳＣＢＤ =ＣＦ·ＣＧＣＢ·ＣＤ =11 +λ2 · λ31 +λ3=λ3(1 +λ…