复数几何意义的适用类型和用法分析

挖掘复数的几何意义，揭示适用问题的特征，可暴露问题实质，使解答过程简化，利于培养思维的深刻性．复数几何意义哪些情况下用？如何用？本文就此略谈浅见．1构成三角形类以z1、z2对应向量为邻边作平行四边形，则两对角线对应复数if一zZ和if＋z。，并有关系式：hi一z。卜十hi＋zZH一引if卜十Zlz。l’成立．例1复数z1、z。、z。的We角为a、q、y，而lz11—1，liZI—k，fi3一2—k，且z1＋z。十z。一O，求c。s（o——y）的最大值和最小值，并求k值．（1998年上海高考题）解如图1，以OA、OB为邻边作当k一号或手时，COS（在一y）的最小值…     

利用“Z=(︱Z︱)~2”解题两例

本文利用复数的一个简单性质“若问|Z|＝1，则，给出两道复数题的巧妙解法，其简捷性也是显而易见的．题1已知复数z1，z2满足|z1|＝|z1|＝题2已知复数z满足|z|＝1，|z－i|＝1，求z．利用“Z=(︱Z︱)~2”解题两例@兰贤光$江西省南康市蓉江中学!341400     

一个复数命题的证明与应用

命题设z∈C，a∈R，且az≠0，则为纯虚数．1证明思路1利用纯虚数的定义证法1设z=x yi，x、y∈R，因z≠0，故x、y不同时为零．于是，思路2利用共轭复数模的性质：思路3利用复数的几何意义证法4在复平面内，设复数z、a、-a所对应的点分别为P、A、B，如图1．因Z≠0，故P不可能是坐标原点即线段AB的中点．于是动点P的轨迹为线段AB的垂直平分线且除去AB的中点的轨迹为虚轴为纯虚数．证法5在复平面内，设复数z、a所对应的点分别为P、H，以OA、OP为邻边作回O从P，如图2，则OC-OA＋AC-a十z，AP--OP--OA一z一a，于是，z-a一fi十。lpAP…     

一类高次方程求解规律的探索

1问题的提出在刊物中经常见到这样一道例题：已知zEC且卜一1，求方程Z’＋z一1的解．用三角法或取模法都可求出方程的解是z一步J3＿、＿＿＿＿＿＿．＿＿＿＿＿＿士今并i．最近笔者又见到一道同类题：已知复数z满足IZD一1且z’＋z一1，求Z．做后发现无解，于是产生了如下的想法——若ZEC，nEN且卜9—1，则当n取何值时，方程ed＋z—1有解？这里有无一定的规律？本文就这个问题作一点粗浅的探讨．2规律的振金上述问题从纯代数角度探讨有一定的难度，下面从几何角度作探讨．分析如图，设点Z、Z。、A分别表示复数z、Af、1，则点Z、Z＂、…     

为一复数题“取模解法”辩解

文[1]给出以下试题"已知复数z满足｜z｜＝1，且zn＋z＝1，求z．"（1988年苏州市数学竞赛试题）的解法。解先将原方程变为zn＝1－z，取模得：｜zn｜＝｜1－z｜，再由｜z｜＝1得｜z｜2＝｜1－z｜2，z·z＝（1－z）·（1－z），化简得z＋z＝1；再以z＝a＋bi代入得故原方程有二解：文[2]说，容易验证：这确是原方程的根，但方法不对．文[2]开篇便称此种解法是"取模的误解"．究竟文[1]的这种"取模解法"是否能够成立？我们试作如下分析．原解法可写成：显然⑤是①的必要条件但不一定是充分条件．因此有可能会产生增根，但不至于有漏根．因为凡适合…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

集合题中常见错解举隅

例1设集合A={2，6，x}、B={2,x2 2x-2}，若BUB=A，则x的值为多少？错解∵BUB=A，∴BA，即（2，6，X）．∵x2 2x-2=6或x2十2x-2 x，故解之得x=4，x=2;x=1，x=-2·错解分析当X=2时，集合A中就出现了两个相同元素2，这与集台中元素的互异性相矛盾，故此解应舍去，例2设A一｛xx—2＋n／M，nEZ｝，gaEA’，bEA，试判断：子EA（b4O）是否成o．诸解设。一2＋nlJ了，a一z＋n：Jx，n；、n。连同于乙则自解分析于一千于自千L＜于不一定属于Z，从而它不行自集会中元素的确定桩这一持旺．改子EA不成O．例3设A一（X卜’一ZX一3一0），B一…     

数学问题解答

1999年2月号问题解答（解答由问题提供人给出）1176已知x1,x2,…,xn是n个正数,t=x1x2…Xn,且满足求X1,X2,…,Xn的值．解由题设得所以,若X1≠1,则由（1）得（t＋n－1）（t＋n－2）…（t＋1）t＝（n＋1）显然,方程（2）有解t=2,而函数y=（t＋n-1）（t＋n－2）…（t＋1）t在（O,＋）上是增函数,所以t=2也是（2）的唯一正解．将t=2代入题没条件得x1=x2=…=Xn右X1=1,因X2,X3,…,Xn都是正数,故由题设条件易得X2=X3=…=Xu=1.综上所述得X1=X2=…=Xn=1或X1=X2=…=Xn1177设a1,a2,…,anER－,且s＞t＞O．试证：（al’…     

商是纯虚数的几何意义及其应用

设非零复数z1,z2对应的向量分别是OZ1^→,OZ2^→则商z1/z2是纯虚数的充要条件是OZ1→⊥OZ2→，这就是两复数商z1/z2是纯虚数的几何意义，用好这一几何意义可简化某些复数题的计算，现举例说明。     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…     

理科第20题别解

试题已知复数，复数在复数平面上所对应的点分别为P、Q．证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．（OA（z1）OB（z_2）Re（z_2）=0）又△OPQ为等腰Rt△．解法2同解法1得理科第20题别解@冯连福$郑州铁路一中!450000@贾崇武$陕西户县二中!710307@贾炳麟$山东曹县一中!274400     

高中代数复习(续)

二、复数复数这一章很多题都是用到任意复数z。z=a+bi(a,b∈R)或z=r(cosθ+isinθ)这个表示法来解或证的。例1.解方程|z|+z=8—4i求复数z。解:设z=a+bi(a,b∈R)|z|=(a~2+b~2)~(1/2)。由题设(a~2+b~2)~(1/2)+a+bi=8—4i由复数相等的条件得:     

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)试题及解答

一、选择题：本大题共15小题；第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）团每小题5分，共的分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．（1）Sin600的值是（）（A）M（B）一5（C）M（D）一M（2函数v＝。L：（。＞回）的图象是（）．（3）曲线的极坐标方程尸一4sino化成直角坐标方程为（）．（A）（X—2）‘＋y‘一4（B）1’‘＋（y－2）’＝4（CXZ＋（y－I－2）一4（D）（x＋2）2＋y2＝4（4）两条直线All＋Bly＋CI＝0，A22＋BZy＋CZ＝0垂直的充要条件是（）．、AIA，一、—一（A）＝＝－－－－－－－－＝l…     

等差数列中一定包含等比子数列吗

最近在一本《高考数学模拟题》中见到这样一道题：题1当a、d∈N时，等差数列｛a＋（n－1）d｝（n∈N）中，是否含有无穷的等比数列？试加以证明．原书的解答是这样的：设｛bm｝为等比数列，今b1＝a1＝a，b2＝a＋ad＝a（1＋d），…，bn＝a（1＋d）(m－1)．令an＝a＋（n－1）d，利用数学归纳法，只需证明bm∈｛an｝．当m＝1时b1＝a∈｛an｝，设m＝k时命题成立，即bk∈E｛an｝，则h一a（1＋d）‘－‘一a十id（tEN），当m—k－I－1时，h＋l一a（1十的‘一。（1十N‘－‘（1十山一（a＋id）（1＋d）一a＋（a－f－－l＋id）d一a＋pd．其中P—a…     

新题征展(17)

Ａ．题组新编 １，关于Ｘ的方程 （１）恰有一个根，则ａ值范围是； （２）恰有两个根，则ａ值范围是； （３）恰有三个根，则ａ值范围是； （４）恰有四个根，则ａ值范围是 ２．满足的复数ｚ在复平面上对应的点Ｚ的轨迹 （１）若是线段，则复数ｚ０在复平面上对应的点的轨迹是； （２）若是椭贺，则｜ｚ０｜； （３）若不表示任何图形，则复数ｚ０满足关系式 （第ｌ～２题由曹大方供题） ３．楼梯共１０级，某人上楼，每步可以上一级，也可以上两级． （１）要用 ８步走完这 １０级楼梯共有多少种不同走法？ （２）走完这 １０级楼梯共有多…     

分担值与正规族

设F是平面区域D上的亚纯函数族,a,b是两个有穷非零复数.如果(A)f∈F,f(z)=a(=)f(k)(z)=a,f(k)(z)=b(=)f(k+1)(z)=b,且f-a的零点重数至少为k(k≥3),那么函数族F在D内正规;当k=2时,在条件a≠4b的情况下,同样有函数族F在D内正规.     

利用带参数的平均值不等式求函数最值

本文以实例来说明怎样设置参数，创造条件运用带参数的平均值不等式求函数最值问题，供读者参考．1设置单参数，求函数最值．例1设x、y、z是三个不全为零的实数，求函数的最大值．解显然，只须考虑x≥，y≥0，z≥0的情形．对分子后两项利用带有参数t（t＞0）的平均值不等式，有为了使式（1）右端作为分子能与原分母约掉，只须令，即2t2＋t－4＝0．当且仅当x＝y－1，－1）时式（2）等号成立，这时为了创造条件运用平均值不等式，我们设置了待定常数t，其值的确定由题设或由等号成立的充要条件共同确定，但有时可不必求出．例2求函数的最小值…     

高等数学试题(二份)

1．西安电子科技大学（1996～1997学年第二学期）一、填空题（每小题5分，共30分）1．方程组在空间的几何图形是2微分方程的通解为。3．函数人在点处的全微分4.已知，则5．积分区域D为x2＋y2≤1，则6.设函数u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当u（x，y）满足条件时，沿任意简单闭曲线L积分二、（1分）求微分方程xlnxdy＋（y－Inx）dx一0满足条件yi。～一1的特解。三、（1分）计算曲线积分nd＝ax＋z【x＋yin（x＋／ds－－－－）」力，其中L是一’””‘”——”””””J／52－－－－．－－“““”““”””’～由点A（。，0）沿曲线v一…     

解复数求值问题的几种途径

复数求值问题是复数运算中的一个难点，处理不好，就会陷入繁冗的计算中去，针对这点，本文试图通过数例来说明解决这类问题的几个途径．1选择恰岂的表示形式复数有代数、三角、几何（点，向量）三种表示形式，要处理好有关复数求值问题，首先要注意选择恰当的复数表示形式．又∵z1、z2对应向量OZ1和OZ2的夹角，在△Z1OZ2中，则由复数的三角式知：2转化为一元二次方程求根问题有些复数求值问题，可利用复数的有关性质，转化为以所求值为本知数的一元二次方程，再求这个方程的根．例2已知a、B为实系数二次方程ax2＋bx＋c=0的两根，a为虚…     

与星正交的[0,k_j]~m_1-因子分解

设G是一个图，k1；k2，…，km是正整数，如果对所有的x∈V（G）有0≤dG（x）≤k1＋k2＋…＋km－m＋1成立，K是G的m-星，则G有一个［0，kj］1m-因子分解与K正交．