圆锥曲线间的相互变换

文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1　设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1　定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证　设P (acost,bsint…     

圆锥曲线直径的一个有趣性质

与圆的直径相仿,经过有心圆锥曲线中心的弦叫做圆锥曲线直径,经研究,它有如下一个有趣的统一性质:定理AB是经过圆锥曲线x2m+y2n=1(mn≠0,m,n不同时为负)中心的弦,P是圆锥曲线上异于A,B外的任意一点,PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-nm(当m=n>0时,圆锥曲线是圆;当m>0,n>0,m≠n时,圆锥曲线是椭圆;当m和n异号时,圆锥曲线是双曲线).     

正多边形的一个向量性质及推广

笔者发现正多边形的一个向量性质加以推广后 ,可以将文 [1 ],[2 ],[3]的结论统一起来 ,进一步体现了数学的和谐 .性质 1　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,则∑ni=1OAi=0 .此性质证明略去 ,下面给出它的推广 .性质 2　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,半径为R ,P是平面上的任一点 ,则∑ni=1PA2i =nPO2 +nR2 .证　∑ni=1PA2i =∑ni=1PA2i =∑ni=1(PO +OAi) 2 =∑ni=1PO2 + 2PO ∑ni=1OAi +∑ni=1OA2i =nPO2 +nR2 .性质 3　已知中心对称的多边形A1A2…A2n的外接圆O的半径为R ,P是圆O上的任一点 ,Mi 与Mi+n为…     

圆的视角下对圆锥曲线定义的解读

圆是我们最熟悉的平面几何图形之一,它与椭圆、双曲线、抛物线同属于解析几何,它们之间必然存在着千丝万缕的联系.圆锥曲线的定义是高考重要考查形式之一,本文以2013年全国新课标卷中圆锥曲线问题为例,站在圆的视角下对圆锥曲线的定义进行再次解读,请同行指导.题目(2013年新课标1)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)略.     

关于本原商高数的新猜想

设a,b,c是满足a=m²-n2-n²,b=2mn,c=m2,b=2mn,c=m²+n2+n²的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c2的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c^x+bx+b^y=ay=a^z的正整数解(x,y,z).证明(m,n)≡(0,1),(0,5),(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,5),(5,6),(6,7)或(7,0)(mod8)时,方程无解.上述结果部分地解决了有关本原商高数的一个新猜想.     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

应用圆求最值

定理1 如果x~2+y~2≤R~2,S=mx+ny,m、n为常数且mn≠0,那么,当且仅当这圆与这动直线相切时,S才取得最值:S_max=RM~2+n~2~(1/2)S_min=-RM~2+n~2~(1/2)。证明设圆心(0,0)到直线的距离为d,那么d=|S|/(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤R ∴-R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤S≤R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)当且仅当圆与直线相切时,     

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

巧用直线与圆锥曲线的位置关系的一个结论解题

对于直线l：Ax＋By＋C=0和圆锥曲线l：（x-x0）2/m＋（y-y0）2/n=1,有下面的结论成立.定理若直线l：Ax＋By＋C=0与圆锥曲线l：（x-x0）2/m＋（y-y0）2/n=1有公共点,则（1）当m〉0,n〉0时,有A2 m＋B2 n≥（Ax0＋By0＋C）2;（2）当mn〈0时,有A2 m＋B2 n≤（Ax0＋By0＋C）2.     

带有三系数的一类偏差分方程的振动性

主要研究了偏差分方程um+3,n+um,n+3+pum+1,n+qum,n+1+rum,n=0,解的振动性,其中参数p,q, r∈R,m,n∈N.     

有趣的“倒有心圆锥曲线”

圆锥曲线是高考的热门考点,在教学过程中偶尔遇到有粗心的学生把圆锥曲线方程写倒了,于是我将错就错,意外得到了倒圆,倒椭圆,倒双曲线,进一步得到统一的倒有心圆锥曲线.请看：定义1方程为1/x2＋1/y2=1/r2（r〉0）的轨迹称为倒圆.探究1过x2＋y2=r2上一点的切线分别交坐标轴于S,Q两点,     

一个定理及其推论

中心最小定值:过点R(m,n)(m>0,n>0)的直线与两坐标轴的正方向围成的三角形的面积的最小值是为以R为中心、以此三角形的三顶点为顶点的平行四边形面积的一半.证设直线方程为:x/a+y/b=1(a>0,b>0),则m/a+n/b=1≥2(mn/ab)~(1/2),故ab≥4mn.     

有趣的“倒有心圆锥曲线”

<正>圆锥曲线是高考的热门考点,在教学过程中偶尔遇到有粗心的学生把圆锥曲线方程写倒了,于是我将错就错,意外得到了倒圆,倒椭圆,倒双曲线,进一步得到统一的倒有心圆锥曲线.请看:定义1方程为1/x2+1/y2=1/r2(r>0)的轨迹称为倒圆.探究1过x2+y2=r2上一点的切线分别交坐标轴于S,Q两点,则矩形OQPS的顶点P     

Characterizations of ( m,n )-Jordan Derivations and ( m,n )-Jordan Derivable Mappings on Some Algebras

Let R be a ring, M be a R-bimodule and m, n be two fixed nonnegative integers with m + n = 0. An additive mapping δ from R into M is called an(m, n)-Jordan derivation if(m +n)δ(A~2) = 2 mAδ(A) + 2nδ(A)A for every A in R. In this paper, we prove that every(m, n)-Jordan derivation with m = n from a C*-algebra into its Banach bimodule is zero. An additive mappingδ from R into M is called a(m, n)-Jordan derivable mapping at W in R if(m + n)δ(AB + BA) =2mδ(A)B + 2 mδ(B)A + 2 nAδ(B) + 2 nBδ(A) for each A and B in R with AB = BA = W. We prove that if M is a unital A-bimodule with a left(right) separating set generated algebraically by all idempotents in A, then every(m, n)-Jordan derivable mapping at zero from A into M is identical with zero. We also show that if A and B are two unital algebras, M is a faithful unital(A, B)-bimodule and U = [A M N B] is a generalized matrix algebra, then every(m, n)-Jordan derivable mapping at zero from U into itself is equal to zero.     

一类特殊的有限循环环

证明了一类n阶(n=P_1P_2…p_m,p_i(i=1,2,…,m)互异为素数)环是有限循环环,并讨论了他们的结构及相关性质,最后给出了这类n阶环有零因子或有子域的充要条件.主要结果:P_1P_2…P_m阶环共有2^m个,它们是(p_(1m个,它们是(p_(1^k_1) p_(2k_1) p_(2^k_2)…p_(mk_2)…p_(m^k_m)Z)/(p_(1k_m)Z)/(p_(1^k_1+1)p_(2k_1+1)p_(2^k_2+1)…p_(mk_2+1)…p_(m^k_m+1)Z),其中k_i=0或1,1≤i≤m;阶是n=P_1P_2…p_m的环R可唯一分解为m个素数阶理想的直和,即R=〈α〉=(?);含pi(1≤i≤m)阶子域的P_1P_2…P_m阶环共有2k_m+1)Z),其中k_i=0或1,1≤i≤m;阶是n=P_1P_2…p_m的环R可唯一分解为m个素数阶理想的直和,即R=〈α〉=(?);含pi(1≤i≤m)阶子域的P_1P_2…P_m阶环共有2^(m-1)个,它们是p_(1(m-1)个,它们是p_(1^k_1) p_(2k_1) p_(2^k_2)…p_(mk_2)…p_(m^k_m)Z)/(p_(1k_m)Z)/(p_(1^k_1+1)p_(2k_1+1)p_(2^k_2+1)…p_(mk_2+1)…p_(m^k_m+1)Z),其.中k_i=0,k_j=0或1,1≤j≤m,j≠i.     

THE BOUNDS ABOUT THE WHEEL-WHEEL RAMSEY NUMBERS

In this paper, we determine the bounds about Ramsey number R(W_m, W_n),where W_i is a graph obtained from a cycle C_i and an additional vertex by joining it to every vertex of the cycle C_i. We prove that 3m+1 ≤ R(W_m, W_n) ≤8m-3 for odd n, m ≥ n ≥ 3, m ≥ 5, and 2m + 1 ≤ R(W_m, W_n) ≤ 7m-2 for even n and m ≥ n + 502. Especially, if m is sufficiently large and n = 3, we have R(W_m, W_3) = 3m + 1.     

圆锥曲线的定向弦问题

在圆锥曲线中,经常遇到如下的定向弦问题.题目1过椭圆x2/4+y2=1上定点P(2^1/2,2^1/2/2)作两条倾斜角互补的直线l1和l2,分别交椭圆于另一点Q、R,求证直线QR有定向;     

一类三阶有理差分方程的奇点集和解的渐近性

研究三阶有理差分方程x_(n+1)=ax_(n-1)+x_(n-1)x_n/bx_(n-2)+cx_n,n=0,1,2,...的奇点集和解{x_n}_(n=-2)~∞的渐近性,其中a,b,c∈R,初始值x_(-2),x_(-1),x_0∈R.由a,b,c的取值的不同,而得到解的不同的渐近性.