The effect of a nonlinear temperature dependent Prandtl-number on heat transfer of fully developed flow of liquids in a straight tube

If Nu_o is the Nusselt Number for a temperature-independent Prandtl number Pr, and Nu the Nusselt number for a temperature dependent Prandtl number, it is usual to define the correction factor Nu/Nu_o=C. A correction factor which has been defined in this form has, up to now, only been expressed as a function of two characteristic Pr numbers. Thus it was simply assumed that the Pr number was a linear function of the temperature. Fluids with very large Pr numbers show a (T;Pr) relationship which deviates considerably from a linear one. This leads to a very large difference (up to 70%) between the calculated and the measured values of the Nusselt number. In the following study we shall determine a so-called curvature parameter of the (T;Pr) curve and obtain a semi-empirical formula for C. This formula has a deviation from the actual relationship many times smaller than that of the formulae for a linear (T;Pr) relationship.

---

Zusammenfassung Ist Nu_o die Nusseltzahl bei temperaturunabhangiger und Nu die Nusseltzahl bei temperaturabhangiger Prandtlzahl Pr, so ist es üblich, mit Nu/Nu_o=C den Korrekturfaktor zu bezeichnen. Ein in dieser Form definierter Faktor C ist bisher als Funktion nur zweier charakteristischer Pr-Zahlen ausgedrückt worden. Es wurde somit nur eine lineare Abhängigkeit von der Pr-Zahl von der Temperatur T vorausgesetzt. Flüssigkeiten mit großen Pr-Zahlen weisen eine (T;Pr)-Charakteristik auf, die sehr stark von der linearen abweicht. Sehr große Abweichungen (bis — 70%) der gerechneten von den gemessenen Nu-Zahlen sind eine Folge davon. In vorliegender Arbeit bilden wir mit einer dritten charakteristischen Pr-Zahl einen sogenannten Krümmungsparameter der Kurve (T;Pr) und leiten eine semiempirische Formel für C ab, die um ein großes Vielfaches kleinere Fehler aufweist, als die Formeln für den linearen (T;Pr)-Verlauf.

---

Nomenclature

Material constants c_p specific heat at constant pressure [J/kgK] - k heat conductivity [W/mK] - density [kg/m³] - a temperature diffusivity, a=k/c_p [m²/s] - dynamic viscosity [Ns/m²] - kinematic viscosity [m²/s]Fluid dynamics D inner diameter of the tube [m] - L length of tube [m] - w mean speed of fluid [m/s]Heat transfer h coefficient of heat transfer [W/m²K] - T absolute temperature [K] - T_b bulk temperature (corresponding to the adiabatic mixing temperature) [K] - T_w tube wall temperature [K] - T_f=(T_b+T_w)/2 film temperature [K] - T=T_b-T_w temperature forcing difference of heat transfer [K]Characteristic quantities without dimensions Re=wD/ Reynolds number - Pr=/a Prandtl number - Nu=hD/k Nusselt number - related temperature - related Prandtl number - curvature parameter of the Prandtl number Various - C=Nu_b/Nu_o correction factor according to Eq.(5) - p exponent in Eq.(6), (a), (8) and (16)Indices o corresponding to the quasi-isothermal heat transfer - b,w,f with reference to quantities, including physical properties which correspond to the temperatures T_b, T_wor T_f - Pr,k,, for quantities calculated corresponding to the Prandtl number, the thermal conductivity coefficient, the density or the dynamic viscosity - H,C for heating or cooling exp for quantities calculated from experimental data