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Boundedness and compactness of an integral operator in a mixed norm space on the polydisk
Authors:
S Stevi?
Institution:
(1) Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences, Beograd, Serbia
Abstract:
We study the following integral type operator
$T_g (f)(z) = \int\limits_0^{z_{} } { \cdots \int\limits_0^{z_n } {f(\zeta _1 , \ldots ,\zeta _n )} g(\zeta _1 , \ldots ,\zeta _n )d\zeta _1 , \ldots ,\zeta _n } $
in the space of analytic functions on the unit polydisk
U
n
in the complex vector space ?
n
. We show that the operator is bounded in the mixed norm space
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p, q ∈ 1, ∞) and α = (α
1
, …, α
n
), such that α
j
> ?1, for every
j
= 1, …,
n
, if and only if
\(\sup _{z \in U^n } \prod\nolimits_{j = 1}^n {\left( {1 - \left| {z_j } \right|} \right)} \left| {g(z)} \right| < \infty \)
. Also, we prove that the operator is compact if and only if
\(\lim _{z \to \partial U^n } \prod\nolimits_{j = 1}^n {\left( {1 - \left| {z_j } \right|} \right)} \left| {g(z)} \right| = 0\)
.
Keywords:
analytic function
mixed norm space
integral operator
polydisk
boundedness
compactness
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