W0^1p（x） Versus C^1 Local Minimizers for a Functional with Critical Growth

Let Ω IR^N, （N ≥ 2） be a bounded smooth domain, p is Holder continuous on Ω^-,
1 〈 p^- ：= inf pΩ（x） ≤ p＋ = supp（x） Ω〈∞,
and f：Ω^-× IR be a C^1 function with f（x,s） ≥ 0, V （x,s） ∈Ω × R^＋ and sup ∈Ωf（x,s） ≤ C（1＋s）^q（x）, Vs∈IR^＋,Vx∈Ω for some 0〈q（x） ∈C（Ω^-） satisfying 1 〈p（x） 〈q（x） ≤p^＊ （x） -1, Vx ∈Ω ^- and 1 〈 p^- ≤ p^＋ ≤ q- ≤ q＋. As usual, p＊ （x） = Np（x）/N-p（x） if p（x） 〈 N and p^＊ （x） = ∞- if p（x） if p（x） 〉 N. Consider the functional I： W0^1,p（x） （Ω） →IR defined as
I（u） def= ∫Ω1/p（x）｜△｜^p（x）dx-∫ΩF（x,u^＋）dx,Vu∈W0^1,p（x）（Ω）,
where F （x, u） = ∫0^s f （x,s） ds. Theorem 1.1 proves that if u0 ∈ C^1 （Ω^-） is a local minimum of I in the C1 （Ω^-） ∩C0 （Ω^-）） topology, then it is also a local minimum in W0^1,p（x） （Ω）） topology. This result is useful for proving multiple solutions to the associated Euler-lagrange equation （P） defined below.

W01,p(x) versus C1 Local Minimizers for a Functional with Critical Growth

Let $Ω⊂mathbb{R}^N$, $(N ≥ 2)$ be a bounded smooth domain, p is Hölder continuous on $overline{Omega}$, $1 ‹ p^–:=inf_Ωp(x)≤p^+=sup_Ωp(x)›∞,$ and $f : overline{Omega}×mathbb{R}→mathbb{R}$ be a C¹ function with $f (x,s) ≥ 0, ∀(x,s)∈Ω×mathbb{R}^+$ and $sup_x∈Ω f (x,s)≤ C(1+s)^{q(x)}$, $∀s∈mathbb{R}^+, ∀x∈Ω$ for some p （x）-Laplacian equation variational methods local minimizer.