Die numerische Behandlung natürlicher Eigenwertprobleme 4. Ordnung nach der Kollokationsmethode mit einem Lagrangeschen Polynomansatz

Zusammenfassung Für die näherungsweise Behandlung natürlicher Eigenwertprobleme 4. Ordnung werden Differenzengleichungen mit Hilfe der Kollokationsmethode aufgestellt; insbesondere wird gezeigt, wie die Randbeziehungen einzubeziehen sind. Die Lösungsfunktion wird durch einen Lagrangeschen Polynomansatz approximiert, der einen Taylor-Abgleich bis einschließlichh ⁸ ermöglicht.Am Beispiel von Transversalschwingungen eines elastischen Stabes, dessen Querschnittsbreite nach einere-Funktion abnimmt, werden die Ergebnisse der Kollokationsmethode mit den exakten Lösungen und den Näherungen aus dem Ritzschen Verfahren mit Hermiteschem Polynomansatz verglichen.

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Summary Difference equations can be found by means of the collocation method in order to solve natural 4th order eigenvalue problems by approximation. In particular it is shown how to include boundary conditions. The solution is approximated by Lagrange polynomials corresponding with Taylor series includingh ⁸.This collocation method is applied to transverse vibrations of an elastic bar, the cross-sectional area of which reduces by the exponential function. The computed results are compared with the exact solutions and with approximations found with Ritz' method using Hermite polynomials.