Strong solutions of the Navier-Stokes equations in aperture domains |
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Authors: | Martin Franzke |
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Institution: | (1) Present address: Technische Universit?t Darmstadt, Fachbereich Mathematik, Schlo?gartenstra?e 7, 64289 Darmstadt |
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Abstract: | We consider the nonstationary Navier-Stokes equations in an aperture domain Ω⊂R3 consisting of two halfspaces separated by a wall, but connected by a hole in this wall. In this special domain one has to
impose an auxiliary condition to single out a unique solution. This can be done by prescribing either the flux through the
hole or the pressure drop between the two halfspaces. We construct suitable Stokes operators for both of the auxiliary conditions
and show that they generate holomorphic semigroups. Then we prove the existence and uniqueness of solutions as well as a maximal
regularity estimate for the Stokes equations subject to one of the auxiliary conditions. For the corresponding Navier-Stokes
equations we prove existence and uniqueness of local in time solutions.
Sunto In questo lavoro consideriamo le equazioni di Navier-Stokes non stazionarie in un dominio con un’apertura, che consiste di
due semispazi separati da una parete, ma collegati da un’apertura in quest’ultima. In questo dominio particolare è necessario
imporre, per avere un’unica soluzione, una opportuna condizione ausiliaria. Questo può essere fatto sia assegnando il flusso
attraverso l’apertura sia prescrivendo il salto di pressione tra i due semispazi. Qui costruiamo degli operatori di Stokes
opportuni per ambedue i tipi di condizioni ausiliarie e mostriamo come essi generino semigruppi olomorfi. Dimostriamo, quindi,
esistenza e unicità di soluzioni, assieme ad una stima di massima regolarità per le equazioni di Stokes soggette ad una delle
condizioni ausiliarie. Per le corrispondenti equazioni di Navier-Stokes, dimostriamo esistenza e unicità di soluzioni locali
nel tempo.
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