Coulomb interaction in the one-dimensional free-electron model

In the limiting case of the free-electron theory where the electron motion is constricted to one dimension, the one-dimensional Coulomb potential gives rise to divergent interaction integrals. It is shown that a proposal by Olszewski to remove the divergenses by first evaluating the integrals in the three-dimensional case and then passing to the limit of one dimension only is incorrect, and that convergent integrals may only be obtained by suitably modifying the original one-dimensional Coulomb potential between particles.

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Zusammenfassung In dem Grenzfall des Modells der Freien Elektronen, in dem die Elektronenbewegung auf eine Dimension eingeschrÄnkt ist, ergibt das eindimensionale Coulombpotential divergente Wechselwirkungsintegrale. Es wird gezeigt, da ein Vorschlag von Olszewski zur Aufhebung der Divergenz durch übergang von dreidimensionalen zum eindimensionalen Integral falsch ist. Konvergente Integrale können nur durch geeignete VerÄnderung des ursprünglichen eindimensionalen Coulombpotentials erhalten werden.

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Résumé Dans le cas limite de la théorie de l'électron libre à une dimension, le potentiel coulombien donne lieu à des intégrales d'interaction divergentes. On montre que la proposition d'Oszewski pour éliminer les divergences, en évaluant d'abord les intégrales tridimensionnelles et en passant à la limite à une dimension, est incorrecte et que des intégrales convergentes ne peuvent Être obtenues qu'en modifiant le potentiel coulombien unidimensionnel entre particules.