一类“恒成立”问题的常见错解

一元二次不等式解法是中学数学重要内容之一,由于它与二次函数、二次方程联系紧密,因而具有其应用广泛、灵活多变的特点,是解决很多数学问题的工具。但由于其问题复杂多变,特别是有关二次不等式恒成立问题,同学们在学习中常出现这样或那样的错误,对此笔者作一些分析。一、忽视二次项系数为零的讨论【例1】若关于x的不等式ax~2-2ax 3a-1＜0对一切实数x都成立,求a的取值范围。分析设y=ax~2-2ax 3a-1,由y＜0知函数图像在x轴下方,即(?)。事实上,问题忽视了对二次项系数为0的讨论。解由条件知,当a=0时,不等式为-1＜0恒成立；当a≠0时,设y=ax~2-2ax 3a-1, 则二次函数图像都在x轴下方,