任意五等分点组都不共球的空间闭曲线

Zindler于1918年发表了如下结果:设有可求长空间闭曲线,今将这曲线四等分,考虑这种分点的组,显然组中的一点可完全任意取,所以有无数个组存在.在这无数个组中至少存在这样的一组:它的四个等分点在同一平面上. 在文献1]中,高桥进一又给了上述结果的简单证明,然后他提出这样一个问题“在可求长空间闭曲线的五等分点的组中,是否存在一组在同一球面上?”,并说“这个问题直至现在(1964)尚未解决”. 文献1]还指出,不可能用1]中论证四等分点组的方法解决五等分点组的问题. 本文的目的在于构造一条空间闭曲线,它的任意五等分点的组都不在同一球面上.于是从反面解决了上述问题. 在构造这条曲线之前,首先注意如下的两个简单事实. 命题A 设球O上有不共面的4点A、B、C、D,又设点E在球O内,则A、B、C、D、E五点不共球.