Some stability conditions for a compressible elastic material

Two sets of restrictions on the strain-energy function for a compressible isotropic elastic material are obtained which are necessary conditions for stability of the material. These arise from the following considerations. (i) A rectangular block is subjected to a finite pure homogeneous deformation, and an infinitesimal pure homogeneous deformation with arbitrary principal directions is superposed. The dimensions in two of these principal directions are held constant. Then the incremental modulus associated with the third principal direction must be positive for stability to obtain. (ii) In the initial pure homogeneous deformation one pair of faces of the block is force-free. The superposed inifinitesimal pure homogeneous deformation has one of its principal directions normal to these faces, which remain force-free, and the principal extension ratio corresponding to another is unity. The incremental modulus corresponding to the third principal direction must be positive to obtain stability.

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Zusammenfassung Für ein kompressibles isotropes elastisches Material werden zwei Sätze von Einschränkungen der Funktion der Verformungsenergie als notwendige Bedingungen für die Materialstabilität hergeleitet. Diese entstehen aus den folgenden Überlegungen: (i) Ein rechteckiger Block wird einer endlichen homogenen Verformung, und einer darauf überlagerten infinitesimalen homogenen Verformung mit beliebigen Hauptachsen ausgesetzt. Die Längen in zwei dieser Hauptachsen-Richtungen werden festgehalten. Dann muß der inkrementale Modul in der dritten Hauptrichtung positiv sein, damit die Stabilität gewährleistet ist. (ii) Bei der endlichen homogenen Verformung sind zwei parallele Begrenzungsflächen des Blockes kräftefrei. Die eine Hauptrichtung der überlagerten infinitesimalen homogenen Verformung sei senkrecht zu diesen Flächen, die kräftefrei bleiben, und die Hauptstreckung in einer der anderen Hauptrichtungen sei gleich 1. Der inkrementale Modul in der dritten Hauptrichtung muß zur Gewährleistung der Stabilität positiv sein.