球面上的一类最优运输问题

本文考虑球面S~n上成本函数为c(x,y)=F(d(x,y))的最优运输问题,其中d(x,y)表示S~n上两点x与y之间的球面距离.重点是说明,即使F仅定义于原点的一个邻域内,在适当条件下仍然可以证明最优映射的存在性和唯一性.特别是当F(d)=log(κcos d-1)(κ1)和F(d)=log cos d时,相应的最优运输问题分别等价于几何光学中的光线折射问题和凸体几何中的Aleksandrov问题.