广义相对论与黎曼几何系列之四：内蕴几何

高斯在1827 年的著作《关于曲面的一般研究》中，发展了内蕴几何。所谓“内蕴”，是相对于“外嵌”而言，指的是曲面(或曲线)不依赖于其在三维空间中嵌入方式的某些性质。内蕴的概念也可以被解释得更为物理一些：一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质就是这个空间的内蕴性质。也有人比喻说：外嵌是机械设计工程师看待曲面的方法，他们将曲面看成三维机械零件的表面；而内蕴几何则是地球上的测地员测量地球表面所得到的几何性质。举例来说，内蕴几何量的最简单例子就是弧长。一条直线可以在三维空间中看似转弯抹角地任意弯曲，即随意改变它的曲率和挠率，但生活在直线上的“点状蚂蚁”观察不到这些“转弯抹角”，只能测量到它爬过的弧长。因此，空间曲线的曲率和挠率，是三维空间的生物观察这条曲线时得到的重要几何性质，但却并不是内蕴几何量。对曲面来说也是如此，弧长并不因为平面卷成了柱面或锥面而改变。弧长与曲线(或曲面)嵌入空间中的弯曲情况无关，因而是个内蕴几何量。