31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数，P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知，P(x)除以x-a余式为P(a)，依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式，则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x)，这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a，类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式，所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…