巧用方差解题

命题　对于ａｉ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,记 ｘ =1ｎ ｎｉ =1ａｉ,ｓ2 =1ｎ ｎｉ =1(ｘｉ- ｘ) 2 =1ｎ ｎｉ=1ｘ2 ｉ- ｘ2 ,则ｓ2≥ 0 (当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ= ｘ时取等号 ) .本文举例说明这一命题在解题中的巧用 .1　用于求最值例 1　求函数 μ =2ｘ - 1 5 - 2ｘ的最大值 .解　元素 2ｘ - 1与 5 - 2ｘ的平均数 Ｍ =μ2 ,方差ｓ2 =2ｘ - 12 5 - 2ｘ22 - (μ2 ) 2 =2 -μ24 .由命题知 ,2 - μ24 ≥ 0 (当且仅当 2ｘ - 1=5 - 2ｘ =μ2 时取等号 ) ,所以 0 <μ≤ 2 2 (当且仅当ｘ =32 时取等号 ) ,故当ｘ =32 时 ,μｍａｘ=2 2 …