| 一个递推公式与ax~n by~n型竞赛题解法 |
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| 引用本文： | 邓远.一个递推公式与ax~n by~n型竞赛题解法[J].数学学习,2002(5). |
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| 作者姓名： | 邓远 |
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| 作者单位： | 海南振发学校 |
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| 摘 要： | 命题 :已知 :Ｓｎ=ａｘｎ ｂｙｎ,ａ,ｂ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ｎ∈Ｎ .则有递推公式 :Ｓｎ 2 =(ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ.证明 :∵Ｓｎ=ａｘｎ ｂｙｎ,∴ (ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ=(ｘ ｙ) (ａｘｎ 1 ｂｙｎ 1) -ｘｙ(ａｘｎ ｂｙｎ)=ａｘｎ 2 ｂｘｙｎ 1 ａｙｘｎ 1 ｂｙｎ 2 -ａｘｎ 1ｙ -ｂｘｙｎ 1=ａｘｎ 2 ｂｙｎ 2=Ｓｎ 2 .即Ｓｎ 2 =(ｘ ｙ)Ｓｎ 1-ｘｙＳｎ.由上述递推公式可知 :只要Ｓ1和Ｓ2 及ｘ ｙ和ｘｙ已知 ,则可依次计算Ｓ3 ,Ｓ4,…的值 .该递推公式结构简洁 ,但在求解国内外的一些数学竞赛题时却有着独特的功能 .现举例如下 :例 1 (1 989年江苏省初中数学竞赛题 )若ｍ2 =ｍ 1 ,ｎ2 =ｎ 1 ,且ｍ≠ｎ ,则ｍ5 ｎ5=.解 :∵ｍ2 -ｍ -1 =0 ,ｎ2 -ｎ -1 =0 ,ｍ≠ｎ ,∴ｍ ,ｎ是方程ｘ2 -ｘ-1 =0的两根 .由韦达定理得 :ｍ ｎ=1 ,ｍｎ =-1 .∴ｍ2 ｎ2 =(ｍ ｎ) 2 -2ｍｎ =1 2 =3 ....
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