关于线段和、差、倍、分关系的证明

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1.利用截长法或补短法证明有关线段和、差问题所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　已知 :如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =ＢＣ ,ＢＤ是∠Ｂ的平分线 .求证 :ＡＢ =ＢＣ ＣＤ .分析 :要证明ＡＢ =ＢＣ ＣＤ ,根据截长法和补短法的思想 ,我们可想到两条思路 :( 1)可延长ＢＣ到Ｅ ,使得ＢＥ =ＡＢ ,如能证ＥＣ =ＣＤ即可 ;( 2 )在ＡＢ取点Ｆ ,使得ＢＦ =ＢＣ ,如能证ＡＦ =ＣＤ即可 .根据这两条思路 ,再结合题目的条件 ,由等腰直角三角形 ,我们不难发现证ＡＦ =ＣＤ更好 ,因为可证ＡＦ=ＤＦ =ＣＤ .证明 :在ＡＢ上取ＢＦ =ＢＣ ,连结ＤＦ .∵∠ＣＢＤ =∠ＤＢＡ ,　ＢＤ =ＢＤ ,∴△ＢＣＤ≌ △ＢＦＤ .　...