On the eigenvalue problem for fluid sloshing in a half-space

Summary The boundary-value problem for free oscillations of a liquid in a half-space, which is bounded above by a rigid plane that contains a circular aperture, is transformed to a homogeneous, Fredholm integral equation for the velocity distribution in the aperture. Rayleigh-Ritz approximations to the eigenvalues are obtained by expanding the velocity distribution in appropriately weighted Jacobi polynomials. Numerical results demonstrate that the convergence of the approximations is much stronger than that of the approximations developed by Henrici, Troesch and Wuytack; for example, retaining twelve terms in the Rayleigh-Ritz expansion yields the dominant eigenvalue within one part in 10^–8. A corresponding development is given for the two-dimensional problem, in which the aperture is an infinite strip.

---

Résumé Le problème aux conditions limites pour les oscillations libres d'un liquide dans l'espace semi-infini sous un plan rigide contenant une ouverture circulaire est transformé en une équation intégrale homogène de Fredholm pour la distribution de vitesse dans l'ouverture. On obtient des approximations de Rayleigh-Ritz pour les valeurs propres en développant le champ de vitesse en série pondérée de polynômes de Jacobi. Les résultats numériques démontrent que la convergence des approximations est bien plus rapide que celle des approximations développées par Henrici, Troesch and Wuytack; par exemple, en retenant douze termes dans le développement de Rayleigh-Ritz on obtient la valeur propre dominante avec une erreur relative moindre que 10^–8. Un développement correspondant est donné pour le problème bidimensionnel, pour lequel l'ouverture est une bande infinie.