2011年高考教学湖北卷理科第21题赏析

2011年高考数学湖北卷理科第21题为:(Ⅰ)已知函数f(x)= lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:(1)若a1b1 +a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1b1·a2b2·…·anbn≤1;(2)若b1+b2+…+bn＝1,则1/n≤b1b1·b2b2·…·bnbn≤b12+b22+…+bn2.1 背景分析本题第一问体现了导数作为工具用于研究函数最值等方面的应用,设问的函数也是理科考生所熟知的类型.因而,有利于稳定考生情绪,便于考生逐步进入后面的问题情境.第2问是以“若P则q”的命题形式设计两道证明题,旨在向考生暗示:结论要成立,需要具备一定的条件,这样引导考生注重对条件和结论在结构上的差异性分析,从而a1b1·a3b2·…·anbn≤1需要转化为b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤0成立即可,进而想到利用(Ⅰ)的结论所包含的不等式lnak≤ak-1去掉对数符号,转化为条件的结构形式即得(1)的证明.这体现了化归与转化的思想方法在突破解题困境时的重要作用.